课题：2.3.1用公式法求解一元二次方程
课型：新授课
年级：九年级
教学目标：
1．能运用公式法解数字系数的一元二次方程。不解方程,会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和两个实数根是否相等．
2．理解一元二次方程求根公式的推导过程，领悟所包含的数学思想和基本方法，培养熟练而准确的运算能力．
3．通过公式的引入与推导和判别方程根的情况的过程中，培养学生数学推理的严密性及严谨性，寻求简便方法的探索精神及创新意识．
教学重、难点：
重点：掌握公式和运用公式法解一元二次方程．
难点：求根公式的推导过程及应用．
课前准备：制作多媒体课件．
教学过程：
一、创设情境，导入新课
(课件展示)
活动内容：回答下列问题．
问题1：用配方法解方程2x2-9x+8=0．
问题2：用配方法解方程x2+2bx+4ac=0（b2-4ac≥0）．
问题3：问题2中，如果没有限制条件b2-4ac≥0呢？
处理方式：问题1、2由学生尝试用配方法解方程，并回顾用配方法解方程步骤；对于问题3先让学生分类讨论，如果b2-4ac≥0，就按上面的解题过程，如果b2-4ac＜0那么方程没有实数解．
设计意图：通过两个具体的题目回顾配方法的过程，回忆配方法的过程，尤其第二题为推导公式法做了铺垫，尤其是对判别式的讨论.
二、探究学习，感悟新知
探索：如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成这个问题．
活动1：自主推导求根公式。
问题1：你能用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）吗
处理方式：先鼓励学生自主推导求根公式,
并针对自己推导过程中预见的问题在小范围内自由研讨，特别是对配方后开方需满足的条件先由学生独立判断,再经过相互交流,学生将会印象深刻,有助于理解求根公式.老师巡回期间，进行引导、质疑、解惑,最后教师再利用课件演示推导过程.
(课件展示)
解：移项，得：ax2+bx=-c．
二次项系数化为1，得x2+x=-．
配方,得x2+x+（）2=-+（）2，
即（x+）2=．
当b2-4ac≥0，
直接开平方，得：x+=±HYPERLINK
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EMBED
Equation.DSMT4
，
即x=，
∴x1=，x2=．
当b2-4ac＜0
时方程没有实数解．
活动2：归纳总结一元二次方程的求根公式和公式法定义．
处理方式：教师再利用出示课件形式归纳总结一元二次方程的求根公式和公式法定义．学生看课本理解识记公式．
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x=就得到方程的根．
（2）x=叫做一元二次方程的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
注：
(1)在运用求根公式求解时，应先计算b2-4ac的值；当b2-4ac≥0时，可以用公式求出两个实数解；当b2-4ac＜0时，方程没有实数解．就不必再代入公式计算了．
(2)把方程化为一般形式后，在确定a、b、c时，需注意符号．
设计意图:
学生能否自主推导出来并不重要，重要的是由学生亲身经历公式的推导过程，只有经历了这一过程，他们才能发现问题、汲取教训、总结经验，形成自己的认识.在集体交流的时候，才能有感而发。
三、例题解析，应用新知
活动内容1：
问题1：例1
解方程：x2―7x―18=0．
问题2：试一试：通过例1你能总结用公式法解一元二次方程的一般步骤吗？
处理方式：问题1先给学生10秒钟时间观察思考，再口述解题过程，教师板书.在学生口述过程中，教师可进行有针对性的提问．教师分析板演解题过程:
解：这里a=1，b=―7，c=―18．
∵b2－4ac=(―7)2―4×1×(―18)=121>0，
∴x=，
即：x1=9，x2
=-2．
问题2先由学生根据例1解题过程独自思考，再分组交流分享,展示,其他组补充完善,最后教师以课件的形式梳理总结用公式法解一元二次方程的一般步骤．
(课件展示)
(1)把方程化为一般形式，进而确定a、b，c的值．(注意符号)
(2)求出b2-4ac的值．(先判别方程是否有根)
(3)在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的直代入求根公式，求出的值，最后写出方程的根．
活动内容2：
例2
解方程：．
例3
解方程：（x-2)(1-3x)=6．
问题3:议一议:通过例1、例2、例3你有什么发现？与同伴交流．
处理方式：对于例2、例3鼓励学生仿照例1的解题过程尝试完成，对于例2的解学生可能不易理解：同一个数为什么算两个根？这里可以作为一种约定告诉学生。对于问题3先鼓励学生独立完成，如果学生有困难，教师可以引导学生观察一元二次方程根的情况与b2-4ac的符号的关系，再与同伴分、展示，最后教师以课件的形式总结展示．(课件展示)
（1）b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式．
（2）由求根公式可知，b2-4ac≥0时一元二次方程有两个不相等实数根．
b2-4ac=0时一元二次方程有两个相等实数根．
b2-4ac＜0时一元二次方程没有实数根．
设计意图：通过让学生或口述交流或上黑板解方程，公示学生的思维过程，查缺补漏，了解学生的掌握情况和灵活运用所学知识的程度．
四、强化训练，巩固新知
问题1：判断下列方程是否有解：（学生口答）
(1)
2x2+3=7x；
（2）x2-7x=18；
（3）3x2+2x+1=0；
（4）9x2+6x+1=0；
(5)16x2+8x=3；
(6)
2x2-9x+8=0．
问题2：一个直角三角形三边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三边长．
处理方式：问题1学生迅速演算或口算出b2-4a，从而判断出根的情况。问题2学生口述，教师配同课件展示．
设计意图：第一题让学生熟练根的判别式的运用，加深对判别式的记忆和理解，第二题让学生熟悉解题格式步骤．
五、回顾反思，提炼升华
提出问题：
1．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么？
2．如何判断一元二次方程根的情况？
3．用公式法解方程应注意的问题是什么？
4．你在解方程的过程中有哪些小技巧？
处理方式：让学生在四人小组中进行回顾与反思后，进行组间交流发言。鼓励学生回顾本节课知识方面有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，通过回顾进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中。
设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．
六、达标检测，反馈提高
（多媒体出示）
A组：
1．（2014 自贡）一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.
