2016-2017学年高一数学人教B版必修1学案（课堂探究 ）：3.1.2指数函数

课堂探究
探究一
指数函数的概念
1．判断一个函数是指数函数的方法：
(1)看形式：即看是否符合y＝ax(a>0，a≠1，x∈R)这一结构形式．
(2)明特征：指数函数的解析式具备的三个特征，只要有一个特征不具备，则不是指数函数．
2．已知某个函数是指数函数求参数值的步骤
(1)列：依据指数函数解析式所具备的三个特征，列出方程(组)或不等式(组)．
(2)解：解所列的方程(组)或不等式(组)，求出参数的值或范围．
【典型例题1】
函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，求a的值．
思路分析：只需让解析式符合y＝ax这一形式即可．
解：因为y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，
所以解得所以a＝2.
探究二
求指数型函数的定义域、值域
求函数的定义域问题，即求表达式有意义时相应的x的取值范围(集合)；求函数的值域问题主要是借助指数函数的性质，先求出指数位置上的表达式的取值范围，再求原函数的值域．
【典型例题2】
求下列函数的定义域与值域：
(1)y＝；　(2)y＝；　(3)y＝.
解：(1)要使函数y＝2有意义，则有x－3≠0，即x≠3；
因为≠0，所以y＝≠1.
所以所求函数的定义域是{x|x∈R，且x≠3}，值域为{y|y＞0，且y≠1}．
(2)因为y＝中的|x|≥0，所以0＜y≤1.
所以所求函数的定义域为R，值域为{y|0＜y≤1}．
(3)已知函数可化为y＝，由≥0，得x＞1.
又由＞0，得y＝＞1.
所以所求函数的定义域为{x|x＞1}，值域为{y|y＞1}．
探究三
利用指数函数的性质比较大小
利用指数函数的性质比较大小的方法：
1．把这两个数看作指数函数的两个函数值，再利用指数函数的单调性比较；
2．若两个数不是同一个函数的两个函数值，则寻求一个中间量，中间量常选1，两个数都与这个中间量进行比较；
3．当底数a的情形不确定时，要分类讨论，有些底数不相同的，需利用幂的性质化归为同底，再利用单调性得出结果．【典型例题3】
比较下列各组数的大小：
(1)
与；　　　(2)与1；
(3)(0.6)－2与.
思路分析：若两个数是同底指数幂，则直接利用指数函数的单调性比较大小；若不同底，一般用中间值法．
解：(1)∵0<<1，∴y＝在定义域R内是减函数，
又∵－1.8>－2.6，∴<.
(2)∵0<<1，∴y＝在定义域R内是减函数．
又∵－<0，∴>＝1，∴>1.
(3)∵0.6－2>0.60＝1，
<＝1，∴0.6－2>.
探究四
指数函数的图象问题
1．牢记指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象恒过定点(0,1)，分布在第一和第二象限．
2．明确影响指数函数图象特征的关键是底数．
3．平移变换(φ>0)，如图(1)所示．
图(1)
图(2)
4．对称变换，如图(2)所示．
【典型例题4】
函数y＝ax－1＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点__________．
解析：方法一：∵指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象过定点(0,1)，
∴函数y＝ax－1＋2中令x－1＝0，即x＝1，则y＝1＋2＝3.
∴函数图象恒过定点(1,3)．
方法二：函数可变形为y－2＝ax－1，把y－2看作x－1的指数函数，则当x－1＝0，即x＝1时，y－2＝1，即y＝3.
∴函数图象恒过定点(1,3)．方法三：由图象变换可知：
∵指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，∴y＝ax－1的图象恒过定点(1,1)．
∴y＝ax－1＋2的图象恒过点(1,3)．
答案：(1,3)
【典型例题5】
先作出函数y＝2x的图象，再通过图象变换作出下列函数的图象：
(1)y＝2x－2，y＝2x＋1；
(2)y＝2x＋1，y＝2x－2；
(3)y＝－2x，y＝2－x，y＝－2－x.
思路分析：先作出y＝2x的图象，再向左(右)、上(下)平移分别得到第(1)(2)题中函数的图象；由y＝2x的图象作关于x轴、y轴、原点的对称变换便得第(3)题中函数的图象．解：列表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝2x
…
1
2
4
8
…
根据上表中x，y的对应值在平面直角坐标系中描点作图如图(1)所示．
图(1)
(1)函数y＝2x－2的图象可以由y＝2x的图象向右平移2个单位长度得到，函数y＝2x＋1的图象可以由y＝2x的图象向左平移1个单位长度得到．图象如图(1)所示．
(2)函数y＝2x＋1的图象可以由y＝2x的图象向上平移1个单位长度得到，函数y＝2x－2的图象可以由y＝2x的图象向下平移2个单位长度得到．图象如图(2)所示．
图(2)
(3)函数y＝2－x的图象由y＝2x的图象关于y轴对称后得到；函数y＝－2x的图象由y＝2x的图象关于x轴对称后得到；函数y＝－2－x的图象由y＝2x的图象关于原点对称后得到．图象如图(3)所示．
图(3)
探究五
易错辨析
易错点　误解“左加右减”法则而致误
【典型例题6】
函数y＝2－x＋1的图象是由y＝2－x的图象怎样变化得到的？
错解：由“左加右减”法则，把y＝2－x的图象向左平移一个单位长度，得到y＝2－x＋1的图象．
错因分析：图象的左右平移是对于自变量x来说的，因此平移只对自变量x起作用，与自变量的函数无关．
正解：因为y＝2－x＋1＝2－(x－1)，所以把y＝2－x的图象向右平移一个单位长度可得到y＝2－x＋1的图象．
易错点　忽视了函数的定义域而致误
【典型例题7】
求函数y＝4x－2x＋1＋3，x∈(－∞，1]的值域．
错解：(换元法)∵y＝(2x)2－2·2x＋3，
∴令2x＝t，则原函数化为y＝t2－2t＋3＝(t－1)2＋2.∴当t＝1时，ymin＝2，即y≥2，
即函数y＝4x－2x＋1＋3，x∈(－∞，1]的值域为[2，＋∞)．
错因分析：忽视了新的自变量t的取值范围，而使y的取值范围扩大．
正解：原函数即为y＝22x－2·2x＋3.
令t＝2x，x∈(－∞，1]，∴t∈(0,2]．
∴y＝t2－2t＋3＝(t－1)2＋2.当t＝1时，ymin＝2；当t＝2时，ymax＝3.
∴函数的值域为[2,3]．