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第五章
二元一次方程组
5.5
里程碑上的数
小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶,下图是小明每隔1小时看到的里程情况．
是一个两位数字，它的两个数字之和为7．
十位与个位数字与12:00时所看到的正好互换了．
比12:00时看到的两位数中间多了个0．
同学们,你能确定小明在12:00时看到的里程碑上的数吗？
1、一个两位数，十位数字是4，个位数字是3，则这个两位数是______.
2、一个两位数，十位数字是x，个位数字是y，则这个两位数用代数式表示为
__________.
3、一个三位数，百位数字是x，十位数字是y，个位数字是z，则这个三位数用代数式表示为
____________.
4、有两个两位数x和y，如果将x放在y的左边，就得到一个四位数，那么这个四位数用代数式表示为
；如果将x放在y的右边，将得到一个新的四位数，那么这个四位数用代数式可表示为
．
43
10x+y
100x+10y+z
100x+y
100y+x
例
两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数．
探究：设较大的两位数为x，较小的两位数为y.
在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，所得的四位数可表示为
.
在较大的两位数的左边写上较小的两位数，所得的四位数可表示为
.
由题意列方程组为
解该方程组，得
所以这两个两位数是
和
.
解：设较大的数为x，较小的数为y，依题意，得
答：较大的数为45，较小的数为23.
小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶,下图是小明每隔1小时看到的里程情况．你能确定小明在12:00时看到的里程碑上的数吗？
是一个两位数字，它的两个数字之和为7．
十位与个位数字与12:00时所看到的正好互换了．
比12:00时看到的两位数中间多了个0．
10y+x
(10y+x)-(10x+y)
100x+y
(100x+y)-(10y+x)
问题：
1．匀速行驶是什么含义？每个小时行驶的路程一样吗？
2．如果设小明在12：00时看到的数的十位数字是x，个位数字是y，那么：
（1）12：00时小明看到的数可表示为 ，
根据两个数字和是7，可列出方程
；
（2）13：00时小明看到的数可表示为 ，
12：00～13：00间摩托车行驶的路程是
；
（3）14：00时小明看到的数可表示为 ，
13：00～14：00间摩托车行驶的路程是
；
（4）12：00～13：00与13：00～14：00两段时间内摩托车的行驶路程有什么关系？你能列出相应的方程吗？
10x+y
x+y=7
1.
一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1。这个两位数是多少？
解：设十位上数字是x，个位上的数字是y，
依题意，得
解得
答：这个两位数为56.
2.汽车在上坡时速度为28km/h，下坡时速度为42km/h，从甲地到乙地用了4小时30分，返回时用了4小时40分，从甲地到乙地上、下坡路各是多少千米？（列方程组不求解）
解：设从甲地到乙地上坡路是x千米，下坡路是y千米.依题意，得
分析：从甲地到乙地的上坡路和下坡路分别是从乙地到甲地的下坡路和上坡路.
3.现实生活和数学学习中，有许多问题可以借助二元一次方程组解决．试编制一个可以用下面的二元一次方程组解决的应用题．
3.现实生活和数学学习中，有许多问题可以借助二元一次方程组解决．试编制一个可以用下面的二元一次方程组解决的应用题．
1.你是如何列方程组解决实际问题的？经历了哪些步骤？
⑥“答”：检验所求出未知数是否符合题意，写出答案．
2．对本节课我们学习的内容你有什么体会和想法？请与同伴交流．
①“审”：审清题目中的等量关系．
②“设”：设未知数．
③“列”：根据等量关系，列出方程组．
④“解”：解方程组，求出未知数．
⑤“验”：检验这个解是否正确，并看它是否符合题意；
A组：
1．李明同学早上骑自行车上学,中途因道路施工步行一段路,到学校共用时15分钟.他骑自行车的平均速度是250米/分钟,步行的平均速度是80米/分钟.他家离学校的距离是2900米.如果他骑车和步行的时间分别为x,y分钟,列出的方程（
）
A.
B.
C.
D.
2．一个三位数，三个数位上的数字和为17，百位上的数字与十位上的数字和比个位数字大3，若把百位上的数字与个位数字对调，得到的新数比原来数小198，则原数为（ ）
A.971
B.917
C.719
D.791
3．一个两位数的十位数字与个位数字的和是7，如果这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数，求这个两位数.设这个两位数的十位数字为，个位数字为，根据题意得方程组
，这个两位数是
.
