辽宁省凌海市七年级数学下册课后补习班辅导余角、补角、对顶角讲学案(附答案）

余角、补角、对顶角
【本讲教育信息】
一.
教学内容：
余角、补角、对顶角
本周主要内容是学习互为余角和互为补角的概念及其性质，对顶角的概念及其特征。并要求在经历观察、操作、推理、交流等过程中，进一步发展空间概念，培养推理能力、有条理的表达能力，并要求能解决一些实际问题。
［目标］
1.
在现实背景下了解余角、补角、对顶角的概念。
2.
知道等角（同角）的余角相等，等角（同角）的补角相等；能利用对顶角相等的性质进行计算。
二.
重、难点：
本周的重点是互为余角和互为补角的概念及其性质，以及利用学习过的知识解决一些实际问题。
三.
知识要点
1.
余角、补角。
（1）如果两个角的和等于90°，那么称这两个角互为余角。
（2）如果两个角的和等于180°，那么称这两个角互为补角。
（3）定理：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。
说明：
①互余与互补角是研究两个角的关系，单独一个角不能说是余角或补角，就像称呼两兄弟一样，而且不会随位置改变。
②“互为余角”和“互为补角”是指具有特殊关系的两个角.
如同代数中的“互为倒数”和“互为相反数”一样，是指具有特殊关系的两个数，而且只能是两个角之间的特殊关系。如果三个角的和是180°，我们不能说这三个角互为补角
2.
对顶角
（1）一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。
如：两条直线相交形成∠1，∠2，∠3，∠4四个角，如图：
∠1和∠3叫做对顶角，∠2和∠4也是对顶角。
（2）定理：对顶角相等。
【典型例题】
例1.
如图，直线m和l交于O点，已知∠1的余角与它的补角的比为1：3，求∠2的度数。
分析：本题可以利用题目中所给的条件列方程（设∠1为x°），求出∠1的度数，而∠1和∠2是对顶角，利用对顶角的性质可以求出∠2的度数。　
解：设∠1的度数为x°，则它的余角为(90－x)
°，它的补角为(180－x)
°，根据题意：
（90－x）：（180－x）＝1：3
解之得x＝45
又因为∠1和∠2是对顶角，
所以∠1＝∠2　（对顶角相等）
答：这个角的度数为45
°。
例2.
若一个角为35°35′35″，写出它的余角和补角
分析：在计算过程中，将90°写为89°59′60″，再与35°35′35″相减较为方便。
而将180°写为179°59′60″，再与35°35′35″相减较为方便，也可以将35°35′35″的余角再加上90°就是35°35′35″的补角。
解：35°35′35″的余角为90°－35°35′35″＝54°24′25″
35°35′35″的补角为180°－35°35′35″＝144°24′25″
例3.
有两个角，若第一个角割去它的后，与第二个角互余；若第一个角补上它的后，与第二个角互补，求这两个角的度数。
分析：我们可以设第一个角为α，第二个角为β，依照题意列出方程组求解。
解：设第一个角为α，第二个角为β，据题意，得
解之，得
所以这两个角分别是90°和30°
说明：根据题中条件，设出未知数、列出方程或方程组求解是常用方法。
例4.
一个角的余角比这个角的补角的还大26°，求这个角的余角及这个角的补角。
分析1：可直接设未知数，用一元一次方程求解。
解法1：设这个角的余角为α，则这个角的补角为，由题意，得：
答：这个角的余角为55°，补角为145°。
分析2：可间接设未知数，列一元一次方程求解。
解法2：设这个角为α，其余角为，其补角为
由题意得：
答：这个角的余角为55°，补角为145°。
例5.
如图所示，AB、CD相交于点O，，试比较的大小。
分析：相等，我们只需借助于对顶角和这个桥梁，就很容易比较出是相等的。
解：
例6.
已知：如图所示，直线AB、CD相交于O，已知，OE把分为两部分，且，求。
分析：可设为，为，则，即
而为对顶角相等，所以，，
而
所以
解：设
例7.
