课题：5.4
应用二元一次方程组—增收节支
课型：新授课
年级：八年级
教学目标：
1.会正确地运用表格分析与“增收节支”类似问题的数量关系，会列二元一次方程组解决这类问题.
2.让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生的数学应用能力、分析问题和解决问题的能力.
教学重点与难点：
重点：列方程组解决实际问题的步骤；会用图表分析题中的数量关系.
难点：用图表分析数量关系，建立一次方程组模型解决实际问题.
课前准备：多媒体课件.
教学过程:
一、创设情境，引入新课
（课件展示）
同学们，你知道你的生活有哪些必要开支吗？
处理方式：教师播放图片，学生观看图片，教师提出问题.经济问题在我们生活中多么重要！你想运用数学知识使你的生活更加合理优化，生活的更加幸福惬意吗？
快乐购物（课件展示）
新年来临爸爸想送Ｍike一个书包和随身听作为新年礼物．爸爸对Ｍike说：“我在家乐福、人民商场都发现同款的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元，你能说出随身听和书包单价各是多少元，那么我就买给你做新年礼物”.
最优化决策：
最近商家促销有促销活动，人民商场所有商品打八折销售，家乐福全场购物满100元返物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），爸爸只给Ｍike
400元钱，如果他只在一家购买看中的这两样物品，你能帮助他选择在哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？
处理方式：生活实例是青少年学生感兴趣的实例，带给学生新奇，带给了学生解决问题的欲望，不少学生跃跃欲试.
教师顺势引出课题：我们就一起探究一下实际经济问题吧------增收节支（板书课题）.
设计意图：通过同学们熟悉的生活中经济问题去激发学生学习本节课的兴趣，导入课题.购物、最优化决策等生活实例，再配以精美的图片，进一步提高学生兴趣，激发他们的求知欲和学习热情。更重要的是，这个实例是学生学完本节的知识和方法后的巩固提高练习题，从而增强学生的能力，使本节课前后照应，形成一个整体.
二、知识回顾，合作探究
填一填:（课件展示）
1.某工厂去年的总产值是x万元,
今年的总产值比去年增加了20%,
则今年的总产值是__________万元.
2.若该厂去年的总支出为y万元,
今年的总支出比去年减少了10%,
则今年的总支出是__________万元.
3.若该厂今年的利润为780万元,那么由1,
2可得方程______________________.
处理方式：通过回答问题对学生能力进行及时评价，如果回答错误及时纠正:
1.
(1+20%)x
；2.
(1-10%)y
；3.
(1+20%)
x-
(1-10%)
y=780.通过回答知识回顾问题，教师启发学生做经验提升：解增降率问题常用的关系式为a(1±x)=b
(其中:a表示基数；x表示增降率；b表示目标数；增时为加，降时为减.)
引例探索（课件展示）
某工厂去年的利润（总产值—总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？你能找出等量关系吗？
处理方式：教师引导学生寻找等量关系,教师教学生画表格分析数量关系，并共同解答.
今年的总产值=去年总产值×(1+20%）.
今年的总支出=去年的总支出×(1—10%）.
相等关系中的数量关系真多，画个表格来表示它们吧！
解：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则
今年的总产值=（1+20%）x万元，
今年的总支出=（1—10%）y万元.
（题目中可分析今年，去年；总产值，总支出和利润，画个2×3的表格来分析看）
总产值/万元
总支出/万元
利润/万元
去
年
x
y
200
今
年
(1+20%)
x
(1-10%)
y
780
由题意得:
议一议：还可以设间接未知数吗？（课件展示）
处理方式：学生设出未知数，教师帮助学生画表格来分析数量关系并引导学生类比直接设未知数与间接设未知数的优劣.表示数量关系时，若有错误，及时纠正并着重讲解以免再次出现错误.
解：设今年的总产值为x万元，总支出为y万元，则
总产值/万元
总支出/万元
利润/万元
去
年
200
今
年
x
y
780
由题意得:
处理方式：引导学生观察两个方程组未知数的优劣，提醒学生应选取思维难度和计算难度较低的未知数设法解应用题；学生板演过程，教师纠错.
