2016-2017学年高一数学人教B版必修1学案（学习导航 ）：2.1.4函数的奇偶性-2.1.5用计算机作函数的图象

2.1.4
函数的奇偶性-2.1.5
用计算机作函数的图象
自主整理
1.函数的奇偶性
(1)定义:
设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-x∈D,且f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数;
设函数y=g(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-x∈D且g(-x)=g(x),则称g(x)为偶函数.
(2)分类:根据函数奇偶性的定义,函数可分为:
①是奇函数但不是偶函数;
②是偶函数但不是奇函数;
③是奇函数又是偶函数;
④既不是奇函数也不是偶函数.
(3)图象的对称性质:
①如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形;反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数.
②如果一个函数是偶函数,则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形;反之,如果一个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形,则这个函数是偶函数.
2.用计算机图形技术作函数图象的指令步骤
(1)给自变量x赋值;
(2)给出计算法则,求对应的y值;
(3)由x和对应的y值组成有序数对集合;
(4)建立直角坐标系,并根据有序数对,在直角坐标系中作出对应的点集;
(5)通过这些点集描出函数的图象.
注意:只要函数的表达式已知,就能画出函数的图象.
高手笔记
1.在奇函数和偶函数的定义中,都要求x∈D,-x∈D,这就是说一个函数不论是奇函数还是偶函数,它的定义域一定关于坐标原点对称.
2.若函数f(x)是奇函数,且在x=0处有意义,那么一定有f(0)=0.这个结论可以当作一个定理来使用.但要注意,反之结论是不成立的.
3.存在有既奇且偶的函数,例如f(x)=.当f(-x)与f(x)之间的关系较隐蔽时,容易产生“非奇非偶”的错觉,万万不可草率下结论.
4.设f(x)、g(x)的定义域分别是D1、D2,那么在它们的公共定义域上:
奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.
5.奇函数在其对称区间上的单调性相同,偶函数在其对称区间上的单调性相反;若奇函数f(x)在区间[a,b](0奇函数,偶函数,函数奇偶看f.
同号偶,异号奇,非奇非偶不离奇.
对折偶,旋转奇,图象重合在一起.
名师解惑
1.应如何理解函数的奇偶性
剖析:(1)定义中“定义域内的任意一个x”即x是定义域内任意的,不可只对部分特殊值满足条件.如f(x)=x2,x∈(-2,2],f(-1)=f(1),f()=f(),f(2)虽然存在,但f(-2)无定义,故f(-2)=f(2)不成立,所以此时f(x)是无奇偶性的.
(2)定义中“都有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)”即遍布定义域内的所有x都满足f(-x)等于f(x)或-f(x).(3)通过对定义归纳出函数奇偶性的以下几个性质,从而完整地认识函数的奇偶性:
①对称性:奇偶函数的定义域关于原点对称;
②整体性:奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个x都必须成立;
③可逆性:f(-x)=f(x)f(x)是偶函数,f(-x)=-f(x)f(x)是奇函数;
④等价性:f(-x)=f(x)f(x)-f(-x)=0,f(-x)=-f(x)f(x)+f(-x)=0;
⑤可分性:根据奇偶性可将函数分为四类:奇函数,偶函数,既是奇函数又是偶函数,非奇非偶函数.
2.应如何判断函数奇偶性
剖析:(1)根据函数奇偶性定义判断,其基本步骤为:
①先看定义域是否关于原点对称,若函数没有标明定义域,应先找到使函数有意义的x的集合,因为它是判断函数奇偶性的一个重要依据,如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称,那么这个函数既不是奇函数,也不是偶函数.如函数f(x)=x4+1,x∈［-1,2］.由于它的定义域不关于原点对称,当1③然后得出结论.
(2)定义域关于原点对称,满足f(-x)=-f(x)=f(x)的函数既是奇函数也是偶函数,如f(x)=0(x∈R)、f(x)=0(x∈［-2,2］)、f(x)=0(x∈(-1,1))等,应注意:既是奇函数又是偶函数的函数有无数个.
