2016-2017学年高一数学人教B版必修1学案（课堂探究 ）：3.2.2对数函数

课堂探究
探究一
求对数函数的定义域
求对数函数定义域的步骤
【典型例题1】(1)函数f(x)＝＋ln(4－x)的定义域为(　　)
A.[－1,4)
B．(－1，＋∞)
C．(－1,4)
D．(4，＋∞)
(2)函数y＝loga
(a>0，a≠1)的定义域为__________．
解析：(1)由题意可知解得x∈[－1,4)，故选A.
(2)由题意可得>0，又∵偶次根号下非负，∴x－1>0，即x>1.
∴函数y＝loga
(a>0，a≠1)的定义域为(1，＋∞)．
答案：(1)A　(2)(1，＋∞)
探究二
对数函数的图象
对数函数图象的变化规律：
1．对于几个底数都大于1的对数函数，底数越大，函数图象向右的方向越接近x轴；对于几个底数都大于0且小于1的对数函数，底数越大，函数图象向右的方向越远离x轴．以上规律可总结成x>1时“底大图低”．实际上，作出直线y＝1，它与各图象交点的横坐标即为各函数的底数的大小，如图所示．
2．当a>1时，图象向下无限接近于y轴；当03．牢记特殊点：对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象经过(1,0)，(a,1)，.
【典型例题2】
函数y＝log2x，y＝log5x，y＝lg
x的图象如图所示．
(1)说明哪个函数对应于哪个图象，并解释为什么；
(2)在如图的平面直角坐标系中分别画出y＝，y＝，y＝的图象；
(3)从(2)的图中你发现了什么？
解：(1)①对应函数y＝lg
x，②对应函数y＝log5x，③对应函数y＝log2x．这是因为当底数全大于1时，在x＝1时右侧，底数越大的函数图象越靠近x轴．
(2)在题图中的平面直角坐标系中分别画出y＝，y＝，y＝的图象如图所示．
(3)从(2)的图中可以发现：y＝lg
x与y＝，y＝log5x与y＝，y＝log2x与y＝分别关于x轴对称．
探究三
利用对数函数的性质比较大小
1．如果两个对数的底数相同，则由对数函数的单调性(当底数a>1时，函数为增函数；当底数03．如果两个对数的底数不同而真数相同，如y1＝loga1x与y2＝loga2x的大小比较(a1>0，a1≠1，a2>0，a2≠1)，
(1)当a1>a2>1时，根据对数函数图象的变化规律知当x>1时，y1y2.(2)当01时，y1y2.
对于含有参数的两个对数值的大小比较，要注意根据对数的底数是否大于1进行分类讨论．
【典型例题3】比较大小：
(1)log0.27与log0.29；
(2)log35与log65；
(3)(lg
m)1.9与(lg
m)2.1(m＞1)；
(4)log85与lg
4.
解：(1)log0.27和log0.29可看作是函数y＝log0.2x，当x＝7和x＝9时对应的两个函数值，由y＝log0.2x在(0，＋∞)上是减函数，得log0.27＞log0.29.
(2)函数y＝log3x(x＞1)的图象在函数y＝log6x(x＞1)的图象的上方，故log35＞log65.
(3)把lg
m看作指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的底数，要比较两数的大小，关键是比较底数lg
m与1的关系．若lg
m＞1，即m＞10，则y＝(lg
m)x在R上是增函数，故(lg
m)1.9＜(lg
m)2.1；若0＜lg
m＜1，即1＜m＜10，则y＝(lg
m)x在R上是减函数，故(lg
m)1.9＞(lg
m)2.1；若lg
m＝1，即m＝10，则(lg
m)1.9＝(lg
m)2.1.
(4)因为底数8,10均大于1，且10＞8，
所以log85＞lg
5＞lg
4，即log85＞lg
4.点评
本题代表了几个典型的题型．其中题(1)是直接利用对数函数的单调性；题(2)是对数函数的底数变化规律的应用；题(3)是指数函数的单调性及对数函数性质的综合运用；题(4)是中间量的运用．当两个对数的底数和真数都不相同时，需要找出中间量来“搭桥”，再利用对数函数的增减性．常用的中间量有0,1等，可通过估算加以选择．
探究四
求复合函数的单调区间
求复合函数的单调区间的步骤：1．求出函数的定义域；
2．将复合函数分解为基本初等函数；
3．分别确定各个基本初等函数的单调性；
4．根据复合函数原理求出复合函数的单调区间．
【典型例题4】求下列函数的单调区间：
(1)y＝log0.2(x2－2x＋2)；
(2)y＝loga(a－ax)．
思路分析：利用复合函数法确定其单调区间即可．
解：(1)令u＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1>0.
当x≥1时，u＝x2－2x＋2是增函数，
又y＝log0.2u是减函数，
所以y＝log0.2(x2－2x＋2)在[1，＋∞)上是减函数．
同理可得函数y＝log0.2(x2－2x＋2)的单调增区间为(－∞，1]．故函数y＝log0.2(x2－2x＋2)的单调增区间为(－∞，1]，单调减区间为[1，＋∞)．
(2)①当a>1时，y＝logat是增函数，且t＝a－ax是减函数，而a－ax>0，即ax所以y＝loga(a－ax)在(－∞，1)上是减函数．
②当00，即ax所以y＝loga(a－ax)在(－∞，1)上是增函数．
综上所述，当a>1时，函数y＝loga(a－ax)在(－∞，1)上是减函数；当0探究五
易错辨析
易错点　忽视真数的取值范围而致误
【典型例题5】解不等式loga(2x－5)>loga(x－1)．
错解一：由2x－5>x－1，得x>4，故原不等式的解集为{x|x>4}．
错解二：由
解得x>4，
故原不等式的解集为{x|x>4}．
错解三：原不等式可等价变形为
解得x>4.
所以当a>1时，原不等式的解集为{x|x>4}；
当0错因分析：错解一中没考虑真数的取值范围，也没有对a进行分类讨论；错解二中没有对a进行分类讨论；错解三中出现逻辑性错误，运算变形的顺序出现了问题，即开始默认了a>1对原不等式进行了转化是不正确的，虽然后来对a又进行了讨论，看起来结果正确．
正解：当a>1时，原不等式等价于
解得x>4.
当0解得综上，当a>1时，原不等式的解集为{x|x>4}；
当0