解：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则
根据题意，得
解得
答：去年的总产值为2000万元，总支出1800万元.
设计意图：教师帮助学生设出未知数，画出表格，学生根据数量关系填充表格，并列出方程组，若有错误，及时纠正并重点讲解以免再次出现错误.
通过直接设未知数与间接设未知数的类比，让学生感受到列方程时，应选取思维难度和计算难度较低的未知数设法.
三、学以致用，解决问题
（课件展示）
例1
医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品，每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质，若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？
处理方式：教师引导学生寻找等量关系,教师教学生画表格分析数量关系，并共同解答.
解：设每餐需要甲、乙两种原料各x,
y克，则有下表：
甲原料x克
乙原料y克
所配制的营养品
其中含蛋白质量
0.5x单位
0.7
y单位
35单位
其中含铁质量
x单位
0.4
y单位
40单位
由上表可以得到的等式：
化简，得
③×2，得
10x+14y=700。
⑤
⑤－④，得
10y=300。
y=30。
将y=30代入③，得
x=28.
答：每餐需甲原料28克，乙原料30克.
设计意图：通过“引例探索及例题探索”使学生初步学会设计适当的图表，帮助我们理清题目中的数量关系.再结合学生在以前的学习中已掌握的通过相等关系列方程的方法，使学生基本掌握运用图表去解决有关应用题的方法，从而提高学生分析问题和解决问题的能力.
练一练：（课件展示）
1.一、二班共有100名学生，他们的体育达标率（达到标准的百分率）为81%，如果一班的学生的体育达标率为87.5%，二班的达标率为75%，那么一、二班的学生数各是多少？
2.甲、乙两相距36千米两地相向而行，如果甲比乙先走2时，那么他们在乙出发2.5时后相遇；如果乙比甲先走2时，那么他们在甲出发3时后相遇，甲、乙两人每时各走多少千米？
处理方式：教师引导学生寻找等量关系，选两名学生板演过程，教师纠错.
1.
解：可设一班有x人，二班有y人，根据题意可得：
解得:
所以一班有48人，二班有52人.
2.解：设甲、乙两人每小时分别行走x千米、y千米；根据题意可得：
解得:
所以甲每小时走6千米，乙每小时走4千米.
3．有一个方程组：
你能根据这个方程组编一个实际背景的应用题吗？
处理方式：学习小组间先编题，互评；然后推选出有创意，符合实际生活的例子进行全班交流．
设计意图：巩固、提高学生所学的知识和方法，强化图表分析数量关系的应用.通过学生的编题活动，形成互动，促进合作学习，培养学生逆向思维能力，通过合作学习培养学生合作、创新的学习方式.通过学生互相评价、修正，使学生思维跳出固定单一的生活圈，更关注与现实世界的交融，开阔视野.
解决问题：（课件展示）
新年来临爸爸想送Mike一个书包和随身听作为新年礼物．爸爸对Mike说：“我在家乐福、人民商场都发现同款的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元，你能说出随身听和书包单价各是多少元，那么我就买给你做新年礼物”.你能帮助他吗？
最优化决策：
聪明的Mike想了想回答正确后便同爸爸去买礼物，恰好赶上商家促销，人民商场所有商品打八折销售，家乐福全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家购买看中的这两样物品，你能帮助他选择在哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？
处理方式：教师引导学生寻找等量关系，学生板演过程，教师纠错.(2）提示：书包单价92元，随身听单价360元.计算对比然后选择哪一家购买更省钱.
（1）解：设书包单价为x元，则随身听单价为y元。
根据题意，可列出方程
解得
答：书包单价92元，随身听单价360元.
(2）在人民商场购买随声听与书包各一样需花费现金452×=361.6（元）
∵
361.6<400
∴可以选择在人民商场购买.
在家乐福可先花现金360元购买随身听，再利用得到的90元返券，加上2元现金购买书包，共花现金360+2=362（元）.
∵
362＜400，所以也可以选择在家乐福购买.
