2016-2017学年高一数学人教B版必修1学案（课堂探究 ）：2.1.2函数的表示方法

课堂探究
探究一
画函数图象
图象的画法常见的有两种：描点法、变换作图法．
1．描点法的一般步骤是：列表、描点、连线；
列表——先找出一些(有代表性的)自变量x，并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来；
描点——从表中得到一系列的点(x，f(x))，在坐标平面上描出这些点；
连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来．
2．变换作图法常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等．
3．作函数图象时应特别注意：顶点、端点、图象与x轴的交点等这些特殊点．
4．作图时应首先看清函数的定义域．
【典型例题1】
作出下列函数的图象：
(1)y＝－x＋1，x∈Z；
(2)y＝2x2－4x－3(0≤x＜3)；
(3)y＝|1－x|；
(4)y＝
思路分析：作函数图象，首先明确函数的定义域，其次明确函数图象的形状，体会定义域对图象的控制作用，处理好端点．如，第(4)小题x＝0时的情况．作图时，如第(2)小题，先不受定义域限制作出完整的抛物线，然后再根据定义域截取．函数图象的形状可以是一条或几条无限长的平滑曲线，也可以是一些点、一些线段、一段曲线等．
解：(1)定义域为Z，所以图象为离散的点．图象如图(1)所示．
(2)y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5(0≤x＜3)，定义域不是R，因此图象不是完整的抛物线，而是抛物线的一部分．图象如图(2)所示．
(3)先根据绝对值的定义去掉绝对值号，再写成分断函数y＝图象如图(3)所示．
(4)这个函数的图象由两部分组成．当0≤x≤1时，为抛物线y＝x2的一段；当－1≤x＜0时，为直线y＝x＋1的一段．图象如图(4)所示．
探究二
求函数解析式
1．若已知函数类型求解析式，则可用待定系数法求解．若f(x)是一次函数，可设f(x)＝kx＋b(k≠0)，若f(x)是二次函数，可设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，然后利用题目中的已知条件，列出关于待定系数的方程组，进而求出待定的系数．
2．若不清楚函数类型，可采用配凑法或换元法．
【典型例题2】
(1)已知f＝，求f(x)；
(2)已知f(x)为一次函数，且f(f(x))＝9x＋4，求f(x)．
思路分析：(1)利用“换元法”或“配凑法”；(2)利用待定系数法．
解：(1)方法一：令＝t，则x＝，且t≠0，
∴f(t)＝＝＝，∴f(x)＝
(x≠0)．
方法二：f＝＝，
∴f(x)＝
(x≠0)．
(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)．
f(f(x))＝af(x)＋b＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
由题设知解得或
∴f(x)＝3x＋1或f(x)＝－3x－2.
探究三
分段函数及其应用
求解分段函数问题三注意
1．求f(f(a))的值时，应从内到外依次取值，直到求出值为止．
2．已知函数值，求自变量的值时，切记要进行检验．解题时一定要注意自变量的范围，只有在自变量确定的范围内才可以进行运算．
3．已知f(x)，解关于f(x)的不等式时，要先在每一段内求交集，最后求并集．
【典型例题3】
已知f(x)＝若f(x)＞2，求x的取值范围．
思路分析：在x≥－2时，由x＋2＞2，解得x＞0后，需与x≥－2求交集，得x＞0；当x＜－2时，由－x－2＞2，得x＜－4，与x＜－2求交集，得x＜－4.然后求x＞0与x＜－4的并集得最后结果．
解：当x≥－2时，f(x)＝x＋2，由f(x)＞2，得x＋2＞2，解得x＞0，故x＞0；
当x＜－2时，f(x)＝－x－2，由f(x)＞2，得－x－2＞2，解得x＜－4，故x＜－4.
综上可得，x＞0或x＜－4.
【典型例题4】
已知函数f(x)＝
(1)求f(－8)，f，f，f的值；
(2)作出函数的简图；
(3)求函数的值域．
思路分析：给出的函数是分段函数，应注意在不同的自变量取值范围内有不同的解析式．
(1)根据自变量的值，选用相应关系式求函数值．
(2)在不同的区间，依次画出函数图象．
解：函数的定义域为[－1,0)∪[0,1)∪[1,2]＝[－1,2]．
(1)因为－8 [－1,2]，所以f(－8)无意义．
当x∈[－1,0)时，f(x)＝－x，
所以f＝－＝.
当x∈[0,1)时，f(x)＝x2，所以f＝2＝.
当x∈[1,2]时，f(x)＝x，所以f＝.
(2)根据题中函数的表达式，在平面直角坐标系中作出的函数图象如图所示．
(3)由(2)中画出的图象可知，函数的值域为[0,2]．
探究四
易错辨析
　　易错点　缺乏检验意识而致误
【典型例题5】
已知f(x)＝若f(a)＝，求a的值．
错解：∵f(a)＝
∴令|a－1|－2＝，得a＝或a＝－.
再令＝，得a＝±2.
综上可知满足f(a)＝的a的值为－，，±2.
错因分析：没有对求得的a的值进行验证．
正解：∵f(a)＝
∴当|a|≤1时，令|a－1|－2＝，
解得a＝或a＝－.
又∵|a|≤1，
∴a＝和a＝－均不符合题意，舍去；
当|a|＞1时，令＝，
解得a＝±2，均符合|a|＞1.综上，符合题意的a的值为±2.
点评对于分段函数，无论是求函数值，还是求自变量，都要看清楚每一段解析式所对应的自变量的取值范围，不能张冠李戴，也不能忘记检验．