2016-2017学年高一数学人教B版必修1学案（课堂探究 ）：3.3幂函数

课堂探究
探究一
幂函数的概念
1．幂函数的判断方法
(1)幂函数同指数函数、对数函数一样，也是基本初等函数，同样也是一种“形式定义”的函数，也就是说必须完全具备形如y＝xα(α∈R)的函数才是幂函数．
(2)如果函数以根式的形式给出，则要注意对根式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断．
2．待定系数法求幂函数解析式的方法
若已知待求函数是幂函数，则可根据待定系数法，设函数为f(x)＝xα，根据条件求出α.
【典型例题1】
(1)已知点M在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝x2
B．f(x)＝x－2
C．f(x)＝
D．f(x)＝
(2)下列函数中是幂函数的为__________．
①y＝；②y＝2x2；③y＝；
④y＝x2＋x；⑤y＝－x3.
解析：(1)设幂函数的解析式为y＝xα，则3＝，
∴α＝－2.∴y＝x－2.
(2)①③的底数是变量，指数是常数，且系数为1，因此①③是幂函数；②中x2的系数为2，因此不是幂函数；④是由幂函数复合而成的函数，因此不是幂函数；⑤不符合幂函数中xα前的系数为1，因此不是幂函数．
答案：(1)B　(2)①③
探究二
比较大小
比较幂形式的两个数大小的常用方法：1．若能化为同指数，则用幂函数的单调性．
2．若能化为同底数，则用指数函数的单调性．
3．若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为中间值来比较大小．【典型例题2】
比较下列各组数的大小：
(1)，..
(2)(－1.2)3，(－1.25)3.
(3)5.25－1,5.26－1,5.26－2.
(4)0.53,30.5，log30.5.
思路分析：(1)借助函数y＝；(2)借助函数y＝x3；(3)借助函数y＝5.26x和y＝x－1；(4)利用中间值法．
解：(1)∵y＝在[0，＋∞)上是增函数，1.5<1.7，
∴<.
(2)∵y＝x3在R上是增函数，－1.2>－1.25，
∴(－1.2)3>(－1.25)3.
(3)∵y＝x－1在(0，＋∞)上是减函数，5.25<5.26，
∴5.25－1>5.26－1.
∵y＝5.26x在R上是增函数，－1>－2.
∴5.26－1>5.26－2.
综上，5.25－1>5.26－1>5.26－2.
(4)∵0<0.53<1,30.5>1，log30.5<0，
∴log30.5<0.53<30.5.
探究三
幂函数的图象
画图象时，一般先画第一象限内的图象，再结合函数性质补全图象，幂函数的图象与幂指数间有如下规律：
1．指数大于1，在第一象限的图象，类似于y＝x2的图象；2．指数等于1，在第一象限为上升的射线；
3．指数大于0小于1，在第一象限的图象，类似于y＝的图象；
4．指数等于0，在第一象限为水平的射线；
5．指数小于0，在第一象限类似于y＝x－1的图象．
【典型例题3】
如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则(　　)
A．n<0，m>1
B．n<0C．m>n>1
D．n>m>1解析：由幂函数的图象及性质可知，在第一象限内，若幂指数大于零，则函数为增函数；若幂指数小于零，则函数为减函数，故m>0，n<0.又由y＝xm的图象与直线y＝x比较，得0答案：B
探究四
幂函数性质的综合应用
对于与幂函数有关的综合性问题，一般涉及奇偶性与单调性问题，解决此类问题可分两步走：一是利用单调性来弄清指数的正负，二是利用奇偶性来确定幂函数的图象．
【典型例题4】
已知幂函数f(x)＝xm2－m－2(m∈Z)是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，求函数f(x)的解析式．
思路分析：先利用f(x)在(0，＋∞)上为减函数求出m的范围，再用代入检验的方法来验证是否为偶函数．
解：∵f(x)＝xm2－m－2(m∈Z)是偶函数，
∴m2－m－2为偶数．
又∵f(x)＝xm2－m－2(m∈Z)在(0，＋∞)上是减函数，
∴m2－m－2<0，即－1∵m∈Z，∴m＝0或m＝1.
当m＝0时，m2－m－2＝－2，－2为偶数，
当m＝1时，m2－m－2＝－2，－2为偶数．
∴f(x)的解析式为f(x)＝x－2.
点评
本题要先充分利用函数为减函数的性质，这正是此问题的切入点，如果先选用偶函数这一性质，将不能准确快速地得出m的值．
探究五
易错辨析
易错点　因把函数看成定义域上的减函数而致误【典型例题5】
若<，试求a的取值范围．
错解：∵函数y＝是减函数，
∴a＋1>3－2a.∴a>，
即a的取值范围是.
错因分析：误认为y＝是R上的减函数，实质是y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)内均是减函数，而没有整体定义域上为减函数的性质．
正解：对于<，可分三种情况讨论．
①a＋1和3－2a都在(－∞，0)内，此时方程组无解；
②a＋1和3－2a都在(0，＋∞)内，解得③若a＋1和3－2a不在同一单调区间内，则有解得a<－1.
综上可知，a的取值范围为∪(－∞，－1)．
点评
通过本题，我们必须牢记常见幂函数的主要性质和图象，并且还说明了函数的单调性是针对某一确定区间而言的，不能随便取并集．