初中数学苏科版九下 一类参数问题的通用解法 教学案（含答案）

一类参数问题的通用解法
一元二次方程和二次函数有着密切的联系，根据一元二次方程实数根分布的区间范围情况，利用对应的二次函数，并借助相应的辅助图象，可以确定一元二次方程中参数的取值范围或满足条件的某些参数的值.下面分类予以解析.
一、二次项系数为常数时，参数含于一次项或常数项
1.方程有一根大于，另一根小于，解答时既可以利用函数与方程的联系求解，也可以利用根与系数的关系求解.
例1
一元二次方程的一根大于3，另一根小于3，试求的取值范围.
解1
设，由于二次项系数，所以抛物线开口向上，与轴有两个交点，分别处于3的左、右，如图1所示.当取时，必使,
即,
化简得，所以.
解2
设，,
即，,
所以,
整理得,
又，,
代入解得.
2.当一元二次方程的两实数根介于数、的两端，即方程有一根小于，另一根大于(
).
例2
为何值时，方程的一根小于1，另一根大于3.
解
设，由于二次项系数，所以抛物线开口向上，图象与轴有两个交点，如图1所示.
取时，有,
代入并整理得;
①
取时，有,
代入并整理得.
②
解不等式①得;
解不等式②得.
所以，由不等式①、②组成的不等式组的解集为.
3.
当一元二次方程在、
()之间只有一根.
例3
已知方程:的两实数根分别分布在和内，试求的取
值范围.
解
设
,
因为，所以抛物线开口向上，对称轴为，画得的图象是一族抛物线，如图2所示，观察图象可知:
(1)当时，，即;
(2)当时，，即;
(3)当时，，即;
(4)当时，，即.
把解集在数轴上表示出来，如图3所示.所以，原不等式组的解集为，即的取值范围是.
例4
方程
(是实数)有两实根、，且，，那么的取值范围是(
).
(A)
(B)
(C)
或
(D)
无解
解
设根据题意得图象是一族抛物线，如图4.
从图象上分析:
(1)当时，，即;
①
(2)当时，，即;
②
(3)当时，，即.
③
解①、②、③组成的不等式组的解集为，或.
所以，答案应选C.
二、二次项系数含有字母参数，需分类讨论
当一元二次方程的二次项是字母参数时，就要分类别进行讨论，分别讨论二次项系数大于零及小于零情况，根据实际情况确定字母的值.
例5
已知二次方程的一根在与之间，另一个根在2和3
之间，求整数的值.
解
设.
(1)若，抛物线开口向上，一根在与之间，另一个根在2和3之间，画得的图象是一族抛物线，如图5所示:
当时，，得;
当时，，得;
当时，，得;
当时，，得.
所以，.
(2)若，抛物线开口向下，一根在与之间，另一个根在2和3之间，得图象是一族抛物线，它与轴的交点在轴的正半轴上，如图6所示.由原题可知，图象与轴的交点应在轴的负半轴上，故此图与原题意矛盾，所以不成立.
因为为整数，所以，当时二次方程的两个根分别在和之间.
以上提到的两大类型三种情况的参数问题的通用解法可用九个字来概括:设函数——画图象——求参数，希望对大家的教学能起到一定的借鉴作用.