2016-2017学年高一数学人教B版必修1学案（学习导航 ）：2.1.1函数-2.1.2函数的表示方法

第二章
函数
2.1
函数
2.1.1
函数-2.1.2
函数的表示方法
自主整理
1.函数的概念
设集合A是一个非空的数集,对A内任意数x,按照确定的法则f,都有唯一确定的数值y与它对应,则这种对应关系叫做集合A上的一个函数,记作y=f(x),x∈A.
其中,x叫做自变量,自变量的取值范围A叫做函数的定义域;
如果自变量取值a,则由法则f确定的值y称作函数在a处的函数值,记作y=f(a)或y|x=a.
所有函数值构成的集合{y|y=f(x),x∈A}叫做函数的值域.
2.两个函数的相等
函数的定义含有三个要素,即定义域A、值域C和对应法则f.当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一个函数.
3.区间
(1)在数轴上,区间可以用一条以a,b为端点的线段来表示(如下表).用实心点表示端点包括在区间内,用空心点表示端点不包括在区间内.
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
［a,b］
{x|a开区间
(a,b)
{x|a≤x半开半闭区间
［a,b)
{x|a半开半闭区间
(a,b］
(2)无穷区间的概念:关于-∞,+∞作为区间的一端或两端的区间称为无穷区间,它的定义和符号如下表:
{x|x≥a}
［a,+∞)
{x|x>a}
(a,+∞)
{x|x≤a}
(-∞,a］
{x|x(-∞,a)
R
(-∞,+∞)
取遍数轴上所有值
4.映射的概念
设A、B是两个非空的集合,如果按某种对应法则f,对A内任意一个元素x,在B中有一个且仅有一个元素y与x对应,则称f是集合A到集合B的映射.
这时,称y是x在映射f的作用下的象,记作f(x).于是y=f(x),x称作y的原象,映射f也可记为f:A→B,x→f(x).
其中A叫做映射f的定义域(函数定义域的推广),由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域,通常记作f(A).5.常用的函数表示法
(1)列表法:通过列出自变量与对应函数值的表来表达函数关系的方法;
(2)图象法:就是用函数图象来表达函数关系;
(3)解析法:如果在函数y=f(x)(x∈A)中,f(x)是用代数式(或解析式)来表达的,则这种表达函数的方法叫做解析法(也称公式法).
6.分段函数
在函数的定义域内,对于自变量x的不同的取值区间,有着不同的对应法则,这样的函数通常叫做分段函数.
高手笔记
1.(1)“y=f(x)”中的“f”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)”;
(2)函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值,是一个数,而不是f乘x.
2.对应法则可以有多种形式给出,可以是解析法,可以是列表法和图象法,不管是哪种形式,都必须是确定的,且使集合A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应.
3.函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”,按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系,这种对应就叫映射.A到B的映射与B到A的映射是截然不同的.
4.区间和数轴是紧密联系在一起的,在识别和使用区间符号时都不能脱离开数轴.区间端点值的取舍是很容易出错的地方,一定要准确判断是该用小括号还是中括号,正确书写.在用数轴表示时也要注意实心点和空心点的区别.对于某些不能用区间表示的集合就仍用集合符号表示.
5.对于分段函数问题,一般要分别转化成在定义域内的每一个区间上来解决.要明确分段函数是一个函数,不是多个函数,只是这个函数较为特殊,不像一般的函数可以用一个解析式表示,而只能分段表示.分段函数的画法要领是根据各段上的函数解析式,分段画出各段的图象.
6.若y=f(u),u=g(x),x∈(a,b),u∈(m,n),那么y=f[g(x)]称为复合函数,u称为中间变量,它的取值范围是g(x)的值域与(m,n)的交集.
名师解惑
1.如何理解构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 求值域有几种常用的方法
剖析:
(1)解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域,函数的定义域包含三种形式:
①自然型:指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围(如:分式函数的分母不为零,偶次根式函数的被开方数为非负数,等等);
②限制型:指命题的条件或人为对自变量x的限制,这是函数学习的重点,往往也是难点,因为有时这种限制比较隐蔽,不容易注意,或者即使注意到,在解题时却忘记用到;
③实际型:解决函数的综合问题与应用问题时,应认真考察自变量x的实际意义.
(2)求函数的值域是比较困难的数学问题,中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题.求法主要有以下几种:
①配方法(转化为二次函数);
②判别式法(转化为二次方程);
③不等式法(运用不等式的各种性质);
④函数法(运用基本函数性质或抓住函数的单调性、函数图象等).
