(共19张PPT)
从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，他的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？通过这节课的学习你将会解决这个问题.
幼儿园某教室矩形地面的长为8m,宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2
的地毯（如图2-1），四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？如果设所求的宽度xm,那么你能列出怎样的方程？
你怎么解决这个问题？
做一做
认识一元二次方程
解：如果设所求的宽度
为xm
,那么地毯长方形图案的长为
m,宽为
m,根据题意,可得方程：
（8－2x）
（5－2x）
(8
－
2x)
(5
－
2x)
=
18.
5
x
x
x
x
（8－2x）
（5－2x）
8
18m2
做一做
数学化
你能行！
观察下面等式：
１０２＋１１２＋１２２＝１３２＋１４２
你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？
如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为： ， ， ， ．
想一想
x＋1
x
＋2
x
＋3
x
＋4
根据题意，可得方程：
.
(x＋1)2
(x＋
2)2
＋
(x＋3)2
(x＋4)2
＝
＋
x2
＋
一般化
x
8m
1
10m
7m
6m
解：由勾股定理可知，滑动前梯
子底端距墙 m
如果设梯子底端滑动X
m，那么滑
动后梯子底端距墙 m
根据题意，可得方程：
72＋(x＋6)2＝102
6
x＋6
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？
10m
做一做
数学化
上面的方程都是只含有 的
，并且都可以化为
的形式，这样的方程叫做一元二次方程．
一元二次方程的概念
由上面三个问题，我们可以得到三个方程：
(8-2x)(５-２x)=18;
即
2x2
－
13x
＋
11
=
0
.
x２+(x+1)２+(x+2)２=(x+3)２+(x+４)２
即
x2
－
8x
－
20＝0.
（
x＋６）２＋７２＝１０２
即
x2
＋12
x
－15
＝0.
回顾与思考
上述三个方程有什么共同特点？与我们以前学过的一元一次方程和分式方程有什么区别？
一个未知数x
整式方程
ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,
a≠０)
我们把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称为一元二次方程的一般形式，其中ax２
，
bx
，
c分别称为二次项、一次项和常数项，a，
b分别称为二次项系数和一次项系数．
下列方程哪些是一元二次方程
为什么？
(2)2x2－5xy＋6y＝0
(5)x2＋2x－3＝1＋x2
探索思考
(1)7x2－6x＝0
解:
(1)、
(4)
(3)2x2－
－1
＝0
－
1
3x
(4)
＝0
－
y2
2
内涵与外延
1.关于x的方程(k－3)x2
＋
2x－1＝0,当k 时，是一元二次方程．
2.关于x的方程(k2－1)x2
＋
2
(k－1)
x
＋
2k
＋
2＝0,当k
时，
是一元二次方程．,当k
时，是一元一次方程．
想一想:
≠3
≠±1
＝－1
练一练
1.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
方 程
一般形式
二次项
系 数
一次项
系 数
常数项
3x2=5x-1
(x+2)(x
-1)=6
4-7x2=0
3x2－5x＋1＝0
x2
＋
x－8＝0
或－7x2
＋0
x＋4＝0
3
－5
＋1
1
＋1
－8
－7
0
4
3
－5
1
1
1
－8
－7
0
4
或7x2
－
4＝0
7
0
－
4
－7x2
＋4＝0
解：设竹竿的长为x尺,则门的宽
度为
尺,长为
尺,依题意得方程：
2．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．
(x－4)2＋
(x－2)2＝
x2
即
x2－12
x
＋20
＝
0
4尺
2尺
x
x－4
x－2
数学化
(x－4)
(x－2)
回味无穷
本节课你又学会了哪些新知识呢？
１．学习了什么是一元二次方程，以及它的一般形式ax２＋bx＋c＝０（a，b，c为常数，a≠０）和有关概念，如二次项、一次项、常数项、二次项系数、一次项系数．
２．会用一元二次方程表示实际生活中的数量关系
小结
拓展
1.一元二次方程的一般形式是__________.
2.将方程－5x2+1=6x化为一般形式为__________.
3.将方程(x+1)2=2x化成一般形式为__________.
4.方程2x2=－8化成一般形式后，一次项系数为__________，常数项为__________.
当堂达标
5.下列方程中，不是一元二次方程的是
A、2x2+7=0
B、2x2+2x+1=0
C、5x2++4=0
D、3x2+(1+x)
+1=0
6.方程x2－2(3x－2)+(x+1)=0的一般形式是
A、x2－5x+5=0
B、x2+5x+5=0
C、x2+5x－5=0
D、x2+5=0课题：2.1.1认识一元二次方程
课型：新授课
年级：
九年级
教学目标：
1.正确理解一元二次方程的概念.
2.掌握一元二次方程的一般形式.
3.经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型．
教学重点与难点：
重点：一元二次方程的概念及一般形式.
难点：对一元二次方程的概念理解(特别是a≠0情况).
