课题：2.3.2用公式法求解一元二次方程 课型：新授课 年级：九年级
教学目标：
1．经历列一元二次方程解决简单实际问题的过程，体会模型思想和方程的解必须符合实际意义，增强应用意识和能力；进一步巩固用配方法和公式法解一元二次方程．
2．通过设计方案培养学生创新思维能力，展示自己驾驭数学去解决实际问题的勇气、才能及个性．
教学重、难点：
重点：熟练运用公式法解一元二次方程．
难点是根据实际问题建立方程模型．
课前准备：多媒体课件．
教学过程：
一、创设情境，导入新课
活动内容1：知识回顾
用适当的方法解下列一元二次方程：（多媒体出示）
（1）x2－8x－9=0； （2）－3x2－5x＋2=0．
处理方式：先让学生口述用配方法和公式法解一元二次方程的步骤及注意事项．然后让两名学生根据自己选择的方法分别来解两个方程，并说明选择方法的理由，其余学生在练习本上解方程，完成后让其他学生进行点评，教师及时强调解方程过程中出现的问题．
活动内容2：导入新课
导语：同学们，前面我们已经学习了利用配方法和公式法解一元二次方程，你能利用一元二次方程来解决生活中的实际问题吗？本节课我们继续来学习解一元二次方程，并体会一元二次方程在生活中的应用．【教师板书课题：2.3用公式法求解一元二次方程（2）】
设计意图：知识回顾一方面帮助学生能够熟练的利用配方法和公式法来解一元二次方程，另一方面通过解方程的练习为后面说明设计方案合理性做好铺垫.使用疑问的语言导入新课，有利于激起学生的挑战欲望，培养学习兴趣．
二、探究学习，获取新知
活动内容1：提出问题（多媒体出示）
为了美化我们的校园，学校准备在一块长为16m，宽为12m的矩形荒地上，建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半．你能给出设计方案吗？
处理方式：教师提醒学生分析题意，在设计方案前先弄清题目的条件及设计要求．教师引导分析如下：
（1）已知的条件是什么？
（2）由已知的条件你能求出什么？
（3）建造的花园有什么要求．
设计意图：通过问题情境的设计，让学生以主人翁的态度投入到方案设计中，学习积极性高涨，学习效率高.
活动内容2：方案解析
小明的设计方案如图所示，其中花园四周小路的宽度都相等．设花园四周小路的宽度均为xm，根据题意可列怎样的一元二次方程？
处理方式：教师可先引导学生复习列方程解应用题的步骤，然后找出问题中的等量关系：花园的面积=矩形面积，从而列出的方程为： (16-2x)(12-2x)=×16×12，即x2-14x+24=0．
想一想：通过解方程，小明得到小路的宽为2m或12m，你认为小明的结果对吗？为什么？
处理方式：学生思考后在小组内交流自己的看．方程解的正确性可让学生解方程验证，如果部分同学忽视了验证解的合理性，教师要适时点拨，让学生在小组内交流后充分的说明原因，教师及时点评．
学生预设：
（1）验证解的正确性：（学生解方程，教师借助实物投影展示）
解：设小路的宽为xm，由题意，得
（16-2x）（12-2x）=16×12×．
整理，得 x-14x+24=0．
配方，得 x-14x+49=-24+49，
即 (x-7) =25．
解得x1=12，x2=2．
（2）解的合理性：因为荒地的宽为12m，并且小路的宽应小于荒地宽的一半，所以小路的宽不能为12m，它不是实际问题的解，应舍去.而小路的宽2m符合这个实际问题，所以小路的宽是2m．
设计意图：通过问题的解答和验证，一方面使学生明确用数学知识解决实际问题时，它的解要符合实际意义，增强用数学的意识，另一方面巩固用适当的方法解一元二次方程，提高学生的运算通力.
活动内容3：总结提练
通过对小明的设计方案的解析，你有什么收获？
处理方式：学生在小组交流后再发表自己的看法．
教师强调：在列一元二次方程解应用题，解完一元二次方程之后，不要急于下结论，而要按题意来检验这些根是不是实际问题的解．
设计意图：通过及时的总结进一步强化一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，同时要根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.
三、应用新知，实战演练
活动内容：同学们，对于花园设计问题，小亮和小颖也有自己的设计方案，你能根据对小明设计方案的解析，帮小亮和小颖求出图中的x吗？（多媒体出示）
1．小亮的设计方案如图所示，其中花园每个角上的扇形都相同．你能帮小亮求出图中的x吗？
（第1题） （第2题）
2．小颖的设计方案如图所示，你能帮她求出图中的x吗?
处理方式：教师引导学生分析方案的特点，依据等量关系列方程求解．小亮方案特点：四个相同的扇形拼凑在一起正好是一个圆，即四个相同扇形的面积之和恰为一个圆的面积；小颖方案特点：空地可以看成边长分别为(16-x)、(12-x)的矩形．然后让两名学生板演解题过程，师生共同评价．学生在解方程时提醒学生选择适当的方法．
参考答案：
1．解：设花园四角的扇形半径均为xm，由题意，得 x2π=×12×16．
解得x1=≈5.5，x2≈－5.5(舍去)．因此，扇形半径是x1=5.5m.．
2．解：根据题意，得 (16-x)(12-x)= ×16×12，即x2-28x+96=0．
解这个方程，得 x1=4，x2＝24(舍去)．所以x=4．
设计意图：增强用数学的意识，进一步巩固解一元二次方程及根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.
