2016-2017学年高一数学人教B版必修1学案（课堂探究 ）：2.2.2二次函数的性质与图象

课堂探究
探究一
二次函数的定义
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当b＝c＝0时，函数变为y＝ax2(a≠0)，它的图象是一条以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线；另外二次函数有以下几种形式：
(1)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)为其图象的顶点坐标．
(2)交点式(也称两根式)：f(x)＝a(x－x1)·(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是其图象与x轴交点的横坐标．
(3)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
【典型例题1】
当m为何值时，函数y＝(2－m)xm2＋m－4＋(m＋8)x是二次函数？
思路分析：根据二次函数的定义，只要保证二次项系数2－m≠0且x的指数m2＋m－4＝2即可．
解：由二次函数的定义知
即解得所以m＝－3.
所以当m＝－3时，函数y＝(2－m)xm2＋m－4＋(m＋8)x为二次函数．
点评在求解本题时，一定要严格把握二次函数的定义，也就是说函数y＝ax2＋bx＋c只有在a≠0的条件下才是二次函数，同时注意二次函数的每一项都是整式形式．
探究二
二次函数的图象和性质
1．根据配方法及函数的性质画函数图象，可以直接选取关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便，使图象更精确．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标就是对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，二次函数图象在x轴上方部分对应的x取值范围即为不等式ax2＋bx＋c＞0的解；同样二次函数图象在x轴下方部分对应的x取值范围，即为不等式ax2＋bx＋c＜0的解．【典型例题2】
已知函数f(x)＝－x2＋2x＋3.
(1)用配方法求出函数的对称轴、顶点坐标，并作出图象，指出其单调区间；
(2)由图象写出y≥0时x的取值范围．
思路分析：本题考查配方法和二次函数的图象与性质．解题的关键是配方，完成配方后再结合图象研究其性质．
解：(1)f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x2－2x)＋3＝－(x－1)2＋4，则该函数的对称轴为x＝1，顶点坐标为(1,4)，其图象如图所示．
其单调增区间为(－∞，1]，单调减区间为[1，＋∞)．
(2)由图象知当y＝0时，x＝－1或x＝3；当y＞0时，－1＜x＜3，故当y≥0时x的取值范围是[－1,3]．
探究三
二次函数单调性与对称性的应用
1．利用二次函数的单调性求参数的取值范围的方法：
已知函数的单调性，求函数解析式中参数的范围，是函数单调性的逆向思维问题．解答此类问题的关键在于先找出函数图象的对称轴，通过集合间的关系来建立变量间的关系．
2．函数的对称性：
(1)若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a＋x)＝f(a－x)对任意x都成立，这个关系式我们也常常表示为：f(x)＝f(2a－x)，也说明函数图象关于直线x＝a对称．
(2)若函数f(x)对任意x有f(a－x)＝f(b＋x)，则函数f(x)图象的对称轴为x＝.
【典型例题3】
(1)若函数f(x)＝x2＋2mx＋1在区间[－1,2]上是单调的，则实数m的取值范围是__________；
(2)如果函数f(x)＝x2＋bx＋1对任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)，求f(1)，f(2)的值．
(1)解析：函数f(x)＝x2＋2mx＋1＝(x＋m)2＋1－m2，其图象的对称轴为x＝－m，若函数在[－1,2]上单调，说明对称轴不在区间[－1,2]内部，故有－m≤－1或－m≥2，得m≥1或m≤－2.答案：m≥1或m≤－2
(2)解：由题意知，函数图象关于x＝2对称，故－＝2，得b＝－4，所以f(x)＝x2－4x＋1，f(1)＝1－4＋1＝－2，f(2)＝4－8＋1＝－3.
探究四二次函数的最值(值域)
对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的最值问题，首先应采用配方法，化为y＝a(x－h)2＋k的形式．
(1)求二次函数在定义域R上的最值；
(2)求二次函数在闭区间上的最值共有三种类型：
①顶点固定，区间也固定．
此种类型是较为简单的一种，只要找到对称轴，画出图象，将区间标出，最值一目了然．
②顶点变动，区间固定．这种类型是比较重要的，在高考题中多次出现，主要是讨论顶点横坐标即对称轴在区间左侧、在区间内部以及在区间右侧等情况，然后根据不同情况写出最值．
③顶点固定，区间变动．
此种情况用的较少，在区间里含有参数，根据区间分别在对称轴的左侧、包含对称轴以及在对称轴右侧进行讨论．
【典型例题4】
已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2.
