(共19张PPT)
创设情境，导入新课
2．一元二次方程的求根公式是什么？
1．一元二次方程的一般形式是什么？一元二次方程有实数根的条件是什么？
知识回顾：
一元二次方程
1
1
-1
2
1
1
探究学习，获取新知
用你熟悉的方法解方程并填表
1.方程(1)的二次项系数、一次项系数、常数项分别是多少 两根之和、两根之积与它的二次项系数、一次项系数、常数项之间有什么关系？方程(2)和
方程(3)呢？
2.对于任意一个一元二次方程，这种关系都成
立吗？与同伴交流.
议一议
探究学习，获取新知
如果一元二次方程
的
两个根为
x1和x2，则x1+x2
是多少？x1x2是多少？．
探究学习，获取新知
试一试
探究学习，获取新知
试一试
探究学习，获取新知
试一试
一元二次方程根与系数的关系：
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,那么
归纳总结
探究学习，获取新知
韦达定理
例
利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积
例题解析，应用新知
例题解析，应用新知
解：
方程有两个实数根.
设方程的两根实数根是
那么
-7，
6．
方程有两个实数根．
设方程的两根实数根是
那么
-1．
例题解析，应用新知
用一元二次方程根与系数的关系公式解题的一般步骤
(1)把方程化为一般形式，进而确定a、b，c的值．(注意符号)
(2)求出b2-4ac的值．(先判别方程是否有根)
(3)在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的直代入两根之和两根之积公式求解．
归纳总结
例题解析，应用新知
利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积．(方程的两根为
x1,
x2)
应用新知，实战演练
x1+x2=____;
x1x2=
x1+x2=____;
x1x2=
x1+x2=____;
x1x2=
x1+x2=____;
x1x2=
3
-1
-1
-3
1
1．利用根与系数的关系，求一元二次方程
x2-2x-3=0
的两个根的倒数和．
拓展延伸，开放思维
2．已知方程3x2+kx-5=0的一个根为1，求它的
另一个根及k的值．
2.答案：另一个根为
，k的值为2
提示：1.答案：
通过本节课的学习，你有哪些收获？有何感想？你学会了哪些方法？
一元二次方程根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,那么
回顾反思，提炼升华
1．若x1和x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，
则x1
x2的值是
．
2.
若3是关于x的方程x2-5x+c=0的一个根，则这个方程的另一个根是
，ｃ的值是 ．
达标检测
提升自我
A组
-3
2
6
4．已知m和n是方程2x2-5x-3=0的两根，则
= ．
3．如果关于ｘ的一元二次方程x2-px+q=0的两个根分别为x1=2,
x2
=1那么p,q的值分别是 ．
B组（选做）
P＝３,q＝２
达标检测
提升自我
基础作业：课本51页，习题2.8第1题（1）（2）
第2题（2）（4）．
拓展作业：课本51页，习题2.8第3题，第4题．
布置作业，课堂延伸课题：2.5一元二次方法根与系数的关系
课型：新授课
年级：九年级
教学目标：
1．了解一元二次方程的根与系数的关系并会简单应用．
2．培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．
3．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神和全面辩证地认识事物的能力.
教学重点与难点：
重点：根与系数的关系的推导、运用.
难点：正确归纳、理解、运用根与系数的关系．
课前准备：多媒体课件．
教学过程:
一、创设情境，导入新课
活动内容：回答下列问题．
1．一元二次方程的一般形式是什么？一元二次方程有实数根的条件是什么？
2．一元二次方程的求根公式是什么？
处理方式：学生思考代表回答，教师强调并引导：通过一元二次方程的求根公式我们发现“一元二次方程的根可以由它的二次项系数a、一次项系数b、常数项c来确定，求根公式反映了根与系数的一种关系”．除此之外，一元二次方程的根与系数之间还存在什么样的关系呢？这节课我们共同探究2.5一元二次方法根与系数的关系．教师板书课题．
设计意图：通过复习公式法解一元二次方程的相关知识，有利于学生衔接前后知识，形成清晰的知识脉络，为后面的学习作好铺垫，同时又自然的引出本节课的课题．
二、探究学习，感悟新知
活动内容1：我们已经学过用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程方法，你能用合适的方法解下列方程吗？（多媒体出示）
1.用合适的方法解下列方程，并填表
一元二次方程
2.方程(1)的二次项系数、一次项系数、常数项分别是多少 两根之和、两根之积与它的二次项系数、一次项系数、常数项之间有什么关系？方程(2)和
方程(3)呢？
3.
