初中数学苏科版八下 构造轴对称图形解题方法 教学案（含答案）

构造轴对称图形解题
我们在解(证)几何问题时，常常可利用轴对称性质构造出一个轴对称图形，这样能使解题过程更加简捷.下面举例说明.
例1
如图1，中，，，是内一点，满足，，，求的面积.
分析
把、、分别、、作轴对称变换，把分散的线段，集中在中，以找到求面积的思路.
解
把以为对称轴往外翻折得到，把以为对称轴往外翻折得到，把以为对称轴往外翻折得到.则有
,
,
∴是一个边长为，顶角为的等腰三角形，.
同理，是一个边长为5的等边三角形，.
∵,
∴、、三点共线.
∴是一个边长为3，4，5的的直角三角形，.
∴
.
∴.
说明
遇到正方形中分散的线段，构造轴对称图形，集中到同一个图形，利用勾股定理，方程等方面解决问题.
例2
在中，，是的中点，、在、上，，求证:.
分析
要证，联想到勾股定理，作以为对称轴的，将分散线段，，转移同一个直角三角形来解决.
证明
如图2，延长至点，使，连结，
∵与是关于以为轴的对称图形，∴.
，.
又∵，,
∴.
，.
.
由，得是直角三角形,
∴.
.
说明
遇到勾股数的线段，构造轴对称变换，再用三角形全等，把对应线段转化同一个三角形促使问题解决.
例3
如图3所示，中，，，，的平分线交于，求的长.
分析
由于平分，因此我们可以作为轴的对称变换.
证明
取中点，连结，交于点，易知和关于对称，.
由于，，∴.
延长至点，使，连结交延长线于.显然，和关于对称，且.
由于是的中位线,
，.
，,
，.
于是，.
说明
遇到特殊角的三角形，构造轴对称图形，利用特殊的直角三角形性质或三角形中位线性质，使线段成比例，分段求解线段的长.
例4
已知等边，在的延长线上，平分，点在射线上，点为上一点，连结，.若，是多少度.
分析
本题关键是构造关于的轴对称图形，则，于是转化为，且有，从而找到解题的途径.
解如图4，作点关于的对称点，交于点，从而可得
,
.
由，，在同一直线上，易证
,
从而,
，.
又由于，从而,
∴.
∴.
∴.
即,
∴.
说明
等腰(等边)三角形是轴对称图形，充分利用轴对称性质求解，是解决问题的关键.
例5
如图5，在正方形中，在上，，，在上，求与的长度和的最小值.
分析
利用是正方形的对称轴，连结，就是的对称线段，把所求与的长度和的最小值转化为求的最小
值.
解
因为为正方形，所以、是关于所在直线对称的对称点，连结，，由对称性知，，则的最小值为的最小值
而，由三角形三边关系，知
即最小值就是
在中，
.
所以的最小值是.
说明
遇到最短距离问题，一般都要利用轴对称的知识，在将问题转化两点线段最短来解决.
例6
如图6，四边形的对角线与，它们相交于点，，，，试说明线段的理由.
分析
题中，相对较分散，难以比较.注意到，，，于是可以分别以，为对称轴，作出对称点与，连结，，，这样就可以把有关线段相对集中到中.
解
分别以与为对称轴，作出对称点与，连结，，，则，，.
在中，,
在中，,
所以.
故.
说明
遇到线段不等的问题，通常考虑运用轴对称图形的知识，将分散的线段相对集中，在利用三角形的两边之和大于第三边来解决.