2.函数有哪几种表示法？各有什么优点和不足？
剖析:(1)表示函数有三种方法:解析法,列表法,图象法.现实生活中如:商场各种商品与其价格之间的函数关系就是用列表法表示的;房地产公司出售的商品房,总价格与面积之间的函数关系就是用解析式来表示的;工厂每月的产量与月份之间的函数关系是用图表来表示的.
(2)表示函数的三种方法的优点与不足,分别说明如下.
①用解析式表示函数的优点是简明扼要、规范准确.可以利用函数的解析式求自变量x=a时对应的函数值,还可利用函数的解析式列表、描点、画函数的图象,进而研究函数的性质,又可利用函数解析式的结构特点,分析和发现自变量与函数间的依存关系,猜想或推导函数的性质(如对称性、增减性等),探求函数的应用等.不足之处是有些变量与函数关系很难或不能用解析式表示,求x与y的对应值需要逐个计算、有时比较繁杂.
②列表法的优点是能鲜明地显现出自变量与函数值之间的数量关系,于是一些数学用表应运而生.如用立方表、平方根表分别表示函数.商店职员也制作售价与数量关系的计价表,方便收款.列表法的缺点是只能列出部分自变量与函数的对应值,难以反映函数变化的全貌.
③用图象表示函数的优点是形象直观,清晰呈现函数的增减变化、点的对称、最大(或小)值等性质.图象法的不足之处是所画出的图象是近似的、局部的,观察或由图象确定的函数值往往不够准确.
由于以上表示函数的三种方法具有互补性,因此在实际研究函数时,通常是三种方法交替使用.
3.如何理解映射？为什么说映射是一种特殊的对应
剖析:(1)理解映射的概念,必须注意以下几点:
①方向性,“集合A到集合B的映射”与“集合B到集合A的映射”往往不是同一个映射;
②非空性,集合A、B必须是非空集合;
③唯一性,对于集合A中的任何一个元素,集合B中都是唯一确定的元素与之对应,这是映射的唯一性,也可以说“在集合B中”,A中任一元素的象必在集合B中,也叫映射的封闭性.④存在性,就是说对集合A中任何一个元素,集合B中都有元素和它对应,这是映射的存在性.
(2)映射也是两个集合A与B元素之间存在的某种对应关系.说其是一种特殊的映射,就是因为它只允许存在“一对一”与“多对一”这两种对应,而不允许存在“一对多”的对应.映射中对应法则f是有方向的,一般来说从集合A到集合B的映射与从集合B到集合A的映射是不同的.
讲练互动
【例题1】下列各组中的两个函数表示同一个函数的是…(
)
A.f(x)=x,g(x)=
B.f(n)=2n+1(n∈Z),g(n)=2n-1(n∈Z)
C.f(x)=x-2,g(t)=t-2
D.f(x)=,g(x)=1+x
解析：两个函数相同必须有相同的定义域、值域和对应法则.A中两函数的值域不同;B中虽然定义域和值域都相同,但对应法则不同;C中尽管表示自变量的两个字母不同,但两个函数的三个要素是一致的,因此它们是同一函数;D中两函数的定义域不同.
答案：C绿色通道
给定两个函数,要判断它们是否是同一函数,主要看两个方面:一看定义域是否相同;二看对应法则是否一致.只有当两函数的定义域相同且对应法则完全一致时,两函数才可称为同一函数.
只要三者中有一者不同即可判断不是同一个函数,比如上面对A的判断即属此.
变式训练
1.判断下列各组中的两个函数是否为同一函数,并说明理由.
(1)y=x-1,x∈R与y=x-1,x∈N;
(2)y=与y=;
(3)y=1+与u=1+;
(4)y=x2与y=x;
(5)y=2|x|与y=
分析：判断两个函数是否为同21世纪教育网一函数,应着眼于两个函数的定义域和对应法则的比较,而求定义域时应让原始的解析式有意义,而不能进行任何非等价变换,对应法则的判断需判断它的本质是否相同而不是从表面形式上下结论.
解：(1)不同,因为它们定义域不同.
(2)不同,前者的定义域是x≥2或x≤-2,后者的定义域是x≥2.
(3)相同,定义域均为非零实数,对应法则都是自变量取倒数后加1.
(4)不同,定义域是相同的,但对应法则不同.
(5)相同,将y=2|x|利用绝对值定义去掉绝对值结果就是y=
【例题2】设f,g都是由A到A的映射,其对应法则(从上到下)如下表:
表1
映射f的对应法则
原象
1
2
3
象
2
3
1
表2
映射g的对应法则
原象
1
2
3
象
2
1
3
试求f［g(1)］,g［f(2)］,f{g［f(3)］}.
