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第四章
图形的相似
4.7
相似三角形的性质（1）
同学们:还记得相似三角形的定义吗 还记得相似多边形的对应边、对应角有什么关系吗？
相似三角形的对应边成比例、对应角相等。
回顾与反思
在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将研究相似三角形的其他性质.
在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题.如图，小王依据图纸上的△ABC，以1∶2的比例建造了模型房梁△A′B′C′，CD和C′D′分别是它们的立柱。
探究活动一：
探究相似三角形对应高的比.
(1)试写出△ABC与△A′B′C′的对应边之间的关系，对应角之间的关系。
(2)△ACD与△A′C′D′相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比。
探究活动一：
探究相似三角形对应高的比.
(3)如果CD=1.5cm，那么模型房的房梁立柱有多高？
(4)据此，你可以发现相似三角形怎样的性质？
探究活动一：
探究相似三角形对应高的比.
如图：已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，
AD平分∠BAC，A′D′平分∠B′A′C′
；E、
E′分别为BC、B′C′的中点．试探究AD与
A′
D′的比值关系，AE与A′E′呢？
探究活动二：
探究相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比
A
B
C
D
E
A
′
B
′
C
′
D
′
E
′
相似三角形性质定理：
相似三角形对应高的比,对应角平分线的比,对应中线的比都等于相似比。
A
B
C
D
E
A/
B/
C/
D/
E/
F
F‘
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴
变式拓展探究：
如果把角平分线、中线变为对应角的三等分线、四等分线、…n等分线，对应边的三等分线、四等分线、…n等分线，那么它们也具有特殊关系吗？
探究活动二：
类比探究相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比
探究活动二：(变式拓展)
探究活动二：(变式拓展)
相似三角形对应角的n等分线的比,对应边的n等分线的比都等于相似比。
学以致用
如图4-32，AD是△ABC的高，AD=h，点R
在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD,垂足为E.
当
时，求DE的长，如果
呢？
学以致用
练习：（课本95页随堂练习2）
两个相似三角形中一组对应角平分线的长分别是2cm和5cm，求这两个三角形的相似比。在这两个三角形的一组对应中线中，如果较短的中线是3cm，那么较长的中线多长？
同学们：经历了这节课的探索学习，你在知识上和方法上什么收获呢？请说说看。
相似三角形的性质:
相似三角形对应高的比,对应角平分线
比,对应中线的比都等于相似比。
课堂小结
小试牛刀
A
组
1．两个相似三角形的相似比为,
则对应高的比为
，
则对应中线的比
.
2.相似三角形对应边的比为2∶3,那么对应角的角平分线的比为
.
3．两个相似三角形对应中线的比为，则对应高的比为
.
小试牛刀
B
组：
4．如图△ABC∽△A′B′C′，
对应中线AD=6cm，A′D′=10cm，若BC=4.2cm，
求B′C′的长.
布置作业
课本
P107
习题
第1题.课题：4.7.1相似三角形的性质
课型：新授课
年级：九年级
教学目标：
1．经历探索相似三角形中对应线段比值与相似比的关系的过程，理解相似三角形的性质．
2．培养学生的探索精神和合作意识；通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识.在探索过程中发展学生类比的数学思想及全面思考的思维品质．
3．利用相似三角形的性质解决一些实际问题，在探索过程中发展学生积极的情感、态度、价值观，体现解决问题策略的多样性．
教学重点与难点：
重点：相似三角形中对应线段比值的推导及运用相似三角形的性质解决实际问题．
难点：相似三角形的性质的运用．
教学过程：
一、巧设情景，引入新课
在前面我们学习了相似三角形的定义和判定条件，知道相似三角形的对应角相等，对应边成比例.那么，在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将研究相似三角形的其他性质.
活动内容：在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题.如图，小王依据图纸上的△ABC，以1：2的比例建造了模型房梁△A′B′C′，CD和C′D′分别是它们的立柱.
试写出△ABC与△A′B′C′的对应边之间的关系，对应角之间的关系.
△ACD与△A′C′D′相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比.
如果CD=1.5cm，那么模型房的房梁立柱有多高？
据此，你可以发现相似三角形怎样的性质？
处理方式：以问题串的形式引导学生思考，学生讨论交流，在导学案上完成后再展示说明，学生之间互相补充，教师适时点评．
设计意图：从学生熟悉的建筑模型房入手，激发学生学习兴趣，层层设问，引发学生思维层层递进，从相似三角形的最基本性质展开研究.使学生明确相似比与对应高的比的关系,有利于激起学生的兴趣，感受了分类的必要性．
二、提出问题，自主探索
我们利用相似的判定与基本性质得到了相似三角形中一种特殊线段的关系，即对应高的比等于相似比，相似三角形中除了高是特殊线段，还有哪些特殊线段？它们也具有特殊关系吗？下面让我们一起探究
活动内容1：如图：已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD平分∠BAC，A′D′平分∠B′A′C′；E、E′分别为BC、B′C′的中点.试探究AD与
A/D/的比值关系，AE与A′E′呢？
处理方式：通过学生小组合作探究，类比前面探究过程，在导学案上至少证明其中一个结论,完成后再展示说明，学生之间互相补充，教师适时点评．
解：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴
，∠B=∠B′，=k．
∵AD平分∠BAC，A′D′平分∠B′A′C′，
∴．
∴△BAD∽△B′A′D′（两个角分别相等的两个三角形相似）
∴
，
解：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴
∠B=∠B′，．
∵E、E′分别为BC、B′C′的中点，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵∠B=∠B′，
∴△BAE∽△B′A′E′．（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）
∴．
设计意图：通过学生小组合作探究，类比前面探究过程，引发学生主动探究意识、培养合作交流能力，发展学生的类比的思维能力，与归纳总结能力.
