初中数学苏科版九下 利用辅助圆求解动点最值问题 教学案（含答案）

利用辅助圆求解动点最值问题
许多几何问题虽然与圆无关，但是如果能结合条件补作辅助圆，就能利用圆的有关性质、结论，将某些最值问题通过圆中的几何模型求解.笔者经过研究，归纳为以下情况可考虑作辅助圆:
一、同一端点出发的等长线段
例1
如图1，在直角梯形中，
，点是线段上一动点，将沿翻折到，连结.当点在上运动时，分别求的最小值.
解析
如图1，当点在点时，与重合;当点在点时，设点在点处，由翻折可知.所以，点在以为圆心，为半径的圆上，运动轨迹为弧.
如图2，点在⊙内，延长交⊙于点.当点在点时最小，最小值为.
点在⊙外，设交⊙于点，当点在点时最小，最小值为.
设与⊙交点为，当点在点时最小，最小值为.
点评
当条件中有同一端点出发的等长线段时，根据圆的定义，以该端点为圆心，等长为半径构造圆，将原问题转化为定点与圆上点的距离问题.
模型1
如图3，点在⊙外，到⊙上各点连线段中最短；如图4，点在⊙内，到⊙上各点连线段中最短.
证明
在⊙上任取一点，不与点重合，连结，如图3.
,得证.
如图4,
，得证.
二、动点对定线段所张的角为定值
模型2
如图5
,
为定线段，点为外一动点，为定值，则点形成的轨迹是弧、弧(不含点).
证明
设⊙为的外接圆，在上方任取三点，点分别在⊙外、⊙上、⊙内.
,
当为定值时，点形成的轨迹是弧、弧(不含点).
1.动点时定线段所张的角为直角
例2
如图6，正方形边长为2，点是正方形内一动点，，连结，求的最小值.
解析
为定线段，
由模型2可知，点在以为直径的圆上.连交⊙于点，由模型1，当在点处时最短，最小值是.
点评
当动点对定线段所张的角为直角时，根据直径所对圆周角为直角，以定线段为直径构造圆.
2.动点时定线段所张的角为锐角
例3
如图7,
，一把直角三角形尺的两个顶点分别在上移动，，求点到距离的最大值.
解析
如图8,⊙为的外接圆，由模型2知，点的运动轨迹是弧(两点除外).过点作的垂线，垂足为点,交弧于点，当点在点处时，到
的距离最大，即为长.
.
,
.
故到距离的最大值为.
点评
本题是定长，为定值，利用模型2，找到点的运动轨迹是一段弧，
这段弧所在的圆是一个定圆，于是原问题转化为圆上一点到弦的距离问题.
模型3
如图9,是⊙的一条弦，点是⊙上一动点(不与重合)，过点作
，垂足为，交⊙于点在两侧).当点在点处时，点到的距离最大，即为长.
证明
如图9，作垂足为点,，得证.
3.动点对定线段所张的角为钝角
例4
如图10，正三角形边长为2，射线，点是射线上一动点(不与点重合)，外接圆交于点，求的最小值.
解析
如图10
,
.
为定长，点的运动轨迹是弧(不与重合).
过点作垂足为，交弧于点，当点在点时最小，最小值为.
点评
本题将动点转化到动点，且因为,为定长，由模型2可知，点的运动轨迹是弧，这段弧所在的圆是一个定圆.于是，的最小值问题转化为圆外一点到圆上一点的最小值问题，由模型1即可求解.
三、动点对定线段所张的角的最值
例5
如图11，四边形中，均有
.在边上，是否存在一点，使得的值最小 若存在，求出此时的值;若不存在，请说明理由.
解析
当为锐角时，随的增大而减小，求的值最小值，只要求最大值.
于是，作中垂线交于点.设三点确定⊙，则⊙切于点.此时上的点(除点)都在⊙外，，所以当点在点处时最大.
由题意，可知.
设⊙半径为,
则，
解得，,
所以最小值为.
点评
求动点对定线段所张角的最大值时，以定线段为弦所作的圆与动点所在的直线相切，由同弧所对的圆周角大于圆外角知，动点运动至切点处时所张角最大.