分析：此题是将映射的概念和复合函数的求值相结合的一道典型的例题,解答此题首先要弄清f［g(x)］的含义和映射中原象和象的关系,然后再按照有关定义解题.
解：∵g(1)=2,f(2)=3,∴f［g(1)］=f(2)=3.
又∵g(3)=3,∴g［f(2)］=g(3)=3.
∵f(3)=1,g(1)=2,
∴f{g［f(3)］}=f［g(1)］=f(2)=3.
绿色通道
读懂对应法则f和g的含义是解题的关键,要弄清在法则f和g的作用下,集合A中的元素在集合A中的象是什么,要掌握象与原象的定义.
变式训练
2.下列各图中表示的对应,其中能构成映射的个数是…(
)
图2-1-1
A.4
B.3
C.2
D.1
解析：所谓映射,是指多对一或一对一的对应且A中每一个元素都必须参与对应.
只有图(3)所表示的对应符合映射的定义,即A中的每一个元素在对应法则下,B中都有唯一的元素与之对应.
图(1)不是映射,因A中的元素c没有参与对应,即违背A中的任一元素都必须参与对应的原则.
图(2)、图(4)不是映射,这两个图中集合A中的元素在B中有多个元素与之对应,不满足A中的任一元素在B中有且仅有唯一元素与之对应的原则.
综上,可知能构成映射的个数为1.
答案：D
3.(2007山东济宁二模,理10)已知A={a,b,c},B={-1,0,1},函数f:A→B满足f(a)+f(b)+f(c)=0,则这样的函数f(x)有(
)
A.4个
B.6个
C.7个
D.8个
解析：对f(a),f(b),f(c)的值分类讨论.当f(a)=-1时,f(b)=0,f(c)=1或f(b)=1,f(c)=0,即此时满足条件的函数有2个;当f(a)=0时,f(b)=-1,f(c)=1或f(b)=1,f(c)=-1或f(b)=0,f(c)=0,即此时满足条件的函数有3个;当f(a)=1时,f(b)=0,f(c)=-1或f(b)=-1,f(c)=0,即此时满足条件的函数有2个.综上所得,满足条件的函数共有2+3+2=7(个).故选C.答案：C
【例题3】求下列函数的值域:
(1)y=x2-2x-1,x∈［0,3］;
(2)y=;
(3)y=;
(4)y=|x-1|+|x-2|.
分析：求二次函数的值域一般要数形结合,先配方找出对称轴,再考查给定区间与对称轴的关系,利用二次函数在对称轴两侧的单调性,求出给定区间上的最大值和最小值,即可得到函数的值域.除数形结合之外,求函数的值域的方法还有逐步求解法、判别式法、分离常数法和利用有界性等.绝对值函数通常先化为分段函数.
解：(1)将原式变形,得y=(x-1)2-2,此函数的对称轴为x=1,由于x∈［0,3］,
∴当x=1时,y有最小值-2.根据函数的对称性知,x=3比x=0时的值要大,∴当x=3时,y有最大值2.∴这个函数的值域为［-2,2］.
(2)易知x≥2,∴≥0.
∴y=+3≥3.
∴这个函数的值域为［3,+∞).(逐步求解法)
(3)先分离常数,y=.①
解法一(逐步求解法):∵x2+1≥1,
∴0<≤1.
∴1>1≥-2.
∴y∈［-2,1).
解法二(判别式法):两边同乘x2+1并移项,得(y-1)x2+y+2=0.
又由①可知y<1,
∴Δ=-4(y-1)(y+2)≥0.
∴y∈［-2,1).
解法三(利用有界性):∵y≠1,易得x2=.
又∵x2≥0,∴≥0.
∴y∈［-2,1).
(4)原函数可化为y=
由图2-1-2可知y∈［1,+∞).
图2-1-2
绿色通道
求值域一定要注意定义域的限制,一定要在定义域的范围内求函数的值域.当然,求值域一定要根据函数的对应关系来确定.如果我们抓住了这些解决问题的关键,求这类问题就能得心应手.
变式训练
4.函数y=-x2+4x+5(1≤x≤4)的值域是…(
)
A.［5,8］
B.［1,8］
C.［5,9］
D.［8,9］
解析：y=-x2+4x+5=-(x-2)2+9(x∈［1,4］).
∴当x=2时,y最大=9;
当x=4时,y最小=5.
∴函数值域为{y|5≤x≤9}.
