2016-2017学年高一数学人教B版必修1学案（课堂探究 ）：2.4函数与方程

课堂探究
探究一
求函数的零点
1．函数零点的求法：解方程f(x)＝0，所得实数解就是f(x)的零点．解三次以上的高次方程时，一般需要因式分解．
2．对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴交点的横坐标即为函数的零点．
【典型例题1】
求下列函数的零点：
(1)f(x)＝－x2－2x＋3；
(2)f(x)＝x4－1.
思路分析：解对应的方程的根，即为函数的零点．
解：(1)由于f(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)，所以方程－x2－2x＋3＝0的两根是－3,1.
故函数的零点是－3,1.
(2)由于f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)，
所以方程x4－1＝0的实数根是－1,1.
故函数的零点是－1,1.探究二
判断函数的零点个数
1．对于函数零点的个数的判断通常的做法有：①直接求出零点；②结合函数图象分析；③对函数解析式确定的二次函数，用判别式Δ即可，若Δ表达式中含有字母，需对字母进行讨论．
2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点个数 抛物线f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的个数 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的个数．
【典型例题2】
(1)函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足ac＜0，则函数的零点个数为(　　)
A.0
B．1
C．2
D．不确定
(2)判断下列函数的零点个数：
①f(x)＝x2－7x＋12；　　　②f(x)＝x2－.
(1)解析：二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点即方程ax2＋bx＋c＝0的根，因为Δ＝b2－4ac＞0(因ac＜0)，所以函数有2个零点．
答案：C
(2)解：①因为由f(x)＝0，即x2－7x＋12＝0，得Δ＝49－4×12＝1＞0，
所以方程x2－7x＋12＝0有两个不相等的实数根3,4.
所以函数f(x)有两个零点．
②方法一：由x2－＝0，得x2＝.
令h(x)＝x2(x≠0)，g(x)＝.
在同一直角坐标系中画出h(x)和g(x)的图象，由图可知两个图象只有一个交点，故函数f(x)＝x2－只有一个零点．
方法二：令f(x)＝0，即x2－＝0，
因为x≠0，所以x3－1＝0.所以(x－1)(x2＋x＋1)＝0.
所以x＝1或x2＋x＋1＝0.
因为方程x2＋x＋1＝0的根的判别式Δ＝12－4＝－3＜0，
所以方程x2＋x＋1＝0无实数根．
所以函数f(x)只有1个零点．
探究三
零点性质的应用
解决根的分布问题的一般步骤为：
1．首先画出符合题意的草图，转化为函数问题．
2．结合草图考虑三个方面：(1)Δ与零的大小关系；(2)对称轴与所给端点值的关系；(3)端点的函数值与零的关系．
3．写出由题意得到的不等式(组)．
4．由得到的不等式(组)去验证图象是否符合题意．
这类问题充分体现了函数与方程的思想，也体现了方程的根就是函数的零点．在写不等式(组)时，要注意条件的完备性．
【典型例题3】
当a取何值时，方程ax2－2x＋1＝0的一个根在区间(0,1)内，另一个根在区间(1,2)内？
思路分析：对a分a＝0，a＞0，a＜0三种情况讨论，并利用零点的特征性质来解决．
解：当a＝0时，方程即为－2x＋1＝0，只有一根，
不符合题意．
当a＞0时，设f(x)＝ax2－2x＋1，
∵方程ax2－2x＋1＝0的根，即函数f(x)的零点分别在区间(0,1)，(1,2)内，∴即
解得＜a＜1.
当a＜0时，设方程ax2－2x＋1＝0的两根为x1，x2，
则x1·x2＝＜0，即x1，x2一正一负，不符合题意．
综上，a的取值范围为.
点评对于根的分布问题常常借助函数零点的有关性质进行讨论．在解本题时，易出现的情况，导致此种错误的原因是没有对a进行分类讨论．
探究四
利用二分法求函数零点的近似值
1．二分法求函数零点近似值的一般步骤
2．二分法应用时的注意事项
(1)要选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小．(2)在求解过程中，可借助表格或数轴清楚地描写逐步缩小零点所在区间的长度．
(3)根据给定的精确度，及时检验所取区间长度是否达到要求，以及时终止计算．
【典型例题4】
借助计算器，用二分法求函数f(x)＝2x2－3x－1的一个正零点(精确到0.1)．
思路分析：本题利用二分法求函数近似零点的方法及步骤即可完成．
解：令2x2－3x－1＝0，得x＝.
其中1＜＜2，由于f(1)＝－2＜0，f(2)＝1＞0，
可取区间[1,2]作为计算的初始区间，
用二分法逐步计算，列表如下：
端点或中点横坐标
计算端点或中点的函数值
定区间
x1＝＝1.5
f(x1)＝－1＜0
[1.5,2]
x2＝＝1.75
f(x2)＝－0.125＜0
[1.75,2]
x3＝＝1.875
f(x3)＝0.406
25＞0
[1.75,1.875]
x4＝+＝1．812
5
f(x4)＝0．132
812
5＞0
[1.75,1.812
5]
由上表可知，区间[1.75,1.812
5]长度不大于0.1，因此可取1.8为所求函数的一个正零点近似值．
探究五
易错辨析
易错点　忽视函数有零点的条件而致误
【典型例题5】
若α，β是函数f(x)＝x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5的两个零点，试求α2＋β2的最大值．
错解：根据题意，可得α，β是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的两根．
由根与系数的关系，得α＋β＝k－2，α·β＝k2＋3k＋5，所以α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝(k－2)2－2(k2＋3k＋5)＝－k2－10k－6＝－(k＋5)2＋19，
所以α2＋β2的最大值为19.
错因分析：没有考虑函数有零点这一前提条件，从而导致错解．
正解：因为函数f(x)＝x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5有两个零点，
所以Δ＝(k－2)2－4(k2＋3k＋5)≥0，即3k2＋16k＋16≤0.
所以(k＋4)(3k＋4)≤0，解得－4≤k≤－.
由错解知α2＋β2＝－(k＋5)2＋19，
所以当k＝－4时，α2＋β2取最大值，最大值为18.
点评
涉及二次函数最值求解问题，大家一定要注意自变量的取值范围，再者对于二次函数有零点，就意味着Δ≥0，不要忽略Δ的情况而直接讨论其他问题，这样很容易出现错误．