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中考专题复习
--解直角三角形
要点梳理
1
．
解直角三角形的概念、方法及应用：
解直角三运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题角形：由直角三角形中除直角外的已知元素
，
求出所有未
知元素的
过程叫做解直角三角形．
直角三角形中的边角关系：在
Rt
△
ABC
中
，
∠
C
＝
90
°
，
∠
A
，
∠
B
，
∠
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，
则：
(1)
边与边的关系：
__
a
2
＋
b
2
＝
c
2
__
；
(2)
角与角的关系：
__
∠
A
＋
∠
B
＝
90
°
__
；
(3)
边与角的关系：
__
sinA
＝
cosB
＝
a
c
，
cosA
＝
sinB
＝
b
c
，
tanA
＝
a
b
，
tanB
＝
b
a
__
．
要点梳理
2．直角三角形的边角关系在现实生活中有着广泛的应用，它经常涉及测量、工程、航海、航空等，其中包括了一些概念，一定要根据题意明白其中的含义才能正确解题．
(1)铅垂线：重力线方向的直线；
要点梳理
(
2
)
水平线：与铅垂线垂直的直线
，
一般情况下
，
地平面
上的两点确定的直线我们认为是水平线；
(
3
)
仰角：向上看时
，
视线与水平线的夹角；
(
4
)
俯角：向下看时
，
视线与水平线的夹角；
(
5
)
坡角：坡面与水平面的夹角；
要点梳理
(
6
)
坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度
(
或坡
比
)
，
一般情况下
，
我们用
h
表示坡的铅直高度
，
用
l
表
示坡的水平宽度
，
用
i
表示坡度
，
即
i
＝
h
l
＝
tan
α
，
显然
，
坡度越大
，
坡角就越大
，
坡面也就越陡；
要点梳理
(7)方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角．
注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的方位为上北下南，左西右东．
转化思想
(1)在直角三角形中，求锐角三角函数值的问题，一般转化为求两条边的问题，这样就把新知识(求锐角三角函数值)转化为旧知识(求直角三角形的边长)，因此不可避免地用到勾股定理．若原题没有图形，可以画出示意图，直观地观察各边的位置及类型(直角边还是斜边)，再运用定义求解；也可以直接通过字母来判断边的位置和类型，即∠A的对边为BC，∠B的对边为AC，∠C的对边为AB.
(2)在解斜三角形时，通常把斜三角形转化为直角三角形，常见的方法是作高，通过作高把斜三角形转化为直角三角形，再利用解直角三角形的有关知识解决问题．注意在画图过程中考虑一定要周到，不可遗漏某一种情况．
方法技巧
将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系进行计算，当有些图形不是直角三角形时，应大胆尝试添加辅助线，把它们分割成一些直角三角形或矩形，把实际问题转化为直角三角形进行解决．解题时可设未知数进行求解，从要求的量所在的直角三角形分析，解之，若条件不足，转而先去解所缺条件所在的直角三角形，然后返回；若条件仍不足，再去解第二次所缺条件所在的直角三角形，直至与全部已知条件挂上钩，然后层层返回．
一、仰角、俯角问题
1．(2016·茂名)如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A点处，观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD＝60°，然后爬到教学楼上的B处，观测到旗杆底端D的俯角是30°，已知教学楼AB高4米．
(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD；(结果保留根号)
(2)求旗杆CD的高度．
解：(1)∵教学楼B点处观测到旗杆底端D的俯角是30°，
∴∠ADB＝30°.
在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ADB＝30°，AB＝4
m，
∴AD＝4(m)．
答：教学楼与旗杆的水平距离是4
m.
(2)∵在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，∠CAD＝60°，AD＝4
m，
∴CD＝AD·tan60°＝4×＝12(m)．
答：旗杆CD的高度是12
m.
二、
方位角问题
2、(2016·菏泽)南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向20(1＋)海里的C处，为了防止某国巡警干扰，就请求我A处的鱼监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之间的距离．
三、坡角、坡度(比)问题
(2016·济宁)某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1∶1，
为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC的坡度为1∶
√3.
(1)求新坡面的坡角α；
(2)原天桥底部正前方8米处(FB的长)的文化墙FM是否需要拆除？请说明理由．
四、与实际生活相关的问题
(2016·江西)如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆．已知OA＝OB＝10
cm.