对于任何一个一元二次方程，这种关系都成立吗？举例验证你的猜想．
处理方式：留3分钟的时间先让学生独立解方程，三个学生板书解方程的过程并填表，教师巡视指导．填表后让学生思考问题2，找到方程（1）的二次项系数、一次项系数、常数项分别是多少，然后观察表格，发现
与它的二次项系数和一次项系数有关系；
与它的二次项系数和常数项有关系．有什么关系？方程（1）和方程（2）不是太明显，分析方程（3）的二次项系数、一次项系数、常数项得出两根之和与它的二次项系数和一次项系数的关系，两根之积与它的二次项系数和常数项的关系．然后教师引导学生举例验证自己的猜想；学生感受对于任何一个一元二次方程这种关系都成立．
设计意图：复习巩固了解一元二次方程的方法，并感受可以根据方程的特点选择适当的方法．这一过程注重引导学生分析这三个方程的二次项系数、一次项系数、常数项和两根之和、两根之积的关系。利用表格清晰的展示方程的根、两根之和、两根之积与系数之间的关系．同时在这个活动中使学生经历观察猜想和验证的过程．
活动内容2：通过上面的探究过程，我们得出了一元二次方程的根与系数的关系，这一结论对所有的一元二次方程都成立吗？你能借助一元二次方程一般式说明两根之和、两根之积与系数的关系吗？
问题：如果一元二次方程的两个根用表示，请你计算两根的和、两根的积．（多媒体出示）
处理方式：学生尝试写出推导过程，教师巡视指导。教师利用多媒体出示推导过程，师生共同经历一元二次方程根与系数的关系的说理过程，提醒学生注意两根之和公式里存在“一”号．教师强调使用一元二次方程根与系数的关系的公式时是将一元二次方程化成一般式，并且适用在一元二次方程有根的时候，所以我们在用根与系数的关系时（1）将方程化成一般式，（2）确定二次项系数a、一次项系数b、常数项c的值，（3）利用判断一元二次方程是否有根．（多媒体出示）
一元二次方程的两根为：
两根之和为
两根之积为
教师强调总结：一元二次方程根与系数的关系：如果一元二次方程
有两个实数根，那么．这一结论习惯上称为“韦达定理”
．
学生理解并识记根与系数的关系公式．
设计意图：本活动的设计意在引导学生通过解出3个特殊的一元二次方程基础上再对一元二次方程的一般式求两根之和两根之积的探索，渗透由特殊到一般的教学规律，培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神和全面辩证地认识事物的能力.
三、例题解析，应用新知
活动内容：根据前面的说理过程，我们得出了一元二次方程两根之和、两根之积与系数的关系公式，那么你能应用这一关系公式解决实际问题吗？
例
利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：（多媒体出示）
；
．
处理方式：教师引导用两根之和、两根之积公式，是将一元二次方程化成一般式，必须保证在方程有根的条件下，所以我们在用根与系数的关系时先将方程化成一般式，再确定二次项系数a、一次项系数b、常数项c的值，判断一元二次方程是否有根．一名学生代表口述解题过程，教师板书（1）的解题过程。然后请一名学生代表板书（2）解题过程，其他学生独立完成，教师巡视指导，学生完成后教师可借助多媒体展示，让学生进一步理解并规范如何使用一元二次方程根与系数的关系公式进行解题．
解题过程展示：
解：
方程有两个实数根．
设方程的两根实数根是，那么
-7，6
．
．
方程有两个实数根．
设方程的两根实数根是，那么
，-1．
教师强调总结：用一元二次方程根与系数的关系公式解题的一般步骤．
(课件展示)
(1)把方程化为一般形式，进而确定a、b，c的值．(注意符号)
(2)求出b2-4ac的值．(先判别方程是否有根)
(3)在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的直代入两根之和两根之积公式求解．
巩固训练：
利用根与系数的关系，说出求下列方程的两根之和、两根之积：
（1）；
x1+x2=
________；
x1x2=
．
（2）；
x1+x2=
；
x1x2=
________ ．
（3）；
x1+x2=
_________ ；
x1x2=
__________ ．
（4）．x1+x2=
_________ ；
x1x2=
__________ ．
处理方式：留给学生3分钟在练习本上完成，教师巡视，适时点拨，找4名学生代表说出答案．教师强调对于第(3)（4）小题，一定先化成一般式，再求解．
设计意图：例1的设计主要是直接利用根与系数的关系，让学生体会解答分三步：先把方程化为一般形式，进而确定a、b，c的值，再判断方程的根的情况，最后根据一元二次方程的根与系数的关系得出两根之和、两根之积．又通过巩固训练加深对知识的理解与应用．
拓展延伸：
1．利用根与系数的关系，求一元二次方程的两个根的倒数和．
2．已知方程的一个根为1，求它的另一个根及k的值．
处理方式：（1）先让学生思考1分钟，再交流讨论。这里将倒数和转化为两根和与积的代数式，教师提示：
．（2）注意解题方法不唯一，可以利用韦达定理解题，也可以用方程的解的定义代入求出k的值后再解方程求另一个根．学生代表板演，其余学生在练习本上完成．完成后，让学生对板演的同学进行评价，教师及时点评表扬．
设计意图：进一步巩固根与系数的关系，使学生体会解题方法的多样性，开阔解题思路，优化解题方法，增强择优能力．学生在自主探索和合作交流的过程中进行学习，获得数学活动经验，培养学生思维严谨性和批判性．
四、回顾反思，提炼升华
通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．
处理方式：学生畅谈自己的收获，教师鼓励学生回顾本节课知识方面以及与之相联系的知识有哪些收获，解题技能方面有哪些提高并作适当评价．
教师强调：如果一元二次方程
有两个实数根，那么．
设计意图：通过回顾进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中，使学生养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．
五、达标检测，反馈提高
师：通过本节课的学习，同学们的收获真多！收获的质量如何呢？请完成导学案中的达标检测题．（同时多媒体出示）
A组：
1．若，是一元二次方程
的两个根，则的值是
．
2.
若3是关于的方程的一个根，则这个方程的另一个根是
．
B组（选做）
3．如果关于的一元二次方程的两个根分别为，=1那么p,q的值分别是
。
4．已知m和n是方程的两根，则+=
．
处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．
设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．
六、布置作业，课堂延伸
必做题：课本51页，习题2.8第1题（1）（2）第2题（2）（4）．
选做题：课本51页，习题2.8第3题，第4题．
板书设计：
§2.5一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系：
例解：
投影区
学
生
活
动
区