B组：
4．有大小两个两位数，在大数的右边写上一个0之后再写上小的数，得到一个五位数;在小数的右边写上大数，然后再写上一个0，也得到一个五位数，第一个五位数除以第二个五位数得到的商为2，余数为590．此外，二倍大数与三倍小数的和是72．求这两个两位。
基础题：课本
第122页
习题5.6
第3、4题.
拓展题：现实生活与数学学习中,有很多问题可以借助二元一次方程组解决.试编制一个可以用二元一次方程组解决的实际问题.
布置作业
课堂延伸课题：5.5
里程碑上的数
课型：新授课
年级：八年级
教学目标：
1.
用二元一次方程组解决数字问题和行程问题，归纳用方程组解决实际问题的一般步骤．
2．经历列方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型．
3．在学习过程中体验把复杂问题化为简单问题的策略，并鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神．
教学重点与难点：
重点：用二元一次方程组解决数字问题和行程问题，初步体会列方程组解决实际问题的步骤．
难点：将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型.
课前准备：多媒体课件。
教学过程：
一、情境创设，激趣导入
小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶.（课件出示）下图是小明每隔1小时看到的里程情况．
问题：同学们，能确定小明在12:00时看到的里程碑上的数吗？
处理方式：教师多媒体展示情境，引导学生们仔细观看图片，并根据问题提示激发思考.可以预设导语为：通过大家的共同努力，我们用二元一次方程组解决了“鸡兔同笼”，“增收节支”等生活中的问题，这节课我们利用二元一次方程来解决小明看到里程碑上的数是多少？
【教师板书课题：5.5里程碑上的数】
设计意图：创设问题情境，激发学生的学习兴趣．在引导学生将实际问题转化为数学问题时,学生会感到一些困难，从而教师指出学习了今天的这节课后，同学们就会有办法解决了.这种以实际问题作为切入点导入新课，不仅自然，而且也反映了“数学来源于生活”，学习数学是为更好“服务于生活”．
二、知识回顾，夯实基础
师：要利用二元一次方程解决有关数字的问题，就必须理解如何用字母表示两位数或三位数.
问题1：一个两位数，十位数字是4，个位数字是3，则这个两位数是____________.
问题2：一个两位数，十位数字是x，十位数字是y，则这个两位数用代数式表示为________.
问题3：一个三位数，百位数字是x，十位数字是y，个位数字是z，则这个三位数用代数式表示为__________.
问题4：有两个两位数x和y.
如果将x放在y的左边，就得到一个四位数，那么这个四位数用代数式表示为
；
如果将x放在y的右边，将得到一个新的四位数，那么这个四位数用代数式可表示为
．
处理方式：学生先独立解决，然后小组内交流.针对（2）（3）中出现的xy和xyz这种错误表示法要及时纠正.第四题有点难度，教师在巡视时给予点拨.
设计意图：通过以上四个问题，让学生在已知一个数各位上的数字条件下，学会用代数式表示这个数，为后面的学习做好铺垫，打下基础．
三、例题解析，提升技能
例
两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数．
处理方式：学生先独立思考，然后教师根据学生思考情况组织组内进行交流，归纳得出题目中的等量关系，讨论后列出方程组并求解.可以把分析过程设计成问题帮助学生理解.
解：设较大的两位数为x，较小的两位数为y.
在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，所得的四位数可表示为
.
在较大的两位数的左边写上较小的两位数，所得的四位数可表示为
.
由题意列方程组为
解该方程组，得
所以这两个两位数是
和
.