(1)当∠AOB＝18°时，求所作圆的半径；(结果精确到0.01
cm)
(2)保持∠AOB＝18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与(
1)中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．(结果精确到0.01
cm)(参考数据
：sin9°≈0.156
4，cos9°≈0.987
7，sin18°≈0.309
0，cos18°≈0.951
1，可使用科学计算器)
巩固应用
1、(2014·广安)为邓小平诞辰110周年献礼，广安市政府对城市建设进行了整改，如图，已知斜坡AB长60
√2米，坡角(即∠BAC)为45°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE(下面两个小题结果都保留根号)．
(1)若修建的斜坡BE的坡比为√
3∶1，求休闲平台DE的长是多少米？
(2)一座建筑物GH距离A点33米远(即AG＝33米)，小亮在D点测得建筑物顶部H的仰角(即∠HDM)为30°.点B，C，A，G，H在同一个平面内，点C，A，G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？
2、(2012·青岛)如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE；而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13米的距离(B，F，C在一条直线上)．
(1)求教学楼AB的高度；
(2)学校要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．(结果保留整数，参考数据：sin22°≈3/8，cos22°≈15/16，tan22°≈2/5)中考专题复习
-----解直角三角形教案
教学目标：
1、通过实例认识锐角三角函数(sinA，
( http: / / www.21cnjy.com )cosA，tanA)，理解和掌握直角三角形的边角关系，以及在解直角三角形中涉及的相关概念，运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。
2、通过对直角三角形相应知识的回顾、应用，让学生在运用过程中利用转化有等思想和方法，从而提升学生对知识的应用能力等。
3、通过对本节知识的复习，提升学生对知识的归纳能力与应用能力。
教学重难点：
运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题
教学过程：
要点梳理
1、解直角三角形的概念、方法及应用：
解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
直角三角形中的边角关系：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则：
(1)边与边的关系：__a2＋b2＝c2__；
(2)角与角的关系：__∠A＋∠B＝90°__；
(3)边与角的关系：__sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝，tanB＝__．
2、直角三角形的边角关系在现实生活中有着广
( http: / / www.21cnjy.com )泛的应用，它经常涉及测量、工程、航海、航空等，其中包括了一些概念，一定要根据题意明白其中的含义才能正确解题．
(1)铅垂线：重力线方向的直线；
(2)水平线：与铅垂线垂直的直线，一般情况下，地平面上的两点确定的直线我们认为是水平线；
(3)仰角：向上看时，视线与水平线的夹角；
(4)俯角：向下看时，视线与水平线的夹角；
(5)坡角：坡面与水平面的夹角；
(6)坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫
( http: / / www.21cnjy.com )做坡度(或坡比)，一般情况下，我们用h表示坡的铅直高度，用l表示坡的水平宽度，用i表示坡度，即i＝＝tanα，显然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡；
(7)方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角．
注意：东北方向指北偏东45
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学法指导
1、转化思想
(1)在直角三角形中，求锐角三角函数值
( http: / / www.21cnjy.com )的问题，一般转化为求两条边的问题，这样就把新知识(求锐角三角函数值)转化为旧知识(求直角三角形的边长)，因此不可避免地用到勾股定理．若原题没有图形，可以画出示意图，直观地观察各边的位置及类型(直角边还是斜边)，再运用定义求解；也可以直接通过字母来判断边的位置和类型，即∠A的对边为BC，∠B的对边为AC，∠C的对边为AB.
(2)在解斜三角形时，通常把斜三角
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2、方法技巧
将实际问题中的数量关系归结为直角三
( http: / / www.21cnjy.com )角形中元素之间的关系进行计算，当有些图形不是直角三角形时，应大胆尝试添加辅助线，把它们分割成一些直角三角形或矩形，把实际问题转化为直角三角形进行解决．解题时可设未知数进行求解，从要求的量所在的直角三角形分析，解之，若条件不足，转而先去解所缺条件所在的直角三角形，然后返回；若条件仍不足，再去解第二次所缺条件所在的直角三角形，直至与全部已知条件挂上钩，然后层层返回．
归类探究、考点呈现
1、 仰角、俯角问题
(2016·茂名)如图，在数学活动课中，小
( http: / / www.21cnjy.com )敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A点处，观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD＝60°，然后爬到教学楼上的B处，观测到旗杆底端D的俯角是30°，已知教学楼AB高4米．
(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD；(结果保留根号)
(2)求旗杆CD的高度．
( http: / / www.21cnjy.com )
2 方位角问题
(2016·菏泽)南沙群
( http: / / www.21cnjy.com )岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向20(1＋)海里的C处，为了防止某国巡警干扰，就请求我A处的鱼监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之间的距离．
3 坡角、坡度(比)问题
(2016·济宁)某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC的坡度为1∶.
(1)求新坡面的坡角α；
(2)原天桥底部正前方8米处(FB的长)的文化墙FM是否需要拆除？请说明理由．
4 与实际生活相关的问题
(2016·江西)如图
( http: / / www.21cnjy.com )1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆．已知OA＝OB＝10
cm.
(1)当∠AOB＝18°时，求所作圆的半径；(结果精确到0.01
cm)
(2)保持∠AOB＝18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与(1)中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．(结果精确到0.01
cm)(参考数据：sin9°≈0.156
4，cos9°≈0.987
7，sin18°≈0.309
0，cos18°≈0.951
1，可使用科学计算器)
( http: / / www.21cnjy.com )
巩固应用
1、(2014·广安)为邓小平诞辰1
( http: / / www.21cnjy.com )10周年献礼，广安市政府对城市建设进行了整改，如图，已知斜坡AB长60米，坡角(即∠BAC)为45°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE(下面两个小题结果都保留根号)．
(1)若修建的斜坡BE的坡比为∶1，求休闲平台DE的长是多少米？
(2)一座建筑物GH距离A点33米远(
( http: / / www.21cnjy.com )即AG＝33米)，小亮在D点测得建筑物顶部H的仰角(即∠HDM)为30°.点B，C，A，G，H在同一个平面内，点C，A，G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？
2、(2012·青岛)如图，某校教
( http: / / www.21cnjy.com )学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE；而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13米的距离(B，F，C在一条直线上)．
(1)求教学楼AB的高度；
(2)学校要在A，E之间挂一些彩旗，请你
( http: / / www.21cnjy.com )求出A，E之间的距离．(结果保留整数，参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈)
