(共21张PPT)
4.6
利用相似三角形测高
请同学们回忆判定两三角形相似的条件有哪些？
思考一下
想一想
同学们,怎样利用相似三角形的有关知识测量旗杆(或路灯,或树,或烟囱)的高度
方法1:利用阳光下的影子
C
A
E
B
D
∵太阳的光线是平行的，
∴AE∥CB
.
∴∠AEB＝∠CBD
.
∵人与旗杆是垂直于地面的，
∴∠ABE＝∠CDB，
∴△ABE∽△CBD.
C
A
E
B
D
∴
即CD=
方法要点
运用方法1:可以把太阳光近似地看成平行光
线，计算时还要用到观测者的身高.
C
A
E
B
D
方法2:利用标杆测量旗杆的高度
A
N
C
E
M
B
F
D
A
N
C
E
M
B
F
D
3
A
N
C
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M
B
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D
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D
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1
2
1
2
3
1
2
3
1
2
如图，过点A作AN⊥DC于N，交EF于M．
∵人、标杆和旗杆都垂直于地面，
∴∠ABF＝∠EFD＝∠CDH＝90°．
∴人、标杆和旗杆是互相平行的．
∵EF∥CN，∴∠1＝∠2，
∵∠3＝∠3，△AME∽△ANC，
∴
∵人与标杆的距离、人与旗杆的距离，标杆与人的身高的差EM都已测量出，
∴能求出CN，
∵∠ABF＝∠CDF＝∠AND＝90°，
∴四边形ABND为矩形．
∴DN＝AB，
∴能求出旗杆CD的长度．
3
1
2
1
2
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A
N
C
E
M
B
F
D
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N
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M
B
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D
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A
N
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E
M
B
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3
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A
N
C
E
M
B
F
D
2
方法要点
运用方法2：观测者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端“三点共线”，标杆与地面要垂直，在计算时还要用到观测者的眼睛离地面的高度.
A
N
C
E
M
B
F
D
B
D
C
A
E
方法3:利用镜子
∵入射角＝反射角，
∴∠AEB＝∠CED
．
∵人、旗杆都垂直于地面，
∴∠B＝∠D＝
90°．
∴△EAB∽△ECD
．
B
D
C
A
E
即
CD=
∴
方法要点
运用方法3：光线的入射角等于反射角.
B
D
C
A
E
1．高4米的旗杆在水平地面上的影子长为6米，此时测得附近一个建筑物的影长为24米，则该建筑物的高度是
米．
16
2．如图是小明设计用手电筒测量某建筑物高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到该建筑物CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该建筑物的高度是（
）．
A．6米
B．8米
C．18米
D．24米
B
B
D
C
A
P
A
N
M
B
E
C
D
N
F
M
B
A
M
B
C
A
M
B
D
C
A
M
B
E
D
C
A
M
B
F
E
D
C
A
M
B
E
C
A
M
B
N
F
E
D
C
A
M
B
通过本节课的学习，你有哪些收获？
有何感想？你学会了哪些方法？
1．旗杆的影子长6米，同时测得旗杆顶端到其影子顶端的距离是10米，如果此时附近小树的影子长为3米，那么小树的高是___________米.
2
．如图，AB表示一个窗户的高，AM和BN表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离BC=1米，已知某一时刻BC在地面的影长CN=1.5米，AC在地面的影长CM=4.5米，
求窗户的高度.
A
M
C
B
N
知识的升华
独立
作业
基础题：助学4.6不带星号的.
提高题：助学4.6带星号的.
实践题：任务：全班同学每五人一个小组，选出组长，分头到户外自行选择你感兴趣的测量对象进行实际的测量，如旗杆、楼房、树、电线杆等并将结果记录下来.
一盗窃犯于夜深人静之时潜入某单位作案，该单位的自动摄像系统摄下了他作案的全过程.请你为警方设计一个方案，估计该盗窃犯的身高.课题：4.6利用相似三角形测高
课型：新授课
年级：九年级
教学目标：
1．通过测量旗杆的高度的活动，巩固相似三角形有关知识，提高综合运用三角形相似的判定条件和性质解决问题的能力，发展数学应用意识，加深对相似三角形的理解和认识．
2．在分组合作活动以及全班交流的过程中，进一步积累数学活动经验和成功的体验，增强学习数学的自信心．
3．情感与态度：理解数学模型来源生活，又为解决生活中的某一问题而服务，体会数学与实际生活的紧密联系，培养学生积极的进取精神，增强学生数学学习的自信心．实现学生之间的交流合作，体现数学知识解决实际问题的价值.
教学重点与难点：
重点：1．综合运用相似三角形判定、性质解决实际问题.
2．有序安排测量活动,并指导学生能顺利进行测量.