设计意图：让学生经历和体验列方程组解决实际问题的过程，培养学生的独立思考的能力和与人合作的意识．共同分析题目中包含的所有等量关系并用等式的形式写出来，便于学生设未知的两个量，顺利列出方程组，更好地体会二元一次方程组是刻画现实世界的有效模型。
四、前情分析，学以致用
师：现在，我们在来解决小明看到里程碑上的数是多少？就很简单了，（课件出示）
问题1：匀速行驶是什么含义？每个小时行驶的路程一样吗？
问题2：如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x，个位数字是y，那么：
（1）12:00时小明看到的数可表示为 ，根据两个数字和是7，可列出方程 ；
（2）13:00时小明看到的数可表示为 ，12:00～13:00间摩托车行驶的路程是 ；
（3）14:00时小明看到的数可表示为 ，13:00～14:00间摩托车行驶的路程是 ；
（4）12:00～13:00与13:00～14:00两段时间内摩托车的行驶路程有什么关系？你能列出相应的方程吗？
处理方式：学生们仔细观看图片，并根据问题提示独立思考。自己完成后，小组内讨论交流。最后各小组展示自己的答卷。教师观察学生在组内的交流讨论情况，倾听学生对本题的理解，重点对第4问进行精当点拨。注意后进生的自学和交流状态，本节课对他们来说是个难题。
设计意图：让学生经历把一个复杂的数字、行程问题，分解成几个简单的问题串，学生再通过对这几个问题的分析，使解题思路清晰，从而顺利地解决这个较复杂问题．体会将一个复杂问题化为几个简单问题的思维方法．
五、巩固训练，拓展提高
1．一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1．这个两位数是多少？
2．汽车在上坡时速度为28km/h，下坡时速度为42km/h，从甲地到乙地用了4小时30分，返回时用了4小时40分，从甲地到乙地上、下坡路各是多少千米？
3．现实生活和数学学习中，有许多问题可以借助二元一次方程组解决．试编制一个可以用下面的二元一次方程组解决的应用题：
处理方式：对练习1先引导学生回忆在数的除法里被除数、除数、商、余数之间的关系，然后选一名学生板书，其余学生在练习本上完成；对练习2注意单位的统一；对练习3的处理是先让学生分组进行编题和互评，然后每组请一个同学将本组评选出的编的最好的应用题向全班同学汇报.
设计意图：学生通过练习1和2检验自己对本节知识的掌握情况．练习3重在对学生进行逆向思维训练，体会自己编题，从编题人的高度审视列方程组解决实际应用题，同时培养学生的合作意识，通过合作，让学生互相评价、修正，使学生思维跳出固定单一的生活圈，更关注与现实世界的交融，开阔视野。
六、课堂小结，盘点收获
1．你是如何列方程组解决实际问题的？经历了哪些步骤？
①“审”：审清题目中的等量关系．
②“设”：设未知数．
③“列”：根据等量关系，列出方程组．
④“解”：解方程组，求出未知数．
⑤“验”：检验这个解是否正确，并看它是否符合题意；
⑥“答”：检验所求出未知数是否符合题意，写出答案．
2．对本节课我们学习的内容你有什么体会和想法？请与同伴交流．
设计意图：通过交流与总结，培养学生口头表达和交流的能力，增强不断反思总结的意识。
七、达标检测，落实目标
A组：
1．李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15分钟.他骑自行车的平均速度是250米/分钟，步行的平均速度是80米/分钟.他家离学校的距离是2900米.如果他骑车和步行的时间分别为x,y分钟，列出的方程是（
）
A.B.C.
D.
2．一个三位数，三个数位上的数字和为17，百位上的数字与十位上的数字和比个位数字大3，若把百位上的数字与个位数字对调，得到的新数比原来数小198，则原数为（
）
A.971
B.917
C.719
D.791
3．一个两位数的十位数字与个位数字的和是7，如果这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数，求这个两位数.设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意得方程组
，这个两位数是
.
B组：
4．有大小两个两位数，在大数的右边写上一个0之后再写上小的数，得到一个五位数;在小数的右边写上大数，然后再写上一个0，也得到一个五位数，第一个五位数除以第二个五位数得到的商为2，余数为590．此外，二倍大数与三倍小数的和是72．求这两个两位.
设计意图：由于学生在知识和能力上有一定的差异，为了满足不同学生的需求，教师可根据实际教学情况，适当选择上述题目让学生达到知识巩固、能力迁移、思维拓展的目的.既可作为课堂补充内容，也可留作课后练习。
八、布置作业，落实目标
基础题：课本
第122页
习题5.6
第3、4题。
拓展题：现实生活与数学学习中，有很多问题可以借助二元一次方程组解决.试编制一个可以用二元一次方程组解决的实际问题.
设计意图：分层要求，使不同的学生得到不同的发展．进一步加深学生对本课知识的理解和掌握.同时通过B组题目的解决培养应用数学的能力和创新精神．
板书设计:
5.5里程碑上的数
例1：
引例：
二元一次方程组解题步骤：
是一个两位数字，它的两个数字之和为7．
十位与个位数字与12:00时所看到的正好互换了．
比12:00时看到的两位数中间多了个0．
是一个两位数字，它的两个数字之和为7．
十位与个位数字与12:00时所看到的正好互换了．
比12:00时看到的两位数中间多了个0．
投
影
区
学
生
板
演
区
