辽宁省凌海市七年级数学下册课后补习班辅导整式的运算讲学案苏科版

整式的运算
【本讲教育信息】
一.
教学内容：
整式的运算
用具体的数代替代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特殊的过程。具体求解代数式值的问题时，对于较简单的问题，代入直接计算并不困难，但对于较复杂的代数式，往往是先化简，然后再求值。下面结合例题初步看一看整式运算求值的常用技巧。
二.
重、难点：
1.
熟练进行整式运算。
2.
理解求代数式的值中由一般到特殊的过程。
【典型例题】
例1.
求下列代数式的值：
，
其中；
，
其中
分析：上面两题均可直接代入求值，但会很麻烦，容易出错。我们可以利用已经学过的有关概念、法则，如合并同类项，添、去括号等，先将代数式化简，然后再求值，这样会大大提高运算的速度和结果的准确性。
解：
　　(2)原式＝
＝
＝
＝
＝
＝12＋6＝18
说明：本例中(1)的化简是添括号，将同类项合并后，再代入求值；(2)是先去括号，然后再添括号，合并化简后，再代入求值。去、添括号时，一定要注意各项符号的变化。
例2.
已知，求的值。
分析：由已知条件，我们无法求出a，b的确定值，因此本题不能像例1那样，代入a，b的值求代数式的值。下面给出本题的五种解法。
解法1：由得，代入所求代数式化简
＝＝＝－1
说明：这是用代入消元法消去a化简求值的。
解法2：因为，所以
原式＝
＝
＝
说明：这种解法是利用了乘法公式，将原式化简求值的。
解法3：因为，所以
原式＝
说明：这种解法巧妙地利用了，并将化为，从而凑成了
解法4：因为，所以
即
也即
所以
即
说明：这种解法是由，演绎推理出所求代数式的值。
解法5：
＝
＝
＝
说明：这种解法是添项，凑出，然后化简求值。通过这个例题可以看出，求代数式的值的方法是很灵活的，需要认真思考，才能找到简便的算法。在本例的各种解法中，用到了几个常用的乘法公式，现总结如下：
；
；
；
；
；
例3.
。
解：由已知，xy＝2(x＋y)，代入所求代数式中，消去xy，然后化简。所以
例4.
。
解：因为a＝3b，所以c＝5a＝5×(3b)＝15b
将a，c代入所求代数式，化简得
例5.
解：因为，都是非负数，所以由(1)有
解得
由(2)得y＋1＝3，所以y＝2
下面先化简所求代数式，然后再代入求值
例6.
如果4a－3b＝7，并且3a＋2b＝19，求14a－2b的值。
分析：此题可以用方程组求出a，b的值，再分别代入14a－2b求值。下面介绍一种不必求出a，b的值的解法。
解：14a－2b＝2(7a－b)
＝2[(4a＋3a)＋(－3b＋2b)]
＝2[(4a－3b)＋(3a＋2b)]
＝2(7＋19)＝52
例7.
。
分析：所求代数式中六个绝对值的分界点，分别为：0，1，2，3，4，5。
。
所以根据绝对值的意义去掉绝对值的符号，将有3个x和3个－x，这样将抵消掉x，使求值变得容易。
解：由于，所以
原式＝x＋(x－1)＋(x－2)－(x－3)－(x－4)－(x－5)＝－1－2＋3＋4＋5＝9
说明：实际上，本题只要x的值在2与3之间，那么这个代数式的值就是9，即它与x具体的取值无关。
例8.
若x:y:z＝3:4:7，且2x－y＋z＝18，那么x＋2y－z的值是多少？
分析：x:y:z＝3:4:7可以写成的形式，对于等比，我们通常可以设它们的比值为常数k，这样可以给问题的解决带来便利。
解：设，则有
x＝3k，y＝4k，z＝7k
因为2x－y＋z＝18，
所以2×3k－4k＋7k＝18，
所以k＝2，所以x＝6，y＝8，z＝14，
所以x＋2y－z＝6＋16－14＝8
例9.
已知x＝y＝11，求的值。
分析：本题是可直接代入求值的。下面采用换元法，先将式子改写得较简洁，然后再求值。
解：设x＋y＝m，xy＝n
原式＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝＝＝10000
说明：换元法是处理较复杂的代数式的常用手法，通过换元，可以使代数式的特征更加突出，从而简化了题目的表述形式。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1.
求下列代数式的值：
（1）；
（2）
2.
的值。
3.
已知，求代数式的值。
4.
已知，求a，b的值。
5.
已知，试求的值。
【试题答案】
1.
（1）解：原式＝
＝
＝
＝
（2）解：原式＝
＝
＝
＝
＝＝
2.
解：
∴
∴＝＝＝15
3.
解：
∴，
，
∴
＝
＝
＝＝
4.
解：
＝
＝
＝
＝
∴
解得
5.
解：设，则原方程可化为
∴
∴，，
∴