2016-2017学年高一数学人教B版必修1学案（学习导航 ）：2.2一次函数和二次函数

2.2
一次函数和二次函数
自主整理
1.一次函数
(1)定义:
函数y=kx+b(k≠0)叫做一次函数,又叫线性函数;它的定义域为R,值域为R.
(2)性质:
①函数的改变量y2-y1与自变量的改变量x2-x1的比值等于常数k;k的大小表示直线与x轴的倾斜程度;
②当k>0时,一次函数为增函数,当k<0时,一次函数为减函数;
③当b=0时,一次函数为正比例函数,是奇函数;当b≠0时,一次函数既不是奇函数也不是偶函数;
④直线y=kx+b(k≠0)与x轴的交点为(,0),与y轴的交点为(0,b).
2.二次函数
(1)定义:
函数y=ax2+bx+c(a≠0)叫做二次函数,它的定义域为R.
(2)性质:①函数的图象是一条抛物线,它的顶点坐标为(,),它的对称轴为x=.
②当a>0时,抛物线开口向上,函数在x=处取得最小值,在区间(-∞,］上是减函数,在区间［,+∞)上是增函数.
③当a<0时,抛物线开口向下,函数在x=处取得最大值,在区间［,+∞)上是减函数,在区间(-∞,］上是增函数.
④当二次函数图象的对称轴与y轴重合即b=0时二次函数为偶函数,否则既不是奇函数也不是偶函数.
⑤在y=ax2(a≠0)中,若a>0,a越大,抛物线的开口越小,a越小,抛物线的开口越大;反之,若a<0,a越大,抛物线的开口越大,a越小,抛物线的开口越小.总之,y=ax2(a≠0)中,若|a|越大,抛物线的开口越小,|a|越小,抛物线的开口越大.(3)三种形式:
①一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0),其中a是开口方向与大小,c是y轴上的截距,而是对称轴.
②顶点式(配方式):f(x)=a(x-h)2+k(a≠0),
其中(h,k)是抛物线的顶点坐标.h=,k=.
③两根式(因式分解):f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1、x2是抛物线与x轴两个交点的横坐标.
3.待定系数法
如果知道一个函数的一般形式,可先把所求函数写为一般形式,其中系数待定,然后再根据题设条件求出这些待定系数,这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法称为待定系数法.高手笔记
1.常数函数是较为特殊的函数,原因在于在函数解析式y=b中没有出现自变量x.其实常数函数就是一个多对一的映射.注意:当a=0时,函数y=ax2=0是一个常数函数,其图象即为x轴.
2.式子x=a(a是一固定常数)虽然含有x,但不能称其为函数,原因在于一个x对应无穷多个y,不符合函数的定义,应将其与y=b区别开来.
3.二次函数是重要的基础函数,必须作为重点内容来掌握.应从解析式、定义域、值域、图象、单调性、奇偶性几个方面的内容进行把握.
4.解决二次函数的问题一定要牢牢树立数形结合的思想,通过对函数图象的分析寻找解决问题的思路和分类讨论的依据.
名师解惑
1.如何认识与理解常数函数？
剖析:要全面认识一个函数,主要从解析式、定义域、值域、单调性、奇偶性等五个方面来认识,对于常数函数\
解析式:当k=0时,y=kx+b就变成了y=b,这就是常数函数的解析式,其中b是某一固定常数.这个解析式的特点在于没有出现自变量x,这也是许多同学对常数函数感到难于理解的原因.
定义域:自变量x可以取任意实数.解析式中没有出现x,说明解析式对x没有要求,可以取任意实数.
值域:常数函数的值域为{b}.常数函数只有一个函数值b,就是说不论自变量怎么取值,都对应同一个函数值b.
图象:因为不论自变量x取什么值都对应一个函数值b,所以函数图象是平行于x轴的水平直线(特殊情况是x轴).
单调性:因为函数值是固定的常数b,没有增减变化,函数图象也是一条水平的直线,没有起伏变化,所以常数函数在定义域上没有单调性.
奇偶性:定义域为R,并且f(-x)=f(x)=b,所以一定是偶函数.如果b=0则既是奇函数又是偶函数.
2.如何由函数y=x2的图象变化得到函数y=a·x2(a≠0)的图象？又如何由函数y=ax2(a≠0)的图象变化得到y=a(x+h)2+k(a≠0)的图象？再如何由函数y=ax2(a≠0)的图象得到函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象？
剖析:(1)二次函数y=a·x2(a≠0)的图象可由y=x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到,而横坐标保持不变.
(2)二次函数y=a(x+h)2+k(a≠0)可由y=ax2(a≠0)的图象向左(或向右)平移|h|个单位,再向上(或下)平移|k|个单位得到.
(3)要得到二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,先将其化为y=a(x+h)2+k(a≠0)的形式,再通过y=ax2(a≠0)的图象上下左右平移得到.
3.二次函数的性质常见有哪些综合应用？
剖析:(1)关于对称轴问题:若二次函数f(x)满足f(t+x)=f(t-x),则f(x)关于直线x=t对称,这一性质对于一般函数也适用.
