2016-2017学年高一数学人教B版必修1学案（课堂探究 ）：2.3函数的应用（Ⅰ）

课堂探究
探究一
一次函数模型的应用
1．一次函数模型的实际应用：
一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．
2．一次函数的最值求解：
一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．【典型例题1】
(1)某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y＝6x＋30
000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒(　　)
A.2
000套
B．3
000套
C．4
000套
D．5
000套
(2)商店出售茶壶和茶杯，茶壶定价为每个20元，茶杯每个5元，该商店推出两种优惠办法：
(1)买一个茶壶赠一个茶杯；
(2)按总价的92%付款．
某顾客需购买茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若购买茶杯x(个)，付款y(元)，分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数解析式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪一种更优惠？
(1)解析：因利润z＝12x－(6x＋30
000)，所以z＝6x－30
000，由z≥0解得x≥5
000，故至少日生产文具盒5
000套．
答案：D
(2)解：由优惠办法(1)可得函数解析式为y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋60(x≥4，且x∈N)．
由优惠办法(2)可得y2＝(5x＋20×4)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4，且x∈N)．
y1－y2＝0.4x－13.6(x≥4，且x∈N)，
令y1－y2＝0，得x＝34.
所以，当购买34个茶杯时，两种办法付款相同；
当4≤x＜34时，y1＜y2，即优惠办法(1)更省钱；
当x＞34时，y1＞y2，优惠办法(2)更省钱．
探究二
二次函数模型的应用
二次函数模型的解析式为g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．在函数建模中，它占有重要的地位．在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题．二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答．【典型例题2】
某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
思路分析：本题中平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)是一个一次函数关系，虽然x∈[50,55]，x∈N，但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题；平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)是一个二次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题．
解：(1)根据题意，得y＝90－3(x－50)，
化简，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)．
(2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．
所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9
600(50≤x≤55，x∈N)．
(3)因为w＝－3x2＋360x－9
600＝－3(x－60)2＋1
200，所以当x＜60时，w随x的增大而增大．
又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1
125.
所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1
125元．
点评
此题中要清楚平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润，解答时还要注意利用上一问的结论．
探究三
分段函数模型的应用
1．分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．
2．分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．
3．分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．
【典型例题3】
某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为5t－t2(万元)．
(1)若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数；
(2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？
思路分析：利润＝销售收入－总的成本．由于本题中的销量只能为500件，但生产的数量不确定，所以模型确定为分段函数模型．
解：(1)当0＜x≤5时，产品全部售出，
当x＞5时，产品只能售出500件．
所以f(x)
＝
即f(x)＝
(2)当0＜x≤5时，f(x)＝－x2＋4.75x－0.5，
所以当x＝4.75(百件)时，f(x)有最大值，
f(x)max＝10.781
25(万元)．
当x＞5时，f(x)＜12－0.25×5＝10.75(万元)．
故当年产量为475件时，当年所得利润最大．
点评
本题易归为二次函数模型处理，即x＞5这种情况易漏掉．
探究四
易错辨析
易错点　忽视实际问题中x的范围而致误
【典型例题4】
如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝a，BC＝b(a＞b)，在AB，AD，CB，CD上分别截取AE＝AH＝CF＝CG＝x(x＞0)，设四边形EFGH的面积为y.
(1)写出四边形EFGH的面积y与x之间的函数关系式；
(2)求当x为何值时，y取得最大值，最大值是多少？
错解：(1)由题意，可知△AEH≌△CGF，△DGH≌△BEF，且BE＝DG＝a－x，BF＝DH＝b－x.∴S△AEH＝x2，S△BFE＝(a－x)(b－x)．
∴S四边形EFGH＝S矩形ABCD－2S△AEH－2S△BFE＝ab－x2－(a－x)(b－x)＝－2x2＋(a＋b)x.
即y＝－2x2＋(a＋b)x.
(2)由(1)知，y＝－2x2＋(a＋b)x
＝－22＋，
∴由二次函数的性质得，
当x＝时，ymax＝.
错因分析：(1)中没有注意实际问题中x的取值范围；
(2)中没有讨论对称轴与区间的关系，从根本上是由(1)中没明确定义域而造成最后的错误．
正解：(1)由题意，可知△AEH≌△CGF，△DGH≌△BEF，
且BE＝DG＝a－x，BF＝DH＝b－x.
∴S△AEH＝x2，S△BFE＝
(a－x)(b－x)．
∴S四边形EFGH＝S矩形ABCD－2S△AEH－2S△BFE
＝ab－x2－(a－x)(b－x)＝－2x2＋(a＋b)x(0＜x≤b)，
即y＝－2x2＋(a＋b)x(0＜x≤b)．
(2)由(1)知，y＝－2x2＋(a＋b)x
＝－22＋
(0＜x≤b)．
若0＜≤b，即a＞b≥时，ymax＝，
此时x＝；
若＞b，即0＜b＜时，函数y＝－2x2＋(a＋b)x在(0，b]上是增函数．
∴当x＝b时，ymax＝－2b2＋(a＋b)b＝ab－b2.
点评
对实际问题中的函数解析式一定要注意自变量x要受实际问题的约束，看似一个细节失误，它将会造成严重问题，比如，本题就直接造成了第(2)问的错误解法，因此大家不要因小失大．