已知，直线
上有一点O，过O点作两条射线
，使
分别在
的两侧，
。试说明
与
是对顶角。
解：如图：∵点O在直线AB上，
∴。
又，∴
，
∴
三点在一条直线上。
∴
与
是对顶角。
分析：本题考查对顶角的定义及性质，说明两个角是对顶角应抓住三点：
（1）有公共顶点；（2）两角相等；（3）以两条直线相交为前提。
例8.
判断下列说法是否正确，并说明理由：
　　（l）有公共顶点的两个角是对顶角；
　　（2）相等的两个角是对顶角；
　　（3）互为对顶角的两个角的余角相等。
解：（1）不正确，对顶角的定义是“如果一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角（对顶角的另一定义）”。有公共顶点的两个角，其中一个角的两边不一定是另一个角的两边的反向延长线（如图）
（2）不正确，对顶角是两个角处于一种特殊的位置关系，相等的角是两个角的大小比较，是两个角的度量关系，这两个是不同范畴的概念，对顶角的大小相等，但相等的角不一定是对顶角
（3）不正确，对顶角必相等，但并没有说对顶角一定是锐角，它们也可能是钝角，所以不一定有余角。
例9.
已知如图，直线AB、CD相交于O，且
的度数是的2倍
求：（1）
、
的度数；（2）
、
的度数。
分析：看图可知
与
互为补角，从而有
，而又知
，于是可求出
与
的度数；
与
是对顶角，
与
是对顶角，由“对顶角相等”便可求
与
的度数
解：（1）∵
AB是直线（已知）
∴
与
是邻补角（邻补角定义）
∴
（补角定义）
设
的度数为
，则
的度数为
，
∴
即
，
（2）∵
AB、CD相交于O（已知）
∴
，
（对顶角相等）
∵
，
（已求）
说明：已知两角的比值，通常设未知数，建立方程，通过解方程解决问题，是常考虑的一种思想方法
例10.
如图，已知直线AB、CD、EF相交于点O，
，
，求、的度数。
分析：三条直线相交于一点，常常将已知角（条件）和所求角（结论）都在图中标出来，再寻找相互关系得到解题途径。此题从图中可见
是
的邻角，
是的对顶角，所以可解。
解：∵
是直线（已知），
∴
与
是邻补角（邻补角的定义），
∴
（补角的定义）
∵
（已知），
∴
（等式性质）
∵
，
（已知），
∴
又∵
AB、CD相交于点O（已知）
∴
＝
（对顶角相等）
∴
（等量代换）
【模拟试题】
测试（一）（答题时间：30分钟）
1.
下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（　）（抓住对顶角的定义）
2.
三条直线相交于一点，构成的对顶角有（　）
A.
5对
B.
6对
C.
7对
D.
8对
3.
如果两个角互补，那么这两个角（　）
A.
均为钝角
B.
均为锐角
C.
一个为锐角，另一个为钝角
D.
均为直角，或一个为锐角，另一个为钝角
4.
在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足是点D，则其中互为余角的角共有（　）
A.
3对
B.
4对
C.
5对
D.
6对
5.
已知一个角的补角比这个角的余角的4倍大15°，求这个角的度数。
6.
如图，∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠C＝90°，那么∠B与∠C是什么关系 请说明理由。由此题的结果，你可以得出什么结论
7.
如图，OB是平角∠AOC的平分线，∠DOE是直角。问：
（1）∠AOD的余角有哪几个
（2）∠AOE的补角有哪几个
（注意别遗漏）
8.
如图，已知直线AB和CD相交于O，∠AOE＝∠EOC，且∠AOE＝28°，求∠BOD、∠DOE的度数
9.
如图，AB、CD相交于点O，且∠1＝∠2，问：∠3＝∠4吗 为什么
测试（二）（答题时间：40分钟）
1.
一个角的补角与它的余角的2倍的差是平角的，则这个角是（
）
A.
30°
B.
45°
C.
60°
D.
90°
2.
一个锐角的补角和这个锐角的差是一个
（
）
A.
直角
B.
钝角
C.
锐角
D.
或直角或锐角或钝角
3.
如图，AB、CD是直线，相交于点O，OM、ON是射线，那么其中构成对顶角的是（
）
A.