难点：把生活中的问题转化为数学问题，利用工具构造相似三角形模型.
关键：抓住测量方法，结合所学，进行问题的解决．
课前准备：多媒体课件．
教学过程:
复习回顾，引出课题
活动内容：
问题：请同学们回忆判定两三角形相似的条件有哪些？
处理方式：由一名学生口答：对应角相等，两三角形相似；对应边成比例，两三角形相似；有两组对应边成比例且其夹角相等，两三角形相似．
今天我们要学一节活动课,任务是利用三角形相似的有关知识,测量我校操场上旗杆的高度、大树的树高、楼房等——板书课题.
活动课题：利用相似三角形的有关知识测量旗杆（或路灯杆）的高度．
活动方式：分组活动、全班交流研讨．
活动工具：小镜子、标杆、皮尺等测量工具．
设计意图：回顾复习三角形相似判定定理，为本节课奠定基础，同时揭示本节课课题，明确目标．
活动探究，体验方法
方法1：利用阳光下的影子（原理：这是直接运用相似三角形的方法）．
操作方法：一名学生在直立于旗杆影子的顶端处测出该同学的影长和此时旗杆的影长．
处理方式：由小组交流、体会操作方法，把生活中的问题转为数学模型．教师注意点拨：把太阳的光线看成是平行的，构造出相似三角形进而利用三角形相似得出比例式．
示意图：
说明：AE、BC表示光线，DC表示旗杆，EB表示人影长，AB表示身高，BD表示杆影长．
∵太阳的光线是平行的，
∴AE∥CB．
∴∠AEB＝∠CBD．
∵人与旗杆是垂直于地面的，
∴∠ABE＝∠CDB．
∴△ABE∽△CBD．
∴．
即CD=．
因此，只要测量出人的影长BE，旗杆的影长BD，再知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的高度了．
设计意图：设置贴近学生生活的情景问题，使学生置身其中，提高学生的注意力，从而达到更有效的激发学生的情趣，使学生很快的进入学习状态．
方法2:利用标杆测量旗杆的高度（原理：这是间接运用相似三角形的方法）
操作方法：选一名学生为观测者，在他和旗杆之间的地面上直立一根高度已知的标杆，观测者前后调整自己的位置，使旗杆顶部、标杆顶部与眼睛恰好在同一直线上时，分别测出他的脚与旗杆底部，以及标杆底部的距离即可求出旗杆的高度．
处理方式：由小组交流、理解、体会操作方法，在教师引导下构造出相似三角形，了解可测出的数量，并完成解题过程．教师提醒用此方法时观测者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端“三点共线”，标杆与地面要垂直．
示意图：
如图，过点A作AN⊥DC于N，交EF于M．
点拨：∵人、标杆和旗杆都垂直于地面，∴∠ABF＝∠EFD＝∠CDH＝90°．
∴人、标杆和旗杆是互相平行的．
∵EF∥CN，∴∠1＝∠2．
∵∠3＝∠3，△AME∽△ANC，
∴．
∵人与标杆的距离、人与旗杆的距离，标杆与人的身高的差EM都已测量出，
∴能求出CN．
∵∠ABF＝∠CDF＝∠AND＝90°，
∴四边形ABND为矩形．
∴DN＝AB．
∴能求出旗杆CD的长度．
设计意图：学生从中感受到相似三角形的构造方法，同时复习应用了相似三角形的判定方法．体会数学来源于生活并服务于生活．
方法3：利用镜子的反射（原理：这是直接运用相似三角形的方法）．
操作方法：选一名学生作为观测者．在他与旗杆之间的地面上平放一面镜子，固定镜子的位置，观测者看着镜子来回调整自己的位置，使自己能够通过镜子看到旗杆项端．测出此时他的脚与镜子的距离、旗杆底部与镜子的距离就能求出旗杆的高度．
处理方式：学生先独立思考体会操作方法，在教师引导下理解“入射角＝反射角”这一物理知识，并根据相似三角形完成解题过程．教师引导学生如何根据测量的数据及相似三角形的知识求解，代入测量数据即可求出CD的长度
示意图：
∵入射角＝反射角，
∴∠AEB＝∠CED．
∵人、旗杆都垂直于地面，
∴∠B＝∠D＝90°．
∴△EAB∽△ECD．
∴．
即
CD=．
因此，测量出人与镜子的距离BE，旗杆与镜子的距离DE，再知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的高度．
设计意图：结合物理上的知识“入射角＝反射角”得到相似三角形，将物理与数学相结合，体会知识服务于生活这一理念．
活动内容1：
我们在应用以上几种测量方法时要注意哪几点？
处理方式：学生总结归纳．
运用方法1时可以把太阳光近似地看成平行光线，计算时还要用到观测者的身高．
运用方法2时观测者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端“三点共线”，标杆与地面要垂直，在计算时还要用到观测者的眼睛离地面的高度．
运用方法3时应注意光线的入射角等于反射角的现象．
活动内容2：
同学们经历了上述三种方法，你还能想出哪些测量旗杆高度的方法？
