课堂探究
探究一
求函数的定义域
1．求函数的定义域之前，不能对函数的解析式进行变形，否则可能会引起定义域的变化．
2．求函数定义域的基本原则有：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合．
(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合．
(4)如果f(x)是由几个数学式子构成的，那么函数的定义域是使各式子都有意义的实数的集合(即求各部分定义域的交集)．
(5)对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约．
【典型例题1】
求下列函数的定义域：(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝
(x∈Z)．
思路分析：本题主要考查函数的定义域．只给出函数的关系式，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是使函数关系式有意义的实数的全体构成的集合．解：(1)要使有意义，x需满足x－2≠0，即x≠2，故该函数的定义域为{x|x≠2}．
(2)要使有意义，x需满足3x＋2≥0，即x≥－，故该函数的定义域为.
(3)要使有意义，x需满足－x2＋2≥0，即－≤x≤，又结合x∈Z，则x等于－1,0,1，故该函数的定义域为{－1,0,1}．
探究二
用区间表示数集
用区间表示数集要首先弄清区间的含义，掌握区间的四种形式所对应的数集；其次要特别注意数集中的符号“≤”“≥”“＜”“＞”与区间中的符号“[”“]”“(”“)”的对应关系．
【典型例题2】
(1)①数集{x|x≤－2}用区间表示为______________；
②数集{x|x＞7}用区间表示为______________；
③数集{x|0＜x≤3}用区间表示为______________．
(2)用区间表示数集{x|x＜－2或x≥0}．
(1)解析：①{x|x≤－2}用区间表示为(－∞，－2]；
②{x|x＞7}用区间表示为(7，＋∞)；
③数集{x|0＜x≤3}用区间表示为(0,3]．
答案：①(－∞，－2] ②(7，＋∞) ③(0,3]
(2)解：{x|x＜－2或x≥0}用区间表示为(－∞，－2)∪[0，＋∞)．
探究三
简单函数值域的求法
求函数的值域时，常用的方法有：
(1)观察法：通过对函数关系式的简单变形，利用熟知的一些函数的值域，观察求得函数的值域．
(2)配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量的取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域．
(3)换元法：通过对函数的关系式进行适当换元，可将复杂的函数化归为简单的函数，从而求出函数的值域．
求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，要通过自己在解题过程中逐渐探索和积累．
【典型例题3】
求下列函数的值域：
(1)y＝；
(2)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)；
(3)y＝2x－.
思路分析：求函数的值域没有统一的方法．如果函数的定义域是有限个值，那么就可将函数值都求出得到值域；如果函数的定义域是无数个值，则可根据函数表达式的特点采取相应的方法来求其值域，如，观察法、配方法、换元法等．
解：(1)(观察法)y＝＝2＋.
因为x≠3，所以≠0，所以y≠2.
故所求函数的值域为{y|y≠2}．
(2)(配方法)y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2.因为1≤x＜5，
所以函数的值域为{y|2≤y＜11}．
(3)(换元法)设t＝，则t≥0，且x＝t2＋1.
所以y＝2(t2＋1)－t＝22＋.
因为t≥0，所以y≥.
故函数y＝2x－的值域为.
探究四
求函数的函数关系式
1．利用换元法求函数关系式时注意新元的取值范围，即中间变量t的范围．2．待定系数法适合于已知函数类型求函数关系式的题目．例如：已知函数为一次或二次函数时常用此法．
【典型例题4】
已知f(x－1)＝x2－2x＋7.
(1)求f(2)的值；
(2)求f(x)和f(x＋1)的函数关系式．
思路分析：利用代入法或换元法．对(1)可令x＝3求得；对(2)可用“x＋1”去替换f(x－1)中的“x”即得f(x)，用“x＋2”去替换f(x－1)中的“x”即得f(x＋1)．
解：(1)f(2)＝f(3－1)＝9－2×3＋7＝10.
(2)方法一：f(x)＝f[(x＋1)－1]
＝(x＋1)2－2(x＋1)＋7＝x2＋6，
f(x＋1)＝f[(x＋2)－1]
＝(x＋2)2－2(x＋2)＋7＝x2＋2x＋7.
方法二：f(x－1)＝x2－2x＋7＝(x－1)2＋6，
∴f(x)＝x2＋6，f(x＋1)＝(x＋1)2＋6＝x2＋2x＋7.
方法三：设t＝x－1(t∈R)，
则x＝t＋1(t∈R)，∴f(t)＝(t＋1)2－2(t＋1)＋7＝t2＋6，故f(x)＝x2＋6.
f(x＋1)＝(x＋1)2＋6＝x2＋2x＋7.