(2)关于二次函数在闭区间上的最值的问题:
当a>0时,f(x)在区间［p,q］上的最大值为M,最小值为m,
令x0=(p+q).
若若p≤若x0≤若≥q,则f(p)=M,f(q)=m.
(3)关于二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布问题:
①方程f(x)=0的两根中一根比r大,另一根比r小a·f(r)<0.
②二次方程f(x)=0的两根都大于r
③二次方程f(x)=0在区间(p,q)内有两根
讲练互动
【例题1】方程ax-by+c=0(ab≠0)所对应的一次函数,当a、b满足什么条件时函数为减函数
分析：首先将直线的方程化为一次函数y=kx+b的形式,然后根据k>0时函数为增函数,k<0时函数为减函数,进而求得a、b所满足的条件,即ab<0.
解：把ax-by+c=0整理,得y=x+,
要使得一次函数为减函数,则<0,即只要a、b异号就可以了.
绿色通道
处理一次函数问题常把解析式整理成标准形式,然后再求解.
变式训练
1.直线mx+(m-2)y=3(m≠2,m≠0)所对应的一次函数,当函数为增函数时m满足的条件是(
)
A.0B.m<2
C.0D.无法确定
解析：把mx+(m-2)y=3整理,得y=x+,
要使得一次函数为增函数,则>0,即只要-m、m-2同号就可以了,所以易得0答案：C
【例题2】已知二次函数f(x)=ax2+(2a-1)x+1在区间［,2］上的最大值为3,求实数a的值.
分析：这是一个逆向最值问题,若从求最值入手,需分a>0与a<0两大类五种情形讨论,过程烦琐不堪.若注意到f(x)的最值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到,因此先计算这些点的函数值,再检验其真假,过程简明.
解：(1)令f()=3,得a=.
此时抛物线开口向下,对称轴为x=-2,且-2?［,2］,故a=不合题意.
(2)令f(2)=3,得a=,此时抛物线开口向上,对称轴为x=0,闭区间的右端点2距离对称轴远些,故a=符合题意.
(3)若f()=3,得a=,此时抛物线开口向下,对称轴为x=,闭区间为单调减区间,所以a=-符合题意.
综上,a=或a=.
绿色通道
本题利用特殊值检验法,先计算特殊点(闭区间的端点、抛物线的顶点)的函数值,再检验其真假,思路明了、过程简洁,是解决逆向型闭区间二次函数最值问题的一种有效方法.
变式训练
2.二次函数y=x2+2ax-3,x∈［1,2］,试求函数的最小值.
分析：首先观察到函数图象过(0,-3),再考虑对称轴的位置,由于对称轴在不同的位置会出现不同的结果,所以需要分三种情况讨论.解：y=x2+2ax-3=(x+a)2-a2-3,
当-a∈(2,+∞),即a<-2时,此时函数在［1,2］上为减函数,故此时的最小值为f(2)=4a+1;
当-a∈(-∞,1),即a>-1时,函数的最小值为f(1)=2a-2;
当-a∈［1,2］,即-2≤a≤-1时,函数的最小值为f(-a)=-a2-3.
【例题3】已知二次函数的图象过(0,1)、(2,4)、(3,10)三点,求这个二次函数的解析式.
分析：已知是二次函数,且知三个点的坐标,所以可以先设出二次函数的解析式,用待定系数法求得.解：根据题意设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),然后将图象所经过的三个点的坐标分别带入方程,
联立三个方程,得
解得
故f(x)=x2x+1.
绿色通道
使用待定系数法解题的基本步骤是
第一步,设出含有待定系数的解析式;
第二步,根据恒等的条件,列出含待定系数的方程或方程组;
第三步,解方程或方程组解出待定系数,使问题得到解决.
变式训练
3.若f(x)为一次函数,且满足f［f(x)］=1+2x,则f(x)的解析式为______.
解析：已知f(x)为一次函数,可以使用待定系数法.设f(x)=kx+b,则f［f(x)］=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k2x+kb+b,利用对应系数相等即可求得k=,b=-1或k=2,b=-1.
答案：f(x)=x-1或f(x)=x+-1
4.（2007黄冈第一次高三诊断试卷,17）已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1,及f(x+1)-f(x)=2x.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)在[-1,1]上的最值.
分析：本题求函数解析式的基本方法仍然是待定系数法,但确定待定系数的方法是根据代数式恒等对应项系数相等来确定的.求函数在给定区间上的最值时,要注意对称轴的位置.
解：(1)由f(0)=1,可设f(x)=ax2+bx+1.
则由f(x+1)-f(x)=2x,
可得2ax+a+b=2x.
∴a=1,a+b=0,即b=-1.
∴f(x)=x2-x+1.
(2)∵f(x)=x2-x+1=(x)2+,
又x∈［-1,1］,
∴当x=时有最小值,x=-1时有最大值3.