活动内容2：我们已经得到了相似三角形中特殊线段的关系，如果把角平分线、中线变为对应角的三等分线、四等分线、…n等分线，对应边的三等分线、四等分线、…n等分线，那么它们也具有特殊关系吗？下面请同学们独立探索以下问题：
处理方式：学生能够根据二等分的证明过程很顺利地完成探究活动，并能够通过类比的思想总结出相关结论.
相似三角形对应角的n等分线的比和对应边的n等分线的比等于相似比.让学生在导学案上完成后再展示说明
（1）解：∵△ABC∽△A′B′C，
∴，∠B=∠B′，
=k．
∵，
∴．
∴△BAD∽△B′A′D′（两个角分别相等的两个三角形相似）
∴===k．
（2）解：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴
∠B=∠B′，==k．
∵，
∴=．
∵==k，
∴==k．
∵∠B=∠B′，
∴△BAE∽△B′A′E′（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）
∴===k．
设计意图：通过比较培养了学生观察、思考、类比、判断能力．亲身体会了数学与生活密切关系．有了前面探索的基础，学生完全有能力独立完成“变式问题”的探索，在探索过程中，发展学生类比探究的能力与独立解决问题的能力，培养学生全面思考的思维品质.
三、学以致用，尝试成功
活动内容：多媒体展示
如图4-32，AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC边上，
点S在AB边上，SR⊥AD,垂足为E.当时，求DE
的长，如果呢？
处理方式：找两名学生板演，其他同学在练习本上完成，教师巡视学生并辅导，做完后教师展示出答案先，由学生独立发现若有困难，可分组讨论交流．
设计意图：使学生能用相似三角形对应高的比等于相似比的性质来解决生活与生产中的实际问题.增强学生运用前面所学解决问题，培养学生能发现问题和解决问题的能力.
四、巩固提升，展示自我
1.
△ABC∽△A′B′C′，
AD和
A′D′是它们的对应角平分线．已知AD=8cm，A′D′=3cm
求△ABC与△A′B′C对应高的比.
2．如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15cm.他准备了一只长为20cm的蜡烛，想要得到高度为5cm的像，蜡烛应该放在距离纸筒多远的地方？
3．如图，
在△ABC
中，AB=5，D，E分别是边AC和AB上的点，且∠ADE=∠B，
DE=2，求AD、BC的值.
4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，且∠CAB=∠CBD，
已知AB=4，AC=6，BC=5，BD=5.5，求DE的长.
处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．
设计意图：分层设练，使学生知识、技能螺旋式的上升，也是一种思维与能力的训练．要求学生能用相似三角形对应高的比等于相似比的性质来解决生活与生产中的实际问题.增强学生的应用意识.
五、总结概括，整理知识
教师指导学生总结本节课所学基本内容和存在疑惑点，建议学生积极发言，教师了解学生的掌握情况及存在问题.
1.本节课有哪些收获？
2.学习本节课后，还有哪些疑惑？
处理方式：由学生进行课堂小结；⑴相似三角形的性质:
相似三角形对应高的比,对应角平分线的比,对应中线的比都等于相似比；⑵相似三角形对应角的n等分线的比,对应边的n等分线的比都等于相似比；
设计意图：让学生梳理所学知识点，以形成完整知识结构，培养归纳概括能力和语言表达能力．评价自己的学习表现，有利于学生看到自己的优点和不足，以及今后改正的方向，同时也有助于学习习惯的培养．
六、达标测试，反馈纠正
A组：
1．两个相似三角形的相似比为，
则对应高的比为______，
则对应中线的比_____.
2.相似三角形对应边的比为2∶3，那么对应角的角平分线的比为______.
3．两个相似三角形对应中线的比为，则对应高的比为______.
B组：
4．如图△ABC∽△A′B′C′，
对应中线AD=6cm，A′D′=10cm，若BC=4.2cm，求B′C′的长.
处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．
设计意图：分层设练，使学生知识、技能螺旋式的上升，也是一种思维与能力的训练．
七、布置作业，落实目标
课本 P107 习题 第1题．
板书设计：
§4.7
相似三角形的性质（1）
定理
例1：
A
B
C
D
E
A/
B/
C/
D/
E/
学生板演区