点评已知类型为f(g(x))＝h(x)的函数，求f(x)的函数关系式时，常常使用配凑法和换元法．在解答过程中，一定要把法则读懂，分清法则f到底作用的变量是谁，然后利用化归的思想，把待求问题转向已知问题，从而使问题得以解决．
探究五易错辨析
易错点 忽视函数的定义域而致误
【典型例题5】
已知f(＋4)＝x＋8，求f(x)．
错解：令＋4＝t，则x＝(t－4)2，
∴f(t)＝(t－4)2＋8(t－4)＝t2－16，
∴f(x)＝x2－16.
错因分析：在换元时，未标明t的取值范围，而使f(x)缺少定义域．
正解：方法一(配凑法)：
∵f(＋4)＝x＋8＝(＋4)2－16，
∴f(x)＝x2－16(x≥4)．
方法二(换元法)：设＋4＝t，t≥4，则＝t－4，
即x＝(t－4)2，∴f(t)＝(t－4)2＋8(t－4)＝t2－16(t≥4)．
∴f(x)＝x2－16(x≥4)．
点评在利用换元法求函数关系式时，一定要及时求出新自变量的取值范围，否则将导致所求函数的定义域错误．课堂探究
探究一
映射与一一映射的概念
1．判断一个对应法则是A到B的映射，应从两个角度去分析：
(1)存在性：集合A中的每一个元素在集合B中都有对应元素；
(2)唯一性：集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应．
这两个条件缺一不可．
若判断不是A到B的映射，只要举出一个反例，即说明集合A中的某一元素，在B中无对应元素或有多个对应元素即可．
【典型例题1】
(1)如图，下列对应法则：
其中是映射的个数为( )
A.3
B．4
C．5
D．6(2)判断下列对应法则是否是从A到B的映射，若是映射，是否是一一映射？
①A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|；
②A＝{x|x≥0}，B＝{y|y≥0}，f：x→y＝；
③A＝{x|x≥2，x∈Z}，B＝{y|y≥0，y∈N}，f：x→y＝x2－2x＋2.
思路分析：(1)所谓映射，是指多对一的对应，一对一的对应，且A中的元素无剩余，以此来判断既准确又迅速；(2)判断某一映射是否是一一映射，应抓住两点：①原象不同，象不同；②每个象都必须有原象．
(1)解析：①②③这三个图所示的对应法则都符合映射的定义，即A中每一个元素在对应法则下，在B中都有唯一的元素与之对应．
对于④⑤，A的每一个元素在B中有2个元素与之对应，所以不是A到B的映射．
对于⑥，A中的元素a3，a4在B中没有元素与之对应，所以不是A到B的映射．
综上可知，能构成映射的个数为3.
答案：A
(2)解：①因为0∈A，在f作用下0→|0|＝0 B，
所以不是映射，更不是一一映射．
②对于任意x∈A，都有∈B，故是映射．
又因为对B中任一元素，在A中有且仅有一个原象，所以为一一映射．
③对任意的x∈A，依对应法则f有x→y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，因为x≥2，x∈Z，所以y≥2，y∈N，即y∈B，所以是映射．
因为0∈B，且(x－1)2＋1＝0无解，所以集合B中的元素0在A中无原象，所以不是一一映射．
探究二求映射中的象或原象
解决象与原象问题的关键是紧扣定义，具体地说，就是若已知A中的元素a(即原象a)，求B中与之对应的元素b(即象b)，这时只要将元素a代入对应法则f求解即可；若已知B中的元素b(即象b)，求A中与之对应的元素a(即原象a)，这时构造方程(组)进行求解即可，需注意解得的结果可能有多个．在求解过程中，要注意象和原象的区别和联系．【典型例题2】
已知映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(3x－2y＋1,4x＋3y－1)．
(1)求A中元素(1,2)的象；
(2)求B中元素(1,2)的原象．思路分析：(1)根据映射的定义，把(1,2)代入对应法则即可得象；(2)根据映射的定义，利用解方程组的方法求其原象．
解：(1)当x＝1，y＝2时，3x－2y＋1＝0,4x＋3y－1＝9.
故A中元素(1,2)的象为(0,9)．
(2)令得
∴原象为.
探究三
构成映射个数问题
1．一般地，若A中有m个元素，B中有n个元素，则A→B共有nm个不同的映射．
2．含条件的映射个数的确定，解决这类问题一定要注意对应法则所满足的条件，要采用分类讨论的思想，利用列举法来解决．
【典型例题3】
(1)集合A＝{a，b，c}，B＝{d，e}，则从A到B可以建立不同的映射个数为( )
A.5
B．6
C．8
D．9
(2)集合A＝{a，b}，B＝{－1,0,1}，从A到B的映射f：A→B满足f(a)＋f(b)＝0，那么这样的映射f：A→B的个数为( )
A.2
B．3
C．5
D．8
解析：(1)用树状图写出所有的映射为：
a→d a→e共8个．
(2)满足条件f(a)＋f(b)＝0的情形有：－1＋1＝0,1＋(－1)＝0,0＋0＝0，共3个，即满足条件的映射有3个．
答案：(1)C (2)B