【例题4】二次函数f(x)=ax2+bx+c,a∈N
,c≥1,a+b+c≥1,方程ax2+bx+c=0有两个小于1的不等正根,则a的最小值为(
)
A.2
B.3
C.4
D.5
解析：由题意有
由于方程有两个小于1的不等正根,
画图可知0<<1,即b2<4a2.
∴4ac0.
又a∈N
,且c≥1,∴a的最小值为2.
答案：A
绿色通道
一般地,一元二次方程根的分布情况问题往往从三个角度加以考虑:Δ的符号,对称轴是否在区间内,端点函数值的正负.
变式训练
5.已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m的范围.
分析：二次方程根的问题实质上是讨论二次函数的图象与x轴交点与坐标原点的位置关系的问题,因此,理解交点及二次函数系数(a——开口方向,a、b——对称轴,c——图象与y轴的交点)的几何意义,掌握二次函数图象的特点,是解决此类问题的关键.
解：条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,
画出示意图,得
∴教材链接
1.［探索与研究］
设一次函数y=5x-3,取一系列的x值,使得每一个x值总是比前一个大2,然后计算对应的y值,这一系列的函数值之间有什么关系？对任意一个一次函数都有类似的性质吗？
答:对于一次函数y=5x-3,取一系列的x的值总是比前一个大2时,则有与之对应的每一个y的值总是比前一个大10;对任意一个一次函数y=kx+b(k>0),若取一系列的x的值总是比前一个大m时(m为正整数),则有与之对应的每一个y的值总是比前一个大mk.
2.［探索与研究］
结合课件1207,对一次函数的性质进行探索.
答:注意强调一次函数定义中的一次项系数k≠0这一条件,当k=0时,函数为y=b,它不再是一次函数,它的图象是一条与x轴平行的直线,通常称为常值函数.
函数值的改变量y2-y1与自变量的改变量x2-x1的比值,称作函数x1到x2之间的平均变化率,对一次函数来说它是一个常数,等于这条直线的斜率.
一次函数y=kx+b(k≠0)的单调性与一次项系数的正负有关,当k>0时,函数为增函数,当k<0时,函数为减函数.
理由如下:
设x1、x2是任意两个不相等的实数,且x10,
所以Δy=f(x2)-f(x1)=(kx2+b)-(kx1+b)=k(x2-x1)=kΔx.
当k>0时,kΔx>0,所以Δy>0,所以f(x)在R上是增函数;
当k<0时,同理可证f(x)在R上是减函数.
要准确地作出一次函数的图象,只要找准图象上的两个点即可,这两个点通常是找图象与坐标轴的交点.
3.［探索与研究］
在同一坐标系中,作函数y=x2,y=(x+1)2,y=(x-1)2,y=x2+1,y=x2-1的图象,研究它们的图象之间的关系.
答:列表:
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
y=(x+1)2
…
4
1
0
1
4
9
16
…
y=(x-1)2
…
16
9
4
1
0
1
4
…
y=x2+1
…
10
5
2
1
2
5
10
…
y=x2-1
…
8
3
0
-1
0
3
8
…
在同一坐标系中画出这五个图,如图2-2-1所示:
图2-2-1
通过图象,可知后四个图象都可以由y=x2通过左右上下平移得到,y=(x+1)2由y=x2向左平移一个单位得到;y=(x-1)2由y=x2向右平移一个单位得到,y=x2+1由y=x2向上平移一个单位得到,y=x2-1由y=x2向下平移一个单位得到.
4.［探索与研究］
二次函数y=ax2+bx+c=a(x+)2+中的a、b、c对函数性质与图象各有哪些影响？
答:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的系数a、b、c决定着函数的图象和性质.
(1)二次项系数a决定了函数图象的开口方向、开口的大小和单调性,当a>0时,开口向上,a越大,开口越小,函数在对称轴两侧先减后增.当a<0时,开口向下,a的绝对值越大开口越小,函数在对称轴两侧先增后减.
(2)b是否为零决定着函数的奇偶性.当b=0时,函数为偶函数;当b≠0且c≠0时,函数既不是奇函数也不是偶函数.
(3)c是否为零决定着函数的图象是否经过原点.
另外,a和b共同决定着函数的对称轴,a、b和c三者共同决定着函数的顶点位置.
5.［探索与研究］
请同学们自己探索研究一下,给定哪些条件,才能求出一个具体的二次函数.
答:运用待定系数法求二次函数的解析式时,一般可设出二次函数的一般形式y=ax2+bx+c(a≠0),但如果已知函数的对称轴或顶点坐标或最值,则解析式可设为y=a(x-h)2+k会使求解比较方便.具体来说:
(1)已知顶点坐标为(m,n),可设为y=a(x-m)2+n,再利用一个独立条件求a;
(2)已知对称轴方程x=m,可设为y=a(x-m)2+k,再利用两个独立的条件求a与k;
(3)已知最大值或最小值为n,可设为y=a(x+h)2+n,再利用两个独立条件求a与h;
(4)二次函数的图象与x轴只有一个交点时,可设为y=a(x+h)2,再利用两个独立条件求a与h.