2016-2017学年高一数学人教B版必修1学案（课堂探究 ）：3.2.3指数函数与对数函数的关系

课堂探究
探究一
求反函数
求函数的反函数的主要步骤：
1．从y＝f(x)中解出x＝φ(y)；
2．将x，y互换；
3．标明反函数的定义域(即原函数的值域)，简记为“一解、二换、三写”．
【典型例题1】
求下列函数的反函数：
(1)y＝log2x；　　(2)y＝；　　(3)y＝5x＋1.
思路分析：按照求反函数的基本步骤求解即可．
解：(1)由y＝log2x，得x＝2y，
∴f－1(x)＝2x(x∈R)．
(2)由y＝，得x＝，且y>0，∴f－1(x)＝(x>0)．
(3)由y＝5x＋1，得x＝，∴f－1(x)＝
(x∈R)．
探究二
指数函数与对数函数图象的关系
互为反函数的图象特点：
(1)互为反函数的图象关于直线y＝x对称；图象关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数．
(2)互为反函数的两个函数在相应区间上的单调性一致．
(3)若一奇函数有反函数，则它的反函数也是奇函数．
【典型例题2】
(1)已知a>0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象只能是(　　)
(2)将y＝2x的图象先__________，再作关于直线y＝x对称的图象，可得到函数y＝log2(x＋1)的图象(　　)
A．先向上平行移动一个单位长度
B．先向右平行移动一个单位长度
C．先向左平行移动一个单位长度
D．先向下平行移动一个单位长度
解析：(1)方法一：首先，曲线y＝ax只可能在上半平面，y＝loga(－x)只可能在左半平面，从而排除A，C.
其次，从单调性着眼．y＝ax与y＝loga(－x)的单调性正好相反，又可排除D.故选B.方法二：若0若a>1，则曲线y＝ax上升且过点(0,1)，而曲线y＝loga(－x)下降且过点(－1,0)，只有B满足条件．
方法三：如果注意到y＝loga(－x)的图象关于y轴的对称图象为y＝logax，又y＝logax与y＝ax互为反函数(图象关于直线y＝x对称)，则可直接选B.
(2)本题是关于图象的平移变换和对称变换，可求出解析式或利用几何图形直观推断．
答案：(1)B　(2)D
探究三
指数函数与对数函数关系的综合应用
根据指数函数与对数函数图象的关系，利用数形结合、等价转化的思想可较为简便地解决有关方程解的个数问题．
【典型例题3】
设方程2x＋x－3＝0的根为a，方程log2x＋x－3＝0的根为b，求a＋b的值．
思路分析：根据方程的特点，难以从正面下手，可转变方程形式，用数形结合的方法求解．
解：将方程整理得2x＝－x＋3，log2x＝－x＋3.
如图可知，a是指数函数y＝2x的图象与直线y＝－x＋3交点A的横坐标，b是对数函数y＝log2x的图象与直线y＝－x＋3交点B的横坐标．
由于函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，所以它们的图象关于直线y＝x对称，由题意可得出A，B两点也关于直线y＝x对称，于是A，B两点的坐标为A(a，b)，B(b，a)．则A，B都在直线y＝－x＋3上，
∴b＝－a＋3(A点坐标代入)，或a＝－b＋3(B点坐标代入)，故a＋b＝3.
【典型例题4】
已知函数f(x)＝3x，其反函数f－1(18)＝a＋2，函数g(x)＝3ax－4x的定义域为[0,1]．(1)求函数g(x)的解析式；
(2)求函数g(x)的值域．
思路分析：利用反函数的性质求出a，即可得g(x)的解析式，再利用配方法求g(x)的值域．
解：(1)∵f(x)＝3x，∴f－1(x)＝log3x.
又∵a＋2＝f－1(18)＝log318＝2＋log32，∴a＝log32，∴g(x)＝3x·log32－4x＝2x－4x.
(2)∵g(x)＝2x－4x＝－＋，又0≤x≤1，∴2x∈[1,2]，
∴当x＝0时，g(x)max＝0，当x＝1时，g(x)min＝－2，∴函数g(x)的值域为[－2,0]．
点评
通过本题可以看出互为反函数的函数关系是一个重要的知识点，利用配方法求函数的值域是求值域的一种重要方法，有时需结合换元法来进行，要注意函数的定义域对值域的影响．
探究四
易错辨析
易错点　对反函数定义理解不清而致误
【典型例题5】
已知函数y＝f(x＋1)与函数y＝g(x)的图象关于直线y＝x对称，且g(x)的图象过定点(1,2
013)，则y＝f－1(x＋1)的图象过定点__________．错解：∵g(x)的图象过定点(1,2
013)，
∴y＝f(x＋1)的图象过定点(2
013,1)．
∴y＝f－1(x＋1)的图象过定点(1,2
013)．
错因分析：误认为f(x＋1)与f－1(x＋1)互为反函数．
正解：(0,2
014)
解析：∵g(x)的图象过定点(1,2
013)，
∴f(x＋1)的图象过定点(2
013,1)．又∵f(x)的图象可以看作由f(x＋1)的图象向右平移一个单位长度得到的，
∴f(x)过定点(2
014,1)．
又∵f(x)与f－1(x)互为反函数，
∴f－1(x)的图象过定点(1,2
014)．
再结合f－1(x)与f－1(x＋1)的关系可知，
f－1(x＋1)的图象过定点(0,2
014)．