处理方式：引导学生积极参与，在各人独立思考的基础上，充分交流，集思广益．
思路点拔：1．一名同学作为观测者水平拖着一个含有45°角的直角三角板，适当调整自己所处位置，当旗杆的顶端、三角板的斜面与眼睛恰好在同一条直线上时其他同学立即测出观测者的脚到旗杆底部的距离以及观测者的高度，就能求出旗杆的高度．2．拿一根知道长度的直棒，手臂伸直，不断调整自己的位置，使直棒刚好完全挡住旗杆，量出此时人到旗杆的距离、人手臂的长度和棒长，就可以利用三角形相似来进行计算．
活动内容3：
上述几种测量方法各有哪些优缺点？
处理方式：交流、补充，归纳总结．
参考答案：三种测量方法的优点是简单易行，无需复杂的测量工具．方法1最好操作，只受太阳光的限制，在有太阳光的前提下选择方法1较好，方法2与方法3相比，操作过程相差不多，但从计算过程来看，选择方法3较好．缺点：误差较大、需多人合作．
设计意图：通过动手实践、合作探究、交流讨论，使学生经历发现知识的过程，获得分析和解决问题的能力，变“学会”为“会学”，获得广泛的数学活动经验，从而成为学习的主人．
三、应用新知，解决问题
1．高4米的旗杆在水平地面上的影子长为6米，此时测得附近一个建筑物的影长为24米，则该建筑物的高度是______________米．
2．如图是小明设计用手电筒测量某建筑物高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到该建筑物CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该建筑物的高度是（
）
A．6米
B．8米
C．18米
D．24米
第2题图
3．如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M、颖颖的头顶B及亮亮的眼睛A恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C、D.然后测出两人之间的距CD＝1.25
m，颖颖与楼之间的距离DN＝30
m，颖颖的身高BD＝1.6
m，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC＝0.8m．你能根据以上测量数据帮助他们求出该住宅楼的高度吗？
第3题图
处理方式：学生对于1、2两题学生较容易得出答案，第3题有难度，要求学生先独立思考，再合作交流，集思广益．师生共同完成第3题的书写过程教师找学生口述过程．
解：过A作CN的平行线交BD于E，交MN于F．
由已知可得FN＝ED＝AC＝0.8
m，AE＝CD＝1.25
m，EF＝DN＝30
m，∠AEB＝∠AFM＝90°．
又∠BAE＝∠MAF，
∴△ABE∽△AMF．
∴＝.．
即＝.
解得MF＝20.
∴MN＝MF＋FN＝20＋0.8＝20.8(m)．
所以该住宅楼的高度为20.8
m.
设计意图：本题组注重知识点的直接应用，通过练习，巩固对本节课知识的理解，更好的应用相似三角形的有关知识解决相关问题.
四、盘点收获，总结串联
通过本节课的学习，
你有哪些收获？
有何感想？
你学会了哪些方法？
设计意图：过让学生积极反思所学，大胆发言，谈收获或困惑，目的是让学生对本节课所学的几个方面的专题作一个条理的，清晰的认识，从而揭示问题的本质，养成数学思考和反思总结的习惯．
五、达标检测，反馈矫正
1．旗杆的影子长6米，同时测得旗杆顶端到其影子顶端的距离是10米，如果此时附近小树的影子长为3米，那么小树的高是___________米．
2．如图，AB表示一个窗户的高，AM和BN表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离BC=1米，已知某一时刻BC在地面的影长CN=1.5米，AC在地面的影长CM=4.5米，求窗户的高度．
处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．
设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．
六、布置作业，落实目标
基础题：助学4.6不带星号的．
提高题：助学4.6带星号的．
实践题：任务：全班同学每五人一个小组，选出组长，分头到户外自行选择你感兴趣的测量对象进行实际的测量，如旗杆、楼房、树、电线杆等并将结果记录下来．
编外侦探：一盗窃犯于夜深人静之时潜入某单位作案，该单位的自动摄像系统摄下了他作案的全过程．请你为警方设计一个方案，估计该盗窃犯的身高．
设计意图：通过做题加深对知识的理解，进一步巩固本节知识．课外习题提升学生动手实践能力，更好的将知识应用于生活．
板书设计：
§4.6
利用相似三角形测高
方法1：
方法2：
方法3：
题组练习
投影区
学
生
活
动
区