(3)分段函数奇偶性判定方法的关键是搞清x与-x的所在范围,及其对应的函数关系式,并且函数在每一个区间上的奇偶性都应进行判断,而不能以其中一个区间来代替整个定义域.
(4)判断函数的奇偶性有时可用定义域的等价形式f(-x)±f(x)=0或=±1(f(x)≠0)来代替.
(5)有时可以直接借助函数的图象或相关性质,如:奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称等,从而直观地判断函数的奇偶性.讲练互动
【例题1】判断下列函数的奇偶性;
(1)f(x)=;
(2)f(x)=x3-2x;
(3)f(x)=a(x∈R);
(4)f(x)=
分析：按奇函数或偶函数的定义或几何特征进行判断即可.
解：(1)函数的定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(2)函数的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x3=-f(x),所以f(x)是奇函数.(3)函数的定义域为R,关于原点对称,
当a=0时,f(x)既是奇函数又是偶函数;
当a≠0时,f(-x)=a=f(x),即f(x)是偶函数.
(4)函数的定义域为R,关于原点对称,当x>0时,-x<0,此时f(-x)=-x[1+(-x)]=-x(1-x)=-f(x);
当x<0时,-x>0,此时f(-x)=-x[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x);
当x=0时,-x=0,此时f(-x)=0,f(x)=0,即f(-x)=-f(x).
综上,f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.
绿色通道根据奇函数以及偶函数的定义,判断是不是有关系f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x),前者是偶函数,后者是奇函数;如果这两个都不成立,则是非奇非偶函数.
说一个函数是非奇非偶函数,只要说明它的定义域不合要求即可,而不必套用作差法进行检验.
有时根据函数图象的对称性进行判断也是捷径之一.
黑色陷阱
要注意的是,有的函数既是奇函数又是偶函数,解题中容易忽视这一点.
变式训练
1.判断下列函数是否具有奇偶性:
(1)f(x)=x3;
(2)f(x)=2x4+3x2;
(3)f(x)=x3+x;
(4)f(x)=x+1.
分析：按定义证明即可.
解：(1)f(-x)=(-x)3=-f(x),所以f(x)是奇函数;
(2)f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2=f(x),所以f(x)是偶函数;
(3)f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x),所以f(x)是奇函数;
(4)f(x)=x+1中,既没有f(-x)=f(x),也没有f(-x)=-f(x),所以f(x)为非奇非偶函数.
【例题2】关于下列命题:
①两个奇函数的和或差仍是奇函数,两个偶函数的和或差仍是偶函数;
②f(x)是任意函数,那么|f(x)|与f(|x|)都是偶函数;
③如果函数f(x)满足:|f(x)|=|f(-x)|,那么f(x)是奇函数或偶函数;
④函数f(x)+f(-x)是偶函数,函数f(x)-f(-x)是奇函数.
其中正确的个数为(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：①错误.如果这两个函数的定义域的交集是空集,那么它们的和或差没有意义;还有两个奇函数的差,或两个偶函数的差,可能既是奇函数又是偶函数,如f(x)=x(x∈［-1,1］),g(x)=x(x∈［-2,2］),可以看出函数f(x)与g(x)都是定义域上的奇函数,它们的差只在区间［-1,1］上有意义且f(x)-g(x)=0,而在此区间上函数f(x)-g(x)既是奇函数又是偶函数.②错误.一方面,对于任意一个函数f(x)而言,不能保证它的定义域关于原点对称;另一方面,对于任意一个分段函数不能保证f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x),所以不能保证|f(-x)|=|f(x)|或|f(-x)|=|-f(x)|,所以|f(x)|不一定是偶函数.如果所给函数的定义域关于原点对称,那么函数f(|x|)是偶函数.③错误.如函数f(x)=0,显然满足|f(x)|=|f(-x)|,但是它既是奇函数又是偶函数.④正确.由函数奇偶性的定义易证.
