初中数学苏科版八下 一次函数综合型试题归类解析 教学案（含答案）

一次函数综合型试题归类解析
一、一次函数与反比例函数相结合
例1
如图1，函数的图象与函数的图象交于两点，与轴交于
点，已知点坐标为(2,1),
点坐标为(0,3).
(1)求函数的表达式和点的坐标;
(2)观察图象，比较当时，与的大小.
解析
(1)由直线经过(2,1),
(0,3)可求得其解析式为.
由点(2,1)在函数的图象上，可求得其解析式为.
解方程组,得;,即为点的坐标，
所以点的坐标为(1,
2).
(2)观察图象可知，要比较与的大小，需分为三种情形:
①当或时，;
②当时，;
③当或时，.
二、一次函数与二次函数相结合
例2
如图2，直线交轴于点，交轴于点，过两点的抛物线交轴于另一点(3,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形 若存在，求出符合条件的点坐标;若不存在，请说明理由.
解析
(1)由直线交轴于点，交轴于点，
可求得点坐标为(-1,0),
点坐标为(0,3).
又抛物线经过三点，由此，可求得抛物线的解析式为.
(2)由，可知该抛物线的对称轴为.
设点坐标为(1,
)，则
A.
又，故，
时，
，解得，
点坐标为(1，)或(1，-);
时，
，
解得,
∴点坐标为或;
时，
，解得,
.∴Q点坐标为.
综上，存在满足条件的点，共有5个.
三、一次函数与概率相结合
例3
在一个不透明的口袋里装有四个分别标有数字1、2、3、4的小球，它们的形状、大小等完全相同.小明先从口袋里随机地取出一个小球(不放回)，记下数字为;小红在剩下有三个小球中随机取出一个小球，记下数字.计算由、确定的点恰在函数图象上的概率.
解析
先用列表法求出确定的点的各种情形:
显然，只有点、在函数的图象上.故由、确定的点恰好在函数图象上的概率为
四、一次函数与统计相结合
例4
为鼓励节约用水，某市自来水公司采取分段收费标准，图3反映的是每月收取水费
(元)与用水量
(吨)之间的函数关系.
(1)根据小明家各月份用水量，填写下表(其中):
(2)已知小明家1—6月份平均用水量是11.
5吨，求小明家4月份应缴水费多少元
(3)小明家1—6月份应缴水费的中位数是多少 众数是多少
解析
首先，根据
与之间的函数关系图像求出
与之间的函数关系式，即
当时，;
当时，.
由此可完成问题(1)的表格:
(2)根据小明家1—6月份平均用水量是11.5吨，可求得
(吨).
故小明家4月份应缴水费:23(元)
(3)小明家1—6月份应缴水费的中位数是23元，众数是23元.
五、一次函数与三角函数相结合
例5
如图4，直线与轴的夹角为30°，与、轴的交点分别为、.
(1)求的值;
(2)求不等式的解集.
解析
直线与轴的交点为，即.由，得
，即.
将点的坐标代入，得.
(2)观察图象，根据，可知不等式的解集为
.
六、一次函数与直线相结合
例6
如图5，在直线的下方依次作小正方形，每个小正方形的一个顶点都在直线上，若左边最小的正方形左边顶点的横坐标是2，则从左到右第10个小正方形的边长是(
)
A.
B.
C.
D.
解析
将代入，得，即第1个小正方形的边长是1；
将代入，得，即第2个小正方形的边长是；
将代入，得，即第3个小正方形的边长是；
将代入，得，即第3个小正方形的边长是；
由上述规律可知:从左到右第10个小正方形的边长是，故选B.
七、一次函数与圆相结合
例7
如图6，在直角坐标系中，直线上有一圆，半径为1，圆心的坐标为，然后，让圆沿直线向斜下方移动，速度为每秒1个单位，问经过多少秒后，圆与轴相切
解析
圆与轴相切应考虑在第一象限和第三象限两种情形，
由圆心的坐标在直线上，得，即的坐标为，由勾股定理，得;由此可知，直线与轴的夹角为30°
(1)当圆在第一象限与轴相切时，圆心的位置设为，切点为(图7(1)).
连结，则轴，
故，，
,
∴圆移动的时间是2秒.
(2)当圆在第三象限与轴相切时，圆心的位置设为，切点为(图7(2)).
连结，则轴，
故，，
，
∴圆移动的时间是6秒.
综合(1)(2)，知圆经过2秒或6秒后，与轴相切.