初中数学苏科版八下 与反比例函数图像有关的三角形面积问题 教学案（含答案）

与反比例函数图像有关的三角形面积问题
反比例函数图象与三角形面积联系在一起，演绎不同风格下的三角形面积问题.下面举例说明.
性质1
过反比例函数图象上一点，向轴作垂线，则以图象上这个点、垂足、原点围成的三角形面积等于反比例函数系数的绝对值的一半.
如图1，设是反比例函数图象上一点，过点作轴，
垂足为，的面积是，则.
例1
如图2，双曲线经过Rt斜边上的点，且满足，与交于点，求=
.
解
过点作轴于点，由题意知,轴，则由性质，可知
,
.
∽,
,
.
由性质1，知.
性质2
过反比例函数图象上一点，向轴作垂线，则以图象上这个点、垂足、原点围成的三角形面积等于反比例函数系数的绝对值的一半.
如图3，设是反比倒函数图象上一点，过点作轴
垂足为,
的面积是,则.
例2
如图4，在平面直角坐标系中，过点(0,2)的直线与轴平行，且直线分别与反比例函数和的图象交于点、点.
(1)求点的坐标;
(2)若的面积为8，求的值.
解析
(1)
;
(2).因为直线分别与反比例函数和的图象交于点、点，由性质2，知
.
,
,
解得,
.
性质3
如图5,正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，过点作轴，垂足为.设的面积为，则，与正比例函数
的比例系数无关.
证明
因为正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，.
当时，，
点的坐标是；
当，，
点的坐标是，
.
则有
，
所以与正比例函数系数无关.
注
本证法根据图象的交点意义证明，体现了交点的坐标法思想.该性质也可以运用反比例函数的对称性简捷证明.
例3
如图6，函数与函数的图象相交于，两点，过，两点分别作轴的垂线，垂足分别为点，则四边形的面积为(
)
(A)2
(B)4
(C)6
(D)8
解析
因为过函数的图象上，两点分别作轴的垂线，垂足分别为点,则由性质3，有
，
.
性质4
如图7，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴，过点作轴，两线相交于点.设的面积为，则，与正比例函数的比例系数无关.
请同学们自行证明.
例4
如图7，反比例函数的图象与直线相交于两点，轴，轴，则的面积等于
个面积单位.
解析
由反比例函数图象关于原点的对称性，得.
由的坐标法思想，可得；
再由性质4，得.
综上可见，反比例函数的系数具有丰富的几何意义.