∵
362＞361.6,所以在人民商场购买更省钱.
设计意图：由于学生在前面是带着问题学习，现在已掌握了“武器”，当然想去获取战果.所以学生解决这些问题时，非常积极主动.虽然问题的难度越来越大，但大家越战越勇，毫无退缩之意.同时也对生活中的很多实际问题感兴趣，更加有用数学知识解决问题的欲望.
四、回顾课堂，盘点收获
1.通过本节的学习活动，你会用列表分析数据吗？
2.你能用列方程组的方法解决实际问题吗？
3.你体会到方程思想在生活中的存在吗？
处理方式：学生思考回答，不足的地方教师补充和强调.
小结：
1．在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程或方程组的方法来处理这些问题．
2．这种处理问题的过程可以进一步概括为：
分析 求解
问题 方程（组） 解答
抽象 检验
3．要注意的是，处理实际问题的方法是多种多样的，图表分析是一种直观简洁的方法，应根据具体问题灵活选用．
设计意图：通过提问方式引导学生小结本节知识及学习活动，养成学习—总结—学习的良好学习习惯，发挥自我评价的作用，进一步培养学生的语言表达能力.
五、快乐套餐，深化提高
1．某汽车制造厂接受了在预定期限内生产一批汽车的任务，如果每天生产35辆，则差10辆才能完成任务；如果每天生产40辆，则可超额生产20辆.试求预定期限是多少天？计划生产多少辆汽车？
若设预定期限为x天，计划生产y辆汽车，请你根据题意填空，并列出方程组求x与y的值。
（1）若每天生产35辆，在预定期限x天内可生产__________辆，比计划产量y辆汽车__________（“多”或“少”）生产10辆，则可得二元一次方程______________________.
（2）若每天生产40辆，在预定期限x天内可生产__________辆，比计划产量y__________（填“多”或“少”）生产20辆，则可列二元一次方程_________________________.
（3）列方程组_________________________，并解得
.
2.
一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车.已知过去两次租用这两种货车的情况如下表：
第一次
第二次
甲种货车辆数（辆）
2
5
乙种货车辆数（辆）
3
6
累计运货吨数（吨）
15.5
35
现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费30元计算，问货主应付运费多少元？
处理方式：留给学生5～6分钟的时间独立做题，教师巡视，对于不甚明白知识点的学生给予帮助，同时批改完成同学的的检测题，及时收集具有代表性的错误，和好的解题方法.
设计意图：练习注意了问题的梯度，由浅入深，一步步引导学生从不同的图象中获取信息，对同学的回答，教师给予点评，对回答问题暂时有困难的同学，教师应帮助他们树立信心.
六、布置作业，课堂延伸
必做题：习题5.5
第2、3题．
选做题：习题5.5
第1、4题．
拓展题：如图1：一列快车长70米，慢车长80米，若两车同向而行，快车从追上慢车到完全离开慢车所用时间为20秒.若两车相向而行，则两车从相遇到离开时间为4秒，求两车每秒钟各行多少米？
若设快车每秒钟行x米，慢车每秒行y米。
根据题意填空：
（1）若同向而行，经过20秒快车行驶路程比慢车行驶路程多____米，可列方程_________。
（2）若相向而行，两车4秒钟共行驶__________米，可列方程__________________。
（3）由以上可得方程组
，解得________.
设计意图：作业的设计突出层次性，可更好地调动不同学生的学习热情.满足不同层次学生的需要，另一方面巩固了本课所学的知识，同时也了解了学生对本课知识的掌握情况.以便为下一节课的教学做准备．
板书设计:
§5.4
求解二元一次方程组--增收节支
引例：
例1
投影区
学
生
活
动
区(共23张PPT)
同学们，你知道你的生活
有哪些必要开支吗？
经济生活在我们生活中多么重要！你想运用数学知识使你的生活更加合理优化，生活的更加幸福惬意吗？
新年来临爸爸想送Ｍike一个书包和随身听作为新年礼物．爸爸对Ｍike说：“我在家乐福、人民商场都发现同款的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元，你能说出随身听和书包单价各是多少元，那么我就买给你做新年礼物”。你能帮助他吗？
快乐购物
最近商家促销有促销活动，人民商场所有商品打八折销售，家乐福全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），爸爸只给Ｍike
400元钱，如果他只在一家购买看中的这两样物品，你能帮助他选择在哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？
最优化决策
5.4
应用二元一次方程组
-----
增收节支
北师大版八年级数学上册
某工厂去年的总产值是x万元,
今年的总产值比去年增加了20%,
则今年的总产值是__________万元;
若该厂去年的总支出为y万元,
今年的总支出比去年减少了10%,
则今年的总支出是__________万元;
若该厂今年的利润为780万元,
那么由1,
2可得方程___________________________.
