2016-2017学年高一数学人教B版必修1学案（课堂探究 ）：3.4函数的应用（Ⅱ）
文档属性
| 名称 | 2016-2017学年高一数学人教B版必修1学案（课堂探究 ）：3.4函数的应用（Ⅱ） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 126.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2017-05-17 14:52:16 | ||
图片预览
文档简介
课堂探究
探究一
指数函数模型
指数函数y＝ax(a>1)经复合可以得到指数型函数，指数型函数的函数值变化较快，例如，生活中接触的储蓄问题，也就是增长率问题，就是指数型函数．指数型函数函数值的增长速度随底数不同而不同．
【典型例题1】
某公司预投资100万元，有两种投资方案可供选择：方案一：年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；方案二：年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)
思路分析：这是一个单利和复利所获得收益多少的比较问题．可先按单利和复利计算5年后的本息和分别是多少，再通过比较作答．
解：本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)．
本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是
100×(1＋9%)5≈153.86(万元)．
由此可见，方案二更有利，5年后多得利息约3.86万元．
探究二
对数函数模型
对数函数y＝logax(x>0，a>1)经复合可以得到对数型函数，其函数值变化比较缓慢．
直接以对数型函数作为模型的应用问题不是很多，但我们知道，对数运算实际上是求指数的运算，因此在指数函数模型中，也常用对数计算．
【典型例题2】
20世纪30年代，查尔斯·里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg
A－lg
A0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是标准地震的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差)．
(1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪测得的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级(精确到0.1)；
(2)5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍(精确到1)．
解：(1)依题意知M＝lg
20－lg
0.001＝lg
＝lg
20
000＝lg
2＋lg
104＝4＋lg
2≈4.3.
因此这是一次里氏约4.3级的地震．
(2)由M＝lg
A－lg
A0，可知M＝lg，所以＝10M.
所以A＝A0·10M.
当M＝7.6时，地震的最大振幅为A1＝A0·107.6；
当M＝5时，地震的最大振幅为A2＝A0·105.
所以两次地震的最大振幅之比是＝＝107.6－5＝102.6≈398，
所以7.6级地震的最大振幅大约是5级地震最大振幅的398倍．探究三
幂函数模型
幂函数y＝xα(α>0)经过复合可以得到幂函数型函数，其增长变化率也较快．
【典型例题3】
2014年某地官方数字显示：该地区人口约有60万，但其人口总数在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？
以下数据供计算时使用：
真数N
1.010
1.015
1.017
1.310
2.000
对数lg
N
0.004
3
0.006
5
0.007
3
0.117
3
0.301
0
解：设每年人口平均增长率为x，n年前的人口数为y，则y·(1＋x)n＝60，则当n＝40时，y＝30，
即30(1＋x)40＝60.
∴(1＋x)40＝2，两边取对数，
则40lg(1＋x)＝lg
2，则lg(1＋x)＝≈0.007
526，
∴1＋x≈1.017，得x＝1.7%.
探究四
建立拟合函数模型
对于给出一组数据拟合函数模型的题目，应根据数据找出比较合理的函数模型．根据数据特点，可能有多种结果，因此用哪一个还需结合实情选择，总之建立拟合函数模型是一个不断优化的过程．
【典型例题4】
某工厂今年1,2,3月生产产品分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y(万件)与月份数x的关系，模拟函数可以选用二次函数或者函数y＝abx＋c(a≠0)，如果已知4月份的产量为1.37万件，问用以上哪一个函数模拟比较好？理由是什么？
思路分析：本题已给定两种供选择的函数模型，处理的关键就是根据已知数据求出模拟函数的具体表达式，然后分别用这两个所求的函数表达式来预测4月份的产量，看哪一个函数表达式的预测值与实际值比较接近．
解：设f(x)＝px2＋qx＋r(p≠0)．
由f(1)＝1，f(2)＝1.2，f(3)＝1.3，得
解得p＝－0.05，q＝0.35，r＝0.7.
∴f(x)＝－0.05x2＋0.35x＋0.7.∴f(4)＝1.3.
设g(x)＝abx＋c(a≠0)．
由g(1)＝1，g(2)＝1.2，g(3)＝1.3，得
解得a＝－0.8，b＝0.5，c＝1.4.
∴g(x)＝－0.8×0.5x＋1.4.∴g(4)＝1.35.
