2016-2017学年高一数学人教B版必修1学案（课堂探究 ）：2.2.1一次函数的性质与图象

课堂探究
探究一
一次函数的概念和性质
形如y＝kx＋b(k≠0)的函数是一次函数；当k≠0，b＝0时，为正比例函数；当k＞0时，函数为增函数，当k＜0时，函数为减函数；涉及直线与直线的交点问题常联立方程组求解．
【典型例题1】
已知函数y＝(2m－1)x＋1－3m，当m为何值时：
(1)这个函数为一次函数；
(2)函数值y随x的增大而减小；
(3)此函数为奇函数；
(4)此函数图象与直线y＝x＋1的交点在y轴上？
思路分析：本题主要考查一次函数的概念、奇偶性与单调性，第(1)(2)(3)问易求，对于第(4)问要重视方程组的作用．
解：(1)当2m－1≠0，即m≠时，此函数为一次函数．
(2)根据一次函数的性质，可知当2m－1＜0，即m＜时，函数值y随x的增大而减小．
(3)当2m－1≠0，且1－3m＝0，即m＝时，此函数为奇函数．
(4)设函数y＝(2m－1)x＋1－3m的图象与直线y＝x＋1的交点为(0，y0)，则解得
所以当m＝0时，两条直线的交点在y轴上．
探究二
一次函数的图象及应用
一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，因此k的取值确定了直线的方向，b的取值确定了直线在y轴上的截距，同时，直线的特征也确定了k，b的取值，总之要达到“数”与“形”的统一，做到“数中含形，形中蕴数”．
【典型例题2】
若函数y＝(2m－3)x＋(3n＋1)的图象经过第一、二、三象限，求m，n的取值范围．
思路分析：根据函数的单调性及截距列关系式求解．
解：因为函数y＝(2m－3)x＋(3n＋1)的图象经过第一、二、三象限，
所以所以m＞，n＞－.
【典型例题3】
画出函数y＝2x－4的图象，利用图象解决下列问题：
(1)求方程2x－4＝0的根；
(2)求不等式2x－4≥0的解集；
(3)当y≤2时，求x的取值范围；
(4)求函数图象与坐标轴的两个交点间的距离．
思路分析：通过数形结合将一次函数、一元一次方程和一元一次不等式联系在一起，解题时要充分利用图形的直观性．
解：令x＝0，得y＝－4；令y＝0，得x＝2，描点A(0，－4)，B(2,0)；连线，如图所示，直线AB就是函数y＝2x－4的图象．
(1)直线AB与x轴的交点是B(2,0)，从图象可以看出，当x＝2时，y＝0，即2×2－4＝0，所以x＝2就是方程2x－4＝0的根．
(2)由图象可以看到，射线BC在x轴上及其上方，它上面的点的纵坐标都大于或等于零，即y＝2x－4≥0.因为射线BC上的点的横坐标满足x≥2，所以不等式2x－4≥0的解集是{x|x≥2}．
过(0,2)作平行于x轴的直线D′D，交直线AB于点(3,2)，直线DD′上点的纵坐标均为2，直线AB上位于直线DD′上及其下方的点的纵坐标满足y≤2，横坐标满足x≤3，所以当y≤2时，x的取值范围为x≤3.
(4)图象与x轴的交点为B(2,0)，与y轴的交点为A(0，－4)，因此|OA|＝4，|OB|＝2.
由勾股定理得|AB|＝＝＝.
探究三易错辨析
易错点　忽视斜率的特殊情形而致误【典型例题4】
讨论函数y＝(a－3)x＋b＋5的单调性．
错解：由一次函数的性质可知，当a－3＞0，即a＞3时，函数为增函数；当a－3＜0，即a＜3时，函数为减函数．
错因分析：忘记a－3＝0，即a＝3这一特殊情况，而误认为y＝(a－3)x＋b＋5一定是一次函数．正解：由题意，知当a－3＞0，即a＞3时，函数为增函数；
当a－3＜0，即a＜3时，函数为减函数；
当a－3＝0，即a＝3时，函数可化为y＝b＋5，是常数函数，没有单调性．
综上可知，当a＞3时，函数为增函数；当a＜3时，函数为减函数；当a＝3时，函数无单调性．
点评
对于含参数的函数进行分类讨论时，一定要注意分类要全面，做到不重复不遗漏．