四、拓展延伸，设计方案
活动内容：你能根据学校的要求设计出其它方案吗？与同伴交流．
处理方式：学生以小组为单位设计具体方案，画出草图，然后交流各组的设计思路，开展小组竞赛活动．教师巡视学生的设计方案，选择有代表性的设计借助实物投影展示.
学生设计方案预设：（多媒体出示）
处理方式：在学生设计和展现作品时，教师提出具有挑战性、开放性的问题，以激发学生的学习热情的问题：
①怎样知道你的设计是否符合要求的？你能说明你的设计是符合要求的吗？
②以上图形哪些可以直接说明符合上面条件的？
③剩下的图形怎样通过计算来说明？
教师可根据课堂时间选择其中的一个或两个方案让学生通过计算说明设计方案的合理性．
设计意图：在学生初步掌握一定技能之后，将技能训练寓于问题的解决过程中．培养学生应用数学意识，增强学习数学的兴趣和信心．
五、回顾反思，提炼升华
通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．
处理方式：学生畅谈自己的收获！
教师强调：通过本节课的学习，同学们经历列一元二次方程解决简单实际问题的过程，体会模型思想及方程的解必须符合实际意义。因此，在列一元二次方程解应用题，解完一元二次方程之后，不要急于下结论，而要按题意来检验这些根是不是实际问题的解，从而增强数学的应用意识，全面提高自己的能力．
设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．
六、达标检测，反馈提高
活动内容：通过本节课的学习，同学们的收获真多！收获的质量如何呢？请完成导学案中的达标检测题．（同时多媒体出示）
1．用适当的方法解方程：x2+4x-2=0．
2．某校团委准备举办学生绘图展览，为美化画面，在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，求彩纸的宽度．
3．（选做）在一幅长90cm、宽60cm的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金边的宽应该是多少？
【解：设金边的宽为xm，由题意，得(90+2x)(40+2x)×72%=90×40．】
处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．
设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．
七、布置作业，课堂延伸
基础作业：课本 P44 习题2.6 第3题．
拓展作业：课本 P45 习题2.6 第4题．
板书设计：
§2.3 用公式法求解一元二次方程(2)
小明的设计方案：
解：
小亮的设计方案：
解：
小颖的设计方案：
解：
课件18张PPT。 在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么. ---达哥拉斯创设情境，导入新课 用适当的方法解下列一元二次方程：（1）x2－8x－9=0；
（2）－3x2－5x＋2=0．知识回顾： 2.3 用公式法求解一元二次方程（2）第二章 一元二次方程义务教育教科书（北师大版）数学 九年级上册 在一块长为16m，宽为12m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半。你能给出设计方案吗？探究学习，获取新知 提出问题： （1）已知的条件是什么？
（2）由已知的条件你能求出什么？
（3）建造的花园有什么要求．想一想： 小明的设计方案如图所示，其中花园四周小路的宽度都相等．设花园四周小路的宽度均为xm，根据题意可列怎样的一元二次方程？ 方案解析： 探究学习，获取新知 探究学习，获取新知 通过解方程，小明得到小路的宽为2m或12m，你认为小明的结果对吗？为什么？想一想：探究学习，获取新知 验证解的正确性：整理，得 x2-14x+24=0.解：设小路的宽为xm，由题意，得配方，得 x2-14x+49=-24+49，即 (x-7)2 =25.所以 x1=12，x2=2．即 x-7=5或x-7=-5.探究学习，获取新知 因为荒地的宽为12m，并且小路的宽应小于荒地宽的一半，所以小路的宽不能为12m，它不是实际问题的解，应舍去.而小路的宽2m符合这个实际问题，所以小路的宽是2m．解的合理性：总结提练:探究学习，获取新知 在列一元二次方程解应用题时，解完一元二次方程之后，不要急于下结论，而要按题意来检验这些根是不是实际问题的解． 1.小亮的设计方案如图所示，其中花园每个角上的扇形都相同．你能帮小亮求出图中的x吗？应用新知，实战演练 2.小颖的设计方案如图所示，你能帮她求出图中的x吗?应用新知，实战演练 答案：x1= 4 ，x2= 24（舍去） ．拓展延伸，开放思维 你能根据学校的要求设计出其它方案吗？与同伴交流． 方案赏析：燃烧你的激情！ 方案赏析：拓展延伸，开放思维回顾反思，提炼升华 通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家． 在列一元二次方程解应用题，解完一元二次方程之后，不要急于下结论，而要按题意来检验这些根是不是实际问题的解．挑战自我，相信你能行！ 达标检测，反馈提高 1．用适当的方法解方程：x2+4x-2=0.
2．某校团委准备举办学生绘图展览，为美化画面，在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，求彩纸的宽度.加油，你是最棒的！达标检测，反馈提高 3.（选做）在一幅长90cm、宽60cm的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金边的宽应该是多少？
布置作业，课堂延伸 基础作业：P44 习题2.6 第3题．
拓展作业：P45 习题2.6 第4题．