(1)当a＝－1时，求函数f(x)在区间[－5,5]上的最大值和最小值；
(2)用a表示出函数f(x)在区间[－5,5]上的最值．
思路分析：将原函数先配方，对于第(2)问还要结合图象进行分类讨论．解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，
因为1∈[－5,5]，故当x＝1时，f(x)取得最小值，f(x)min＝f(1)＝1；
当x＝－5时，f(x)取得最大值，f(x)max＝f(－5)＝(－5－1)2＋1＝37.
(2)函数f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2的图象开口向上，对称轴为x＝－a.
当－a≤－5，即a≥5时，函数在区间[－5,5]上是增函数，所以f(x)max＝f(5)＝27＋10a，f(x)min＝f(－5)＝27－10a；当－5＜－a≤0，即0≤a＜5时，函数图象如图(1)所示，由图象可得f(x)min＝f(－a)＝2－a2，f(x)max＝f(5)＝27＋10a；
当0＜－a＜5，即－5＜a＜0时，函数图象如图(2)所示，由图象可得f(x)max＝f(－5)＝27－10a，f(x)min＝f(－a)＝2－a2；
当－a≥5，即a≤－5时，函数在区间[－5,5]上是减函数，所以f(x)min＝f(5)＝27＋10a，f(x)max＝f(－5)＝27－10a.
综上可得，当a≥5时，f(x)在区间[－5,5]上的最大值为27＋10a，最小值为27－10a；
当0≤a＜5时，f(x)在区间[－5,5]上的最大值为27＋10a，最小值为2－a2；
当－5＜a＜0时，f(x)在区间[－5,5]上的最大值为27－10a，最小值为2－a2；
当a≤－5时，f(x)在区间[－5,5]上的最大值为27－10a，最小值为27＋10a.
【典型例题5】
设f(x)＝x2－4x－4，x∈[t，t＋1](t∈R)，求函数f(x)的最小值g(t)的解析式．
思路分析：本题属于轴定区间动的情形，分三种情况讨论f(x)的最小值．
解：∵f(x)＝(x－2)2－8，x∈[t，t＋1]，
∴当2∈[t，t＋1]，即1≤t≤2时，g(t)＝f(2)＝－8.
当t＋1＜2，即t＜1时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，
∴g(t)＝f(t＋1)＝t2－2t－7.
当t＞2时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，∴g(t)＝f(t)＝t2－4t－4.
综上可知，g(t)＝
探究五
易错辨析
易错点　缩小了参数的范围而致误
【典型例题6】
已知f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2,2]，f(x)＞0恒成立，求a的取值范围．错解：结合二次函数f(x)＝x2＋ax＋3－a的图象可知，要使f(x)＞0在x∈[－2,2]上恒成立，则只需Δ＝a2－4(3－a)＜0，解得－6＜a＜2.
错因分析：原题中信息是f(x)＞0对任意x∈[－2,2]恒成立，而上面错解中误认为f(x)＞0对任意x∈R恒成立，因此使所求范围缩小了．
正解：设f(x)在[－2,2]上的最小值为g(a)，则只需g(a)＞0.
当－＜－2，即a＞4时，g(a)＝f(－2)＝7－3a＞0，得a＜.
又a＞4，故此时a不存在．
当－2≤－≤2，即a∈[－4,4]时，
g(a)＝f＝3－a－＞0，得－6＜a＜2.
因为－4≤a≤4，所以－4≤a＜2.
当－＞2，即a＜－4时，g(a)＝f(2)＝7＋a＞0，得a＞－7.
因为a＜－4，所以－7＜a＜－4.
综上所述，a的取值范围是(－7,2)．
点评解答时不能凭想当然，一定要充分利用题干中的信息，并且在化简或化归时要做到等价转化，例如错解中就不是等价转化．