课前准备：多媒体课件．
教学过程：
一、创设情境，导入新课
从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，他的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？通过这节课的学习你将会解决这个问题．
设计意图：利用小故事培养学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣，这也为新课的学习做好铺垫．
二、探究学习，感悟新知
活动内容1：（多媒体出示）幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2
的地毯（如图2-1），四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？如果设所求的宽度xm，那么你能列出怎样的方程？
处理方式：要求学生从这一实物图中抽象出几何图形，自己画出所抽象出的几何图形，然后教师呈现第二幅图．地毯到教室两边宽度为xm，地毯的长用含x的代数式怎么表示？宽用含x的代数式怎么表示？
设计意图：本活动的设计意在引导学生通过自主探究．合作交流，对具体问题从形象到抽象认识，训练学生从实物图中抽象出几何图形．旨在培养学生的问题意识；要求学生根据条件列出关系式，旨在提高学生分析问题的能力．提高学生抽象思维能力，同时也为后续归纳一元二次方程提供材料．
活动内容2：（多媒体出示）观察下列等式102+112+122=132+142.你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？如果将这五个连续整数中的第一个数设为x，那么怎样用含x的代数式表示其余四个数？根据题意，你能列出怎样的方程？
处理方式：这五个连续整数有何关系？第一个数设为x，等号左边另外两个数如何表示，等号右边两个数如何表示？
设计意图：先让学生猜想．学生得到的猜想是：是否还存在五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和．然后让学生根据猜想继续找这样的五个连续整数，在难以找到的情况下，促使学生想办法归结为方程去解决，学生在探索-发现-归纳的过程中的主动参与程度与合作交流意识，及时给予鼓励、指导．
活动内容3：
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m.那么梯子的底端滑动多少米？你能计算出滑动前梯子的底端距墙多少米？如果设梯子底端滑动xm，那么你能列出怎样的方程？
处理方式：滑动前梯子的底端距墙多少米？下滑后梯子的顶端距地面的垂直距离为多少米？下滑前后梯子长度有改变吗？下滑后梯子梯子的底端距墙的距离怎么用含x的代数式表示
设计意图：先让学生理解题意，然后让一生结合图示分析题意，这样等量关系就会浮出水面．由于有了前两个环节作铺垫，学生自然地设梯子底端滑动Xm，从而列出方程，问题解决得很顺畅．
活动内容4：
由上面三个问题，我们可以得到三个方程：
(8-2x)(5-5x)=18，x2+(x+1)
2+(x+2)
2=(x+3)
2+(x+4)
2，（x＋6）2＋72＝102，
化简得：2x2
－13x＋11
=
0，x2－8x－20＝0，x2＋12
x－15
＝0．
上面的方程都是只含有一个未知数x的整式方程
，并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数,
a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程．我们把ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax2
，
bx
，
c分别称为二次项、一次项和常数项，a，
b分别称为二次项系数和一次项系数．
设计意图：关注学生对概念的理解，通过具体的例子来归纳一元二次方程的概念，加深对概念的理解，学生基本能识别一元二次方程及各个部分．
三、例题解析，应用新知
活动内容：
1．下列方程哪些是一元二次方程
为什么？
(1)7x2－6x＝0；
(2)2x2－5xy＋6y＝0；
(3)2x2－－1
＝0；
(4)＝0；
(5)x2＋2x－3＝1＋x2．
2．关于x的方程(k－3)x2＋
2x－1＝0,当k 时，是一元二次方程．
3．关于x的方程(k2－1)x2
＋
2
(k－1)
x
＋
2k
＋
2＝0，当k
时， 是一元二次方程．当k
时，是一元一次方程．
4．把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
方 程
一般形式
二次项系数
一次项系数
常数项
3x2=5x-1
(x+2)(x
-1)=6
4-7x2=0
5．从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，他的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？
设计意图：问题（1）（2）（3）中考察学生对一元二次方程概念的掌握，问题（4）学生对于化成一元二次方程的一般形式感觉困难不大，但写出它的二次项系数．一次项系数和常数项时，部分学生可能容易忽视符号．问题（5），实际问题，可能有部分学生不能理解题意，部分学生不能很快列出相应的方程，教师要鼓励学生自己找到等量关系，然后将直角三角形的各边表示出来．
四、回顾反思，提炼升华
通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．
学生畅谈自己的收获！
设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．
五、达标检测，反馈提高
1．一元二次方程的一般形式是__________．
2．将方程－5x2+1=6x化为一般形式为__________．
3．将方程(x+1)2=2x化成一般形式为__________．
4．方程2x2=－8化成一般形式后，一次项系数为__________，常数项为__________．
5．下列方程中，不是一元二次方程的是
A、2x2+7=0
B、2x2+2x+1=0
C、5x2++4=0
D、3x2+(1+x)
+1=0
6．方程x2－2(3x－2)+(x+1)=0的一般形式是
A、x2－5x+5=0
B、x2+5x+5=0
C、x2+5x－5=0
D、x2+5=0．
六、布置作业，课堂延伸
必做题：课本P32
练习2.1
第1、2题.
选做题：课本P32
练习2.1
第3题.
板书设计：
8m
§2.1
认识一元二次方程（1）
一、一元二次方程的概念
二、例题
三、练习
