课堂探究
探究一集合的补集运算
1．如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解．另外针对此类问题，在解答过程中也常常借助于Venn图来求解．这样处理起来，相对来说比较直观、形象且解答时不易出错．2．如果所给集合是无限集，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，这样处理比较形象直观，解答过程中注意端点值能否取得．
【典型例题1】
已知全集U＝R，集合A＝{x|－3
求：(1) UA， UB；
(2) U(A∩B)．
思路分析：(1)根据补集的定义，借助于数轴写出；(2)先求A∩B，再根据补集的定义写出．解：(1)∵A＝{x|－3在数轴上分别表示出集合A，B，如图所示．
∴ UA＝{x|x≤－3或x≥3}， UB＝{m|m≥1}．
(2)∵A∩B＝{x|－3∴ U(A∩B)＝{x|x≥1或x≤－3}．
探究二补集运算中的含参数问题
1．由集合补集求有关参数问题的思路流程：
2．含参数问题一般要用到分类讨论思想、等价转化思想及数形结合思想来解决．
【典型例题2】
(1)设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|a＋1|,2}， UA＝{5}，则a等于________；(2)已知集合A＝{x|x解析：(1)由 UA＝{5}，知a2＋2a－3＝5，解得a＝－4或a＝2.
当a＝－4时，U＝{2,3,5}，A＝{3,2}，满足 UA＝{5}；
当a＝2时，U＝{2,3,5}，A＝{3,2}，满足 UA＝{5}．所以a的值为－4或2.
(2) RB＝{x|x≤1或x≥2}，由于A∪ RB＝R，如图所示，
所以a≥2.
答案：(1)－4或2 (2)a≥2
探究三
补集思想的应用
对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论之间关系不明确、难以从正面入手的问题，在解题时，应及时调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，这样能化难为易，化隐为显，从而解决问题．我们把这种解决问题的方法称为“正难则反”的解题策略，也是“补集思想”的应用．【典型例题3】
已知集合A＝{x|x<－6或x>3}，B＝{x|k－1≤x－1≤k}，若A∩B≠ ，求k的取值范围．
思路分析：A∩B≠ 时对应的k的取值范围不好直接求解，可考虑问题的反面：先求A∩B＝ 时对应的k的取值范围，然后再取其“补集”，即可得A∩B≠ 时k的取值范围．
解：由已知可得B＝{x|k≤x≤k＋1}，
若A∩B＝ ，则解得－6≤k≤2.
令P＝{k|－6≤k≤2}，则 RP＝{k|k<－6或k>2}．
所以当A∩B≠ 时，k的取值范围是k<－6或k>2.
探究四易错辨析易错点 因变形不等价而致误
【典型例题4】
已知全集U＝R，集合A＝，B＝{x|x>a}，且 UA B，求实数a的取值范围．
错解：因为A＝，
所以 UA＝＝{x|x>1}．
由图可知，当a<1时， UAB；
当a=1时， UA=B.
所以实数a的取值范围是a≤1.
错因分析：错解中误认为A的补集为使≥0成立的x构成的集合，其实A的补集中的元素除了使≥0成立的x外，还有x=1这个值．
正解：因为A=={x|x<1}，
所以 UA={x|x≥1}．
由图可知，
当a<1时， UAB；
当a≥1时，B UA.
所以实数a的取值范围是a<1.
反思
求集合的补集，首先应明确该集合，最好不要急于对集合中的方程、不等式等进行对立面的转化，这样易造成转化不等价，再就是要充分利用维恩图或数轴表示集合．课堂探究
探究一两个集合的交集运算求两个集合的交集时，首先要识别所给集合，其次要简化集合，即明确集合中的元素，使集合中的元素明朗化，最后再依据交集的定义写出结果．有时要借助于Venn图或数轴写出交集．【典型例题1】
设A＝{x|x2－7x＋6＝0}，B＝{x|4思路分析：首先明确集合A，B中的元素，集合A是一元二次方程x2－7x＋6＝0的解集，集合B是满足不等式4依据交集的定义，观察可得A∩B＝{6}．
探究二两个集合的并集运算
求两个集合的并集时，若用描述法给出的集合，要先明确集合中的元素是什么性质，有时直接观察可写出并集，有时则需借助图示写出并集；若用列举法给出集合，则依据并集的定义，可直接观察或借助于Venn图写出并集．
【典型例题2】
设集合A＝{x|x＋1>0}，B＝{x|－2思路分析：首先明确集合A中的元素，集合A是不等式x＋1>0的解集，再借助于数轴写出A∪B.