∵|1.3－1.37|＝0.07＞0.02＝|1.35－1.37|，
∴用y＝－0.8×0.5x＋1.4作模拟函数较好．
探究一
指数函数模型
指数函数y＝ax(a>1)经复合可以得到指数型函数，指数型函数的函数值变化较快，例如，生活中接触的储蓄问题，也就是增长率问题，就是指数型函数．指数型函数函数值的增长速度随底数不同而不同．
【典型例题1】
某公司预投资100万元，有两种投资方案可供选择：方案一：年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；方案二：年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)
思路分析：这是一个单利和复利所获得收益多少的比较问题．可先按单利和复利计算5年后的本息和分别是多少，再通过比较作答．
解：本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)．
本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是
100×(1＋9%)5≈153.86(万元)．
由此可见，方案二更有利，5年后多得利息约3.86万元．
探究二
对数函数模型
对数函数y＝logax(x>0，a>1)经复合可以得到对数型函数，其函数值变化比较缓慢．
直接以对数型函数作为模型的应用问题不是很多，但我们知道，对数运算实际上是求指数的运算，因此在指数函数模型中，也常用对数计算．
【典型例题2】
20世纪30年代，查尔斯·里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg
A－lg
A0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是标准地震的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差)．
(1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪测得的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级(精确到0.1)；
(2)5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍(精确到1)．
解：(1)依题意知M＝lg
20－lg
0.001＝lg
＝lg
20
000＝lg
2＋lg
104＝4＋lg
2≈4.3.
因此这是一次里氏约4.3级的地震．
(2)由M＝lg
A－lg
A0，可知M＝lg，所以＝10M.
所以A＝A0·10M.
当M＝7.6时，地震的最大振幅为A1＝A0·107.6；
当M＝5时，地震的最大振幅为A2＝A0·105.
所以两次地震的最大振幅之比是＝＝107.6－5＝102.6≈398，
所以7.6级地震的最大振幅大约是5级地震最大振幅的398倍．探究三
幂函数模型
幂函数y＝xα(α>0)经过复合可以得到幂函数型函数，其增长变化率也较快．
【典型例题3】
2014年某地官方数字显示：该地区人口约有60万，但其人口总数在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？
以下数据供计算时使用：
真数N
1.010
1.015
1.017
1.310
2.000
对数lg
N
0.004
3
0.006
5
0.007
3
0.117
3
0.301
0
解：设每年人口平均增长率为x，n年前的人口数为y，则y·(1＋x)n＝60，则当n＝40时，y＝30，
即30(1＋x)40＝60.
∴(1＋x)40＝2，两边取对数，
则40lg(1＋x)＝lg
2，则lg(1＋x)＝≈0.007
526，
∴1＋x≈1.017，得x＝1.7%.
探究四
建立拟合函数模型
对于给出一组数据拟合函数模型的题目，应根据数据找出比较合理的函数模型．根据数据特点，可能有多种结果，因此用哪一个还需结合实情选择，总之建立拟合函数模型是一个不断优化的过程．
【典型例题4】
某工厂今年1,2,3月生产产品分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y(万件)与月份数x的关系，模拟函数可以选用二次函数或者函数y＝abx＋c(a≠0)，如果已知4月份的产量为1.37万件，问用以上哪一个函数模拟比较好？理由是什么？
思路分析：本题已给定两种供选择的函数模型，处理的关键就是根据已知数据求出模拟函数的具体表达式，然后分别用这两个所求的函数表达式来预测4月份的产量，看哪一个函数表达式的预测值与实际值比较接近．
解：设f(x)＝px2＋qx＋r(p≠0)．
由f(1)＝1，f(2)＝1.2，f(3)＝1.3，得
解得p＝－0.05，q＝0.35，r＝0.7.
∴f(x)＝－0.05x2＋0.35x＋0.7.∴f(4)＝1.3.
设g(x)＝abx＋c(a≠0)．
由g(1)＝1，g(2)＝1.2，g(3)＝1.3，得
解得a＝－0.8，b＝0.5，c＝1.4.
∴g(x)＝－0.8×0.5x＋1.4.∴g(4)＝1.35.
∵|1.3－1.37|＝0.07＞0.02＝|1.35－1.37|，
∴用y＝－0.8×0.5x＋1.4作模拟函数较好．