答案：C
【例题4】图2-1-3是一个电子元件在处理数据时的流程图:
图2-1-3
(1)试确定y与x的函数关系式;
(2)求f(-3)、f(1)的值;
(3)若f(x)=16,求x的值.
分析：本题是一个分段函数问题,当输入值x≥1时,先将输入值x加2再平方得输出值y;当输入值x<1时,则先将输入值x平方再加2得输出值y.
解：(1)y=
(2)f(-3)=(-3)2+2=11;f(1)=(1+2)2=9.
(3)若x≥1,则(x+2)2=16,解得x=2或x=-6(舍去).
若x<1,则x2+2=16,解得x=(舍去)或x=.
综上,可得x=2或x=.
绿色通道
通过实例,了解简单的分段函数并能简单应用是新课程标准的基本要求.对于分段函数来说,给定自变量求函数值时,应根据自变量所在的范围利用相应的解析式直接求值;若给定函数值求自变量,应根据函数每一段的解析式分别求解,但应注意要检验该值是否在相应自变量的取值范围内.
变式训练
5.(2007山东蓬莱一模,理13)设函数f(n)=k(k∈N
),k是π的小数点后的第n位数字,π=3.141
592
653
5…,则等于____________.
解析：由题意得f(10)=5,f(5)=9,f(9)=3,f(3)=1,f(1)=1,…,
则有=1.
答案：1
【例题5】已知函数f(x+1)=x2-1,x∈［-1,3］,求f(x)的表达式.
分析：函数是一类特殊的对应,已知函数f(x+1)=x2-1,即知道了x+1的象是x2-1,求出x的象,即是f(x)的表达式.求解f(x)的表达式本题可用“配凑法”或“换元法”.
解法一(配凑法):∵f(x+1)=x2-1=(x+1)2-2(x+1),∴f(x)=x2-2x.
又x∈［-1,3］时,(x+1)∈［0,4］,
∴f(x)=x2-2x,x∈［0,4］.
解法二(换元法):令x+1=t,则x=t-1,且由x∈［-1,3］知t∈［0,4］,
∴由f(x+1)=x2-1,得f(t)=(t-1)2-1=t2-2t,t∈［0,4］.
∴f(x)=(x-1)2-1=x2-2x,x∈［0,4］.
绿色通道
已知函数f［g(x)］的表达式,求f(x)的表达式,解决此类问题一般有两种思想方法,一种是用配凑的方法,一种是用换元的方法.
所谓“配凑法”即把已知的f［g(x)］配凑成关于g(x)的表达式,而后将g(x)全用x取代,化简得要求的f(x)的表达式;
所谓“换元法”即令已知的f［g(x)］中的g(x)=t,由此解出x,即用t的表达式表示出x,后代入f［g(x)］,化简成最简式.
需要注意的是,无论是用“配凑法”还是用“换元法”,在求出f(x)的表达式后,都需要指出其定义域,而f(x)的定义域即x的取值范围应和已知条件f［g(x)］中g(x)的范围一致,所以说求f(x)的定义域就是求函数g(x)的值域.
变式训练
6.函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=,若f(5)=-5,则f［f(1)］=___________.
解析：∵f(x+2)=,∴f(x)=.
∴f(1)===f(5)=-5.
∴f(1)=-5.∴f［f(1)］=f(-5).
又f(-5)==f(-1)==,
∴f［f(1)］=.
答案：
7.已知f(x)=(x∈R且x≠-1),g(x)=x2+2(x∈R),
(1)求f(2)、g(2)的值.
(2)求f［g(2)］的值.
(3)求f［g(x)］的解析式.
分析：在解本题时,要理解对应法则“f”和“g”的含义,在求f［g(x)］时,一般遵循先里后外的原则.
解：(1)f(2)=,g(2)=22+2=6.
(2)f［g(2)］=f(6)=.
(3)f［g(x)］=f(x2+2)=.
教材链接
［思考与讨论］
如何检验一个图形是否是一个函数的图象 写出你的检验法则,图2-1-4所示的各图形都是函数的图象吗 哪些是,哪些不是,为什么
图2-1-4
答:根据函数的定义,函数的自变量与函数值之间只能建立“一对一”或“多对一”的对应关系,而不符合“一对多”的对应关系,所以要检验一个图形是否是一个函数的图象只需判明是否符合“一对一”或“多对一”的原则便可.图2-1-4所示的各图形中因为(1)、(3)、(4)符合“一对一”或“多对一”的原则,所以(1)、(3)、(4)是函数的图象,而(2)中有一个x值对应两个y的值,不满足函数“多对一”或“一对一”的条件,所以(2)不是函数的图象.