只有一个实数根
D.没有实数根
2．解下列方程：（1）2x2+3=
7x；
（2）4x2+1＝4x．
B组：
3．（2014 株洲）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．
设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．
七、布置作业，课堂延伸
必做题：课本
43页
习题2.5
第1题（1）、（2）小题，第2题（1）、（2）小题．
选做题：课本
43页
习题2.5
第1题（3）小题，第2题（3）、（4）小题．
板书设计：
§2.3
用公式法求解一元二次方程(1)
公式推导根的判别式
例1
例2例3
投
影
区
学生活动区(共23张PPT)
你能用配方法解方程
2x2-9x+8=0
吗
1.化1:把二次项系数化为1;
3.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;
4.变形:方程左分解因式,右边合并同类;
5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
6.求解:解一元一次方程;
7.定解:写出原方程的解.
2.移项:把常数项移到方程的右边;
用配方法解下列关于x的方程：
x2+2bx+4ac＝0．
你能用配方法解方程
ax2+bx+c=0(a≠0)吗
ax2+bx+c=0(a≠0)
两边都除以a
移项
配方
如果
b2-4ac≥0
一般地,对于一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
老师提示:用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必须是一般形式的一元二次方程:
ax2+bx+c=0(a≠0).
2.b2-4ac≥0.
例
1
解方程：x2-7x-18=0.
解：这里
a=1,
b=
-7,
c=
-18.
∵b2
-
4ac=(-7)2
-
4×1×(-18)=121﹥0,
即：x1=9,
x2=
-2.
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
3.代入求根公式
:
2.求出
的值，
1.把方程化成一般形式，并写出a、b、c的值。
4.写出方程的解：
特别注意:当
时无实数解.
例
2
解方程：
解：原方程可化为：
这里
a=1,
b=
,
c=
3.
∵b2
-
4ac=(
)2
-
4×1×3=0,
即：x1=
x2=
例
3
解方程：（x-2)(1-3x)=6.
这里
a=3,
b=
-7,
c=
8.
∵b2
-
4ac=(-7)2
-
4×3×8=49
-
96=
-
47<
0,
∴原方程没有实数根.
解：去括号：x-2-3x2+6x=6.
化简为一般式：-3x2+7x-8=0.
原方程可化为：3x2-7x+8=0.
议一议:
通过例1、例2、例3你有什么发现？与同伴交流．
练一练！巩固新知
1.不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）x2-7x=18;
（2）2x2+3=7x
;
（3）3x2+2x+1=0
;
（4）9x2+6x+1=0
;
（5）16x2+8x=3;
（6）
2x2-9x+8=0.
2.一个直角三角形三边的长为三个连续偶数,求这个三角形的三边长.
.
10
2
,
6
2
=
+
=
-
\
x
x
B
A
C
设这三个连续偶数中间的一个为x.
解:
根据题意，得
解这个方程，得
).
,
(
0
,
8
2
1
舍去
不合题意
=
=
x
x
.
0
8
2
=
-
x
x
即
(
)
(
)
.
2
2
2
2
2
+
=
-
+
x
x
x
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是
什么？
2.如何判断一元二次方程根的情况？
3.用公式法解方程应注意的问题是什么？
4.你在解方程的过程中有哪些小技巧？
感悟与收获：
达标检测，反馈提高
A组：
1．（2014 自贡）一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
2．解列方程：
(1)
2x2+3=
7x
；
(2)
4x2+1＝4x．
B组：
3．（2014 株洲）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
布置作业，课堂延伸
必做题：课本43页
习题2.5
第1题
(1)、(2)
第2题(1)、(2)．
选做题：课本43页，习题2.5
第1题
(3)
第2题(3)、(4)．