∠AOM与∠DON
B.
∠BOM与∠MON
C.
∠AOD与∠BOC
D.
∠BOD与∠CON
4.
平面上三条不同的直线相交，最多能构成对顶角
（
）
A.
4对
B.
5对
C.
6对
D.
7对
5.
下列语句中正确的是
（
）
A.
角的边越长，这个角越大
B.
互补的两个角必定一个是锐角一个是钝角
C.
两个锐角不能互为补角
D.
如果∠A＝20°，∠B＝70°，∠C＝90°，那么∠A、∠B、∠C互为补角
6.
若∠α+∠β＝90°，∠β与∠γ互为余角，则∠α与∠γ的关系是（
）
A.
相等
B.
互余
C.
互补
D.
不确定
7.
如图所示ACB是直线，AB⊥CD，EC⊥FC，图中共有（
）对角互余
A.
2
B.
3
C.
4
D.
以上都不对
8.
18°＝
_______平角，平角＝________直角，45°＝________周角
9.
若∠α与∠β互补，且∠α：∠β＝4:5，那么∠α＝_______，∠β______
10.
∠1和∠2互余，∠1＝7x°－5°，∠2＝3x°+5°，则x的值为______
11.
∠1+∠2+∠3＝180°，∠α＝∠1+∠3，∠β＝∠1+∠2，∠γ＝∠2+∠3，则在∠α、∠β、∠γ三个角中，锐角最多会有_______个
12.
如图，已知∠AOC＝∠BOD＝90°，∠BOC＝20°，则∠AOD＝___________
13.
如图，直线AB、CD相交于O。已知∠AOC＝75°，OE把∠BOD分为两部分，且∠BOE:∠EOD＝2:3。求∠AOE
14.
已知∠α和∠β互为余角，且∠α比∠β小25°，求的度数
15.
如图所示，三条直线AB、CD、EF交于一点，若∠1＝30°，∠2＝70°，求∠3的度数
【试题答案】
测试（一）
1.
D；
2.
B；
3.
D；
4.
B；
5.
65°；
6.
∠B与∠C相等，由此可以得到一个结论：同角的余角相等；
7.
（1）∠AOD的余角有∠BOD，∠COE两个；（2）∠AOE的补角有∠BOD，∠COE两个
8.
∵
直线AB与CD相交于点O，∴
∠AOC＝∠BOD
∵
∠AOE＝∠EOC，∴
∠AOC＝2∠AOE
又∵
∠AOE＝28°，∴
∠AOC＝2×28°＝56°，∴
∠BOD＝56°
∵
∠BOD＋∠AOD＝180°，
∴
∠AOD＝180°－∠BOD＝180°－56°＝124°，
∴
∠DOE＝∠AOD＋∠AOE＝124°＋28°＝152°，
（或∠DOE＝180°－∠EOC＝180°－28°＝152°）
9.
解：∠3＝∠4.
证明如下：
∵
AB、CD相交于点O，∴
∠AOD＝∠BOC，
又∵
∠1＝∠2，∴
∠AOD－∠1＝∠BOC－∠2，即∠3＝∠4
测试（二）
1.
C
2.
D
3.
C
4.
C
5.
C
6.
A
7.
C
8.
；；
9.
80°；100°；
10.
9；
11.1；
12.
160°；
13.
设∠BOE＝2x，∠EOD＝3x
∵
∠BOD＝∠AOC＝75°
∴2x+3x＝75°
∴x＝15
∴∠DOE＝45°
∵∠AOC与∠AOD互补，
∴∠AOD＝180°－75°＝105°
∴∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝105°+45°＝150°
14.
∵∠α+∠β＝90°，∠β＝∠α+25°
∴
2∠α+25°＝90°，，∠β＝
∴
＝65°－19°10＇
＝45°50＇
15.
如题中的图：
∵直线AB、CD、EF交于一点，
∴2∠1+2∠2+2∠3＝360°（周角定义）
∴∠1+∠2+∠3＝180°
又∵∠1＝30°，∠2＝70°（已知），
∴∠3＝180°－∠1－∠2＝80°