答案：A
绿色通道
此题是关于函数奇偶性考查的很好的一类题型,做这种选择题要注意充分地利用反例排除法.解题的关键是紧扣奇偶性定义,此外还应注意以下两点:(1)函数f(x)=0既是奇函数也是偶函数,因为其定义域关于原点对称且既满足f(x)=f(-x)也满足f(x)=-f(-x);(2)在公共定义域内,奇函数与奇函数的和为奇函数,偶函数与偶函数的和为偶函数,奇函数与奇函数的积为偶函数,偶函数与奇函数的积为奇函数.
变式训练
2.f(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的是……(
)
A.f(x)f(-x)是奇函数
B.f(x)|f(-x)|是奇函数
C.f(x)-f(-x)是偶函数
D.f(x)+f(-x)是偶函数
解析：A中F(x)=f(x)f(-x),则F(-x)=f(-x)f(x)=F(x),即函数F(x)=f(x)f(-x)为偶函数;B中F(x)=f(x)|f(-x)|,F(-x)=f(-x)|f(x)|,此时F(x)与F(-x)的关系不能确定,即函数F(x)=f(x)|f(-x)|的奇偶性不确定;C中,F(x)=f(x)-f(-x),F(-x)=f(-x)-f(x)=-F(x),即函数F(x)=f(x)-f(-x)为奇函数;D中F(x)=f(x)+f(-x),F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x),即函数F(x)=f(x)+f(-x)为偶函数.
答案：D
【例题3】(2007广东中山高三期末统考,理19)已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x、y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).
(1)求f(1)、f(-1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由.
分析：(1)利用赋值法,令x=y=1,得f(1)的值,令x=y=-1,得f(-1)的值;(2)利用定义法证明f(x)是奇函数,要借助于赋值法得f(-x)=-f(x).
解：(1)∵f(x)对任意x、y都有f(x·y)=yf(x)+xf(y),
∴令x=y=1时,有f(1×1)=1·f(1)+1·f(1).∴f(1)=0;
令x=y=-1时,有f［(-1)×(-1)］=(-1)·f(-1)+(-1)·f(-1),∴f(-1)=0.
(2)∵f(x)对任意x、y都有f(x·y)=yf(x)+xf(y),
令y=-1,有f(-x)=-f(x)+xf(-1),
将f(-1)=0代入,得f(-x)=-f(x),∴函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数.
黑色陷阱
不能直接用定义进行判断,可通过赋值,找出f(-x)与f(x)的关系.抽象函数常以函数方程的形式出现,求解这类问题通常让变量取一些特殊值或特殊式,以便寻求解题方法.
变式训练
3.已知函数y=f(x)(x∈R且x≠0),对于任意两非零实数x1、x2,恒有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),试判断函数f(x)的奇偶性.
分析：对抽象函数奇偶性的判定,因无具体的解析式,因此需要利用给定的函数方程式,对变量x1、x2赋值,将其变成含有f(x)、f(-x)的式子加以判断.
解：由题意知f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
令x1=x2=1,得f(1)=f(1)+f(1),即f(1)=0.
令x1=x2=-1,得f(1)=f(-1)+f(-1),即f(-1)=0.
取x1=-1,x2=x,得f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x).
∴函数f(x)是偶函数.
【例题4】若f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=x(1-x),求当x≥0时,函数f(x)的解析式.
解：由f(x)是奇函数,当x>0时,-x<0,且f(x)=-f(-x)=-{(-x)［1-(-x)］}=x(1+x);
当x=0时,f(0)=-f(0),即f(0)=0.
∴当x≥0时,f(x)=x(1+x).
绿色通道
判断分段函数的奇偶性,应对x在各个区间上分别讨论,注意由x的取值范围确定应用相应的函数表达式,最后要综合得出在定义域内总有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x),从而判定其奇偶性.
变式训练
4.已知f(x)是奇函数,在(0,+∞)上是增函数,证明f(x)在(-∞,0)上也是增函数.
分析：该题的本质,可以结合图形加以理解.对奇函数上每个点,根据对称性,由(0,+∞)上函数值的大小,可比较出函数在(-∞,0)上函数值的大小.
解：设x1-x2>0.
∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,
∴f(-x1)>f(-x2).
又∵f(x)是奇函数,∴-f(x1)>-f(x2).
从而有f(x1)