(1+20%)
x
(1+20%)
x-
(1-10%)
y=780
(1-10%)
y
填一填
经验提升：解增降率问题常用的关系式为a(1±x)=b
(其中:a表示基数；x表示增降率；b表示目标数；增时为加，降时为减).
某工厂去年的利润（总产值—总支出）为200万元.今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元.去年的总产值、总支出各是多少万元？
某工厂去年的利润（总产值—总支出）为200万元.今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元.去年的总产值、总支出各是多少万元？
去年的总产值—去年的总支出=200万元，
今年的总产值—今年的总支出=780万元
．
分析
关键:找出等量关系.
今年的总支出=去年的总支出×(1—10%）
今年的总产值=
去年总产值×(1+20%）
得到两个等式：
设去年的总产值为x万元，总支出为y元
x
y
200
(1+20%)
x
(1-10%)
y
780
x-y=200
，
(1+20%)x-(1-10%)y=780．
某工厂去年的利润（总产值—总支出）为200万元。今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元。去年的总产值、总支出各是多少万元？
相等关系中的数量关系真多，画个表格来表示它们吧！
（题目中可分析今年，去年；总产值，总支出和利润，画个２×３的表格来分析看）
议一议：还可以设间接未知数吗？
得到两个等式：
设今年的总产值为x万元，总支出为y元
.
x
y
200
780
x—y
=780．
某工厂去年的利润（总产值—总支出）为200万元。今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元。去年的总产值、总支出各是多少万元？
—
=200
，
选择设未知数时应考虑以降低思维难度和计算难度为优.
解：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则
由题意,得
解得
答：去年的总收入为2000万元，总支出为1800万元.
医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品．每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质．若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？
分析
医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品。每克甲原料含0.5单位蛋白质1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质。若病人每餐需要35单位蛋白质40单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？
关键:找出等量关系.
每餐甲原料中含蛋白质量+每餐乙原料中含蛋白质量=35，
每餐甲原料中含铁质量+每餐乙原料中含铁质量=40．
每餐甲原料中含蛋白质量=0.5×每餐甲原料的质量
每餐乙原料中含蛋白质量=0.7×每餐乙原料的质量
每餐乙原料中含铁质量=0.4×每餐乙原料的质量
每餐甲原料中含铁质量=1×每餐甲原料的质量
甲原料x克
乙原料y克
所配制的营养品
其中含蛋白质量
其中含铁质量
0.5x单位
x单位
0.7y单位
0.4y单位
设每餐需要甲、乙两种原料各x,y克，则有下表
由上表可以得到的等式：
0.5x+0.7y=35，
x+0.4y=40
．
通过解二元一次方程组即可获得所需的答案.
３５单位
４０单位
医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品。每克甲原料含0.5单位蛋白质1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质。若病人每餐需要35单位蛋白质40单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？
相等关系中的数量关系真复杂，再画个表格来表示它们吧！
（题目中可分析蛋白质含量，铁的含量；甲、乙两种原料和病人配置的营养品，画个２
×
３的表格来分析看）
③×2得
10x+14y=700
⑤
解：设每餐需要甲、乙两种原料各x克、
y克，根据题意可得：
化简得：
答：每餐需甲原料28克，乙原料30克.
将y=30代入③得
x=28
⑤－④得
10y=300
y=30
学法小结：
1.图表分析有利于理清题中的未知量，已知量以及等量
关系，条理清楚
；
2.借助方程组解决实际问题.
