初中数学苏科版八下 一道三角形内接矩形问题的变式探究 教学案（含答案）

一道三角形内接矩形问题的变式探究
一、例题呈现及一般结论
例1
如图1，在等腰中，底边cm，高cm，四边形是正方形.
(1)
与相似吗 为什么
(2)求正方形的边长.
解
∵四边形是正方形，所以，∴，.
∴，可得.
设正方形的边长为
cm，则cm，∴，解得.
即正方形的边长为24cm.
点评
此类问题称为“三角形内接矩形”问题.解决这类问题的基本策略是，由两个三角形相似，得到两个三角形对应边的比等于对应高的比，从而建立等量关系，通过解方程获得问题的答案.
通过这道题可得到一个更一般的结论.
如图2，在中，，垂足为，四边形的四个顶点分别在的三边上，，.
(1)若四边形是正方形，且它的边长为，则.
(2)若四边形是矩形，且它的两边长分别为，，则
证明从略.
二、变式探究
1.求矩形的边长
改变例1中等腰和正方形的形状，同时改变设问方式.
例2
如图3，在内有边长分别为、、的三个正方形，则、、满足的关系式是(
).
(A)
(B)
(C)
(D)
解
易知，，
，,
由，知
，∴.
化简得，故选A.
2.求矩形的周长
改变图1中三角形的边长，将正方形变为矩形，且增加内接矩形的个数，改变设问方式.
例4
如图4，在等腰中，底边上的高，在边上有100个不同的点，，…，，过这100个点分别作的内接矩形，，….设第个内接矩形的周长分别为，，…，，求的值.
解
设，.
∵，∴.
由上述一般结论，易知,
∴，即.
∴.
同理可得,
∴.
点评
本题具有很强的探索性，在求解本题时，考虑一个矩形内接于三角形，得到它的长与宽之间的关系，从而问题迎刃而解.
3.与矩形的面积有关的综合性问题
改变例1中等腰的形状，再改变与的长，将正方形变为矩形.
例5
如图5，在中，，，高，矩形的一边在边上，、两点分别在、上，交于点.
(1)求证:.
(2)设，当为何值时，矩形的面积最大 并求其最大值;
(3)当矩形的面积最大时，该矩形以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动(当点与点重合时停止运动)，设运动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求与的函数关系式.
解(1)
证法与例1相同，从略.
(2)由(1)得，即.
.
.
，∴当时，有最大值，最大值为20.
(3)由(2)得，,
∴，所以是等腰直角三角形.，
.
①如图6，当时，
设、分别交于点、，则是等腰直角三角形，，
.
②如图7，当时，
则，.
.
③如图8，当时，
设交于点,
则，
.
例6
如图9，在锐角中，，的面积为48，，分别是边，上的两个动点(不与，重合)，且保持，以为边，在点的异侧作正方形.
(I)如图10，当正方形的边在上时，求正方形的边长;
(2)设，与正方形重叠部分的面积为，试求关于的函数关系式，写出的取值范围，并求出的最大值.
解
(1)当正方形的边在上时，如图10，过点作边上的高，交于，垂足为.
，，.
∵，,
.
又,
，解之得.
所以当正方形的边在上时，它的边长为4.
8.
(2)分两种情况:
①当正方形在的内部时，如图9，与正方形重叠部分的面积为正方形的面积，由于，故，此时的范围是.
②当正方形的一部分在外部时，如图11，设与交于点，与交于点，的高交于.
∵，,
∴，.
而,
，解得.
，即.
由题意，，，,
因此，与正方形重叠部分的面积为
.
当时，与正方形重叠部分的面积的最大值为.
当时，因为，易知当时，与正方形重叠部分的面积的最大值为24.
因为，所以所求最大值为24.