解：A＝{x|x>－1}，在数轴上分别表示集合A，B，如图所示，
由数轴可知A∪B＝{x|x>－2}．
探究三集合运算性质的运用
1．A∪B＝A B A，A∩B＝A A B，这两个性质常常作为“等价转化”的依据，要特别注意当A B时，往往需要按A＝ 和A≠ 两种情况分类讨论，而这一点却很容易在解题时被忽视，因此当题目中有A B这一条件时，应有分类讨论的思想意识，以免造成漏解或增解．
2．要注重集合语言与数学文字语言之间的转化．
【典型例题3】
集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|mx－1＝0}，若A∪B＝A，则实数m构成的集合为________．
思路分析：解答此题，第一是先利用性质A∪B＝A B A来转化；二是要弄清楚B＝{x|mx－1＝0}≠，要注意对m是否为0进行讨论．
解析：A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，A∪B＝A B A.因此集合B只能为单元素集或 .
(1)当B＝{1}时，即1∈B＝{x|mx－1＝0}，得m＝1；
同理，当B＝{2}时，得m＝.
(2)当B＝ 时，即mx－1＝0无解，得m＝0.
综上(1)(2)可知，实数m构成的集合为.
答案：
探究四
集合的交、并综合运算
集合的交、并综合运算一般需要将所给集合进行求解，有方程问题、不等式问题、点集等，把集合明确后，根据集合的特点及集合的交集、并集运算的定义，选取合适的方法进行运算，如：可结合数轴、Venn图或初中所学函数的图象等．
【典型例题4】
已知集合A＝{y|y＝
x2－2x－3，x∈R}，B＝{y|y＝
－x2＋2x＋13，x∈R}，求A∩B
，A∪B.思路分析：先利用配方法确定集合A与B，再利用数轴进行集合的交、并运算．
解：∵A＝{y|y＝(x－1)2－4，x∈R}，
∴A＝{y|y≥－4}．
∵B＝{y|y＝
－(
x－1)2＋14，x∈R}，
∴B＝{y|y
≤14}．
将集合A，B分别表示在数轴上，如图所示，
∴A∩B＝{y|－4≤y≤14}，A∪B＝R.
点评本题在求A∩B时，极易出现由得y＝5，近而得出A∩B＝{5}的错误．
探究五易错辨析
易错点 忽视A不为空集的情况而致误
【典型例题5】
设集合A＝{x∈R|x2＋2x＋2－p＝0}，B＝{x|x>0}，且A∩B＝ ，求实数p满足的条件．
错解：由于A∩B＝ ，则A＝ ，所以关于x的方程x2＋2x＋2－p＝0没有实数根，
所以Δ＝22－4(2－p)<0，解得p<1.
所以实数p满足的条件为p<1.
错因分析：当A∩B＝ 时，若B≠ ，则A＝ 或A≠ 且A与B没有公共元素，错解忽视了B≠ ，且A与B没有公共元素的情况，导致出现错误．
正解：由A∩B＝ ，且B≠ ，
得A＝ 或A≠ 且A与B没有公共元素．
当A＝ 时，Δ＝22－4(2－p)<0，解得p<1.
当A≠ 且A与B没有公共元素时，
设关于x的方程x2＋2x＋2－p＝0有非正数解x1，x2，
则有所以有
解得1≤p≤2.
综上所得，实数p满足条件为p<1或1≤p≤2，即p≤2.