初中数学苏科版九下 求线段长度问题的一般方法 教学案（含答案）

求线段长度问题的一般方法
求线段长度问题是初中几何中常见的题型之一，笔者就此类问题作了一些思考与归纳，供大家参考.
一、将求线段长的问题转化到直角三角形中求解
例1如图1，在，，于，，，求的长.
简解
由勾股定理，得再由三角形的面积公式，得
于是得.
例2
如图2，在中，，，，求的长.
简析
作于点，这样就构造了两个.
在中，
，
由勾股定理，得，.
在中，
，从而.
例3
如图3，在平面直角坐标系中，⊙与轴相切于原点，平行于轴的直线交⊙于两点，.若点的坐标是，求点的坐标.
简析
如图3，作于点,
连，，则构造了两个直角三角形，.
不妨设，易得
，
从而点的坐标为.
例4
如图4，点、、在半径为的⊙上，是⊙上的一条弦，，，求的长
简析
连，由条件可知，图中有四个直角三角形，分别是，，，.
∵，∴为⊙的直径，
∴,
又,
∴,
在中，易知，,
在中，，,
得.
,
又,
故在中，由边角关系，得
.
说明
上述几例是将此线段置于某直角三角形之中，然后利用直角三角形的相关知识加以求解.值得注意的是，构造的直角三角形要与题目中的已知条件相互关联，才能使问题化繁为简，迅速求解.
二、将求线段长的问题转化到相似三角形中求解
例5
如图5，梯形中，，且，、分别是的，的中点，与相交于点.
(1)求证:
;
(2)若，求的长.
简解
(1)由题意，易得四边形是平行四边形.于是，有
，∴
(2)由，得
.
例6
如图6，矩形中，，，点为上一个动点，把沿折叠，当点的对应点落在的平分线上时，求的长.
解
过点作于点，并反向延长交于.由题意，得
，设
在中，
有,
解得，.
，或.
易知
，或.
，或.
例7
如图7，在中，，平分交于点，点在上，于点，，.
(1)判断直线与的外接圆的位置关系，并说明理由;
(2)求的长.
简解
(1)由为外接圆的直径.设外接圆的圆心为，连，易知.
.
又.
,
故直线与的外接圆相切.
(2)易知
,
又因.
,
.
由，得,
进而得.
由，有,
.
说明
上述几例是将该线段作为某三角形的一边，然后想方设法找一个三角形使之与该线段所在的三角形相似，借用“相似三角形对应边成比例”得到简易方程，进而求解.
三、利用条件，
构造方程(组)求线段长
例8
(1)如图8，周长为68的矩形被分成7个全等的矩形，求矩形的面积.
解
设矩形的宽与长分别为
则有，解之得.
故.
例9
如图9,
⊙是的内切圆，与三边分别相切于点，若，求的长.
解
由切线长定理，可设
，.
由题意得，解之得.
故.
例10
如图10，李明同学在东西走向的滨海大道A处，测得江中灯塔P在北偏东60°方向上;他向东走了400米至B处，测的灯塔P在北偏东30°方向上.求灯塔P到滨海路的距离.
解
作于点.设
.
在Rt与Rt中，有,
于是,
.
这里，
代入得.
例11
如图11，在Rt中，是上一点，且，点在上，⊙与都相切.求⊙的半径.
简析
设⊙的半径为，⊙分别与相切于，连结.由条件易知，，
，.
在Rt中，
有，
解得.
说明
上述几例是根据题中条件，通过设未知量构造方程(组)加以求解的.通过设未知量构造方程(组)求解，常常会使复杂问题简单化，其思路清晰，易于学生接受.