1.一、二班共有100名学生，他们的体育达标率
（达到标准的百分率）为81%，如果一班的学生
的体育达标率为87.5%，二班的达标率为75%，
那么一、二班的学生数各是多少？
2.甲、乙两相距36千米两地相向而行，如果甲比
乙先走2时，那么他们在乙出发2.5时后相遇；如
果乙比甲先走2时，那么他们在甲出发3时后相遇，
甲、乙两人每时各走多少千米？
练一练
你能根据这个方程组编一个实际背景的应用题吗？
活动规则：
四个同学一组编题，互评；然后推选出有创意，符合实际生活的例子进行全班交流．
练一练
有一个方程组：
新年来临爸爸想送Ｍike一个书包和随身听作为新年礼物．爸爸对Ｍike说：“我在家乐福、人民商场都发现同款的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元，你能说出随身听和书包单价各是多少元，那么我就买给你做新年礼物”。
你能帮助他吗？
（1）解：设书包单价为x元，则随身听单价为y元,根据题意可列出方程：
解之得：
答：书包单价92元，随身听单价360元.
解决问题：
（2）在人民商场购买随声听与书包各一样需花费现金
452×
=361.6(元).
∵361.6<400
，∴可以选择在人民商场购买.
在家乐福可先花现金360元购买随身听，再利用得到的90元返券，加上2元现金购买书包，共花现金360+2=362（元）.
因为362＜400，所以也可以选择在家乐福购买.
因为362＞361.6,所以在人民商场购买更省钱.
聪明的Mike想了想回答正确后便同爸爸去买礼物，恰好赶上商家促销，人民商场所有商品打八折销售，家乐福全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家购买看中的这两样物品，你能帮助他选择在哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？
提示：书包单价92元，随身听单价360元.
解决问题：
１．在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程或方程组的方法来处理这些问题．
２．这种处理问题的过程可以进一步概括为：
分析 求解
问题 方程（组） 解答
抽象 检验
３．要注意的是，处理实际问题的方法是多种多样的，图表分析是一种直观简洁的方法，应根据具体问题灵活选用．
学习总结：
快乐套餐，深化提高
1.某汽车制造厂接受了在预定期限内生产一批汽车的任务，如果
每天生产35辆，则差10辆才能完成任务；如果每天生产40辆，则
可超额生产20辆.试求预定期限是多少天？计划生产多少辆汽车？
若设预定期限为x天，计划生产y辆汽车，请你根据题意填空，并
列出方程组求x与y的值.
（1）若每天生产35辆，在预定期限x天内可生产__________辆，
比计划产量y辆汽车__________（“多”或“少”）生产10辆，
则可得二元一次方程______________________.
（2）若每天生产40辆，在预定期限x天内可生产__________辆，
比计划产量y__________（填“多”或“少”）生产20辆，则可
列二元一次方程_________________________.
（3）列方程组_________________________，并解得________.
快乐套餐，深化提高
2.
一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公
司的甲、乙两种货车.已知过去两次租用这两种货车
的情况如下表：
第一次
第二次
甲种货车辆数（辆）
2
5
乙种货车辆数（辆）
3
6
累计运货吨数（吨）
15.5
35
现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车一次
刚好运完这批货，如果按每吨付运费30元计算，
问货主应付运费多少元？
必做题：习题5.5
第2、3题．
选做题：习题5.5
第1、4题．
拓展题：
如图1,一列快车长70米，慢车长80米，若两车同向而行，快车从追上慢车到完全离开慢车所用时间为20秒.若两车相向而行，则两车从相遇到离开时间为4秒，求两车每秒钟各行多少米？
若设快车每秒钟行x米，慢车每秒行y米.
根据题意填空：
（1）若同向而行，经过20秒快车行驶路程比慢车
行驶路程多____米，可列方程_________.
（2）若相向而行，两车4秒钟
共行驶__________米，
可列方程_____________.
（3）由以上可得方程组_________，
解得________.
