(共21张PPT)
十七世纪法国数学家笛卡尔有一次生病卧床，他看见屋顶上的一只蜘蛛顺着左右爬行，笛卡尔看到蜘蛛的“表演”猛的灵机一动.他想，可以把蜘蛛看成一个点，它可以上、下、左、右运动，能不能知道蜘蛛的位置用一组数确定下来呢？
在蜘蛛爬行的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系，直角坐标系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁.在坐标系下几何图形（形）和方程（数）建立了联系.笛卡尔坐标系起到了桥梁和纽带的作用，而我们可以把图形化成方程来研究，也可以用图象来研究方程.
这节课我们就来研究二元一次方程（组）与一次函数（形）的关系.
x+y=5这是什么？
一次函数
这是怎么回事？
二元一次
方程
方程x+y=5可以转化为
任意一个二元一次方程都可以转化成y=kx+b的形式,所以每个二元一次方程都对应一个一次函数.
归纳:
思考：是不是任意的二元一次方程都能进行这样的转换呢？
y=5-x.
想一想：
无数个
(1)方程x+y=5的解有多少个？写出其中几个.
(2)在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点,
它们都在函数y=5-x上吗
x=0,
y=5;
x=3,
y=2.
x=2,
y=3;
x=1,
y=4;
都在
（3）在一次函数y=5-x的图象上任取一点，
它的坐标适合方程x+y=5吗？
（4）以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成
的图象与一次函数y=-x+5的图象相同吗？
适合
相同
方程x+y=5的解有无数个.以方程x+y=5的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=5-x的图象相同，是同一条直线.
x+y=5与
y=5-x表示的关系相同.
一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成
的图像与相应的一次函数的图象相同，是一条直线.
小结：
在一次函数
y=kx+b的图象上
点(
s
,
t
)
x
=
s
y
=
t
方程
ax+by=c
的解
从形到数
从数到形
每个二元一次方程都可转化为一次函数
1.方程x+y=4的解有________个，以方程x+y=4的解为坐标的点组成一次函数________的图象.
2.一次函数y=3x+7的图象与y轴的交点坐标是
，
若该点的坐标是二元一次方程2x+by=14的解，则b=________.
小试身手
无数
y=-x+4
(0,7)
2
x+y=5
y=5-x
2x-y=1
y=2x-1
x=0,
y=5;
x=5,
y=0.
x=0,
y=-1;
x=0.5,
y=0.
O
4
3
1
2
y
x
2
3
4
5
1
-1
-2
-4
-3
-4
-3
-2
-1
-5
y=2x-1
y=5-x
P(2,3)
x+y=5,
2x-y=1
x=2,
y=3.
的解
做一做
(2)交点坐标(2,3)与方程组
的解有什么关系？
｛
x+y=5,
2x-y=1
(1)
在同一直角坐标系中分别作一次函数y=5-x和y=2x-1的图象,这两个图象有交点吗
在同一直角坐标系中一次函数y=5-x和y=2x-1的图象有交点，交点坐标是（2，3）.
交点坐标(2,3)是方程组
的解.
｛
x+y=5,
2x-y=1
方程组
的解是
｛
x=2,
y=3.
｛
x+y=5,
2x-y=1
一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；
解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线的交点的坐标.
O
4
3
1
2
y
x
2
3
4
5
1
-1
-2
-4
-3
-4
-3
-2
-1
-5
P(2,2)
y=2x-2
x=2,
y=2.
所以方程组的解为:
解:
由（1）得
进而作出
的图象.
x-2y=-2（1）
2x-y=2
（2）
例1
用图象法解二元一次方程组
进而作出y
=2x-2的图象.
由（2）得
y=2x-2.
x=0,
y=-2;
x=1,
y=0.
由此可得
由此可得
x=0,
y=1;
x=-2,
y=0.
（1）对应关系
①将方程组中各方程化为y=kx+b的形式；
②画出各个一次函数的图象；
③由交点坐标得出方程组的解．
二元一次方程组的解
两个一次函数图像的交点坐标
两个一次函数
(2)图象法解方程组的步骤：
小结：
1.一次函数y=5-x与y=2x-1图象的交点为(2,3),
则方程组
的解为
.
（2，2）
2.若二元一次方程组
的解为
则函数
与
的图象的交点坐标为
.
x=2
y=3
小试身手
3．根据下列图象，你能说出是哪些方程组的解 这些解是什么
1
1
x
y
0
-2
1
x
y
0
x=1,
y=1.
x=-2,
y=1.
在同一直角坐标系内，一次函数y=x+1和y=x-2的图像有怎样的
位置关系？方程组
解的情况如何？你发现了什么？
x-y=-1，
x-y=2
O
4
3
1
2
y
x
2
3
4
5
1
-1
-2
-4
-3
-4
-3
-2
-1
-5
y=x+1
y=x-2
想一想
两条直线平行
对应的方程组无解.
发现：若一次函数的图象平行，则对应的二元一次方程组无解.
若一次函数的图象相交，则对应的二元一次方程组有一个解.
0
无数
一
1.方程组
有
个解；
2.方程组
有
个解；
3.方程组
有
个解；
从函数角度解释：
小试身手
小结
拓展
（1)
二元一次方程与一次函数的区别与联系
二元一次方程的解是一次函数上点的坐标;
一次函数上每一个点的坐标就是二元一次方程的一组解.
（2)
二元一次方程组的解法总共学习了哪几种
加减法;代入法;图象法.
（3)
方法归纳
用图象法解二元一次方程组：
优点:方法简便,形象直观；体现了数形结合思想.
不足:一般情况下求出的是近似数；要想精确还要用代数方法，进行细致计算.
通过本节课的学习：你们有哪些收获呢？
1.二元一次方程y+x=8可以转化为y=
.
2.一次函数y=3x-5与y=2x+b图像交点为P（1，-2），试确定方程组的解和b的值.
3.若一次函数y=-x+a和y=x+b的图象交点为
(m,8)，则a+b=
.
-x+8
b=-4
x=1,
y=-2.
16
达标测试
4.如果直线y=2x+m和y=x+n的交点是（１、３）则m=____,n=______.
5.已知：直线5x+by=1,
2x+y=５,ax+5y=4,2x–3y=１
相交于一点，则a=_____,b=______.
9
1
2
1
2
必做题：习题5.6
第2、3题．
选做题：习题5.6
第4题．
作业：课题：5.6
二元一次方程和一次函数
课型：新授课
年级：八年级
教学目标
1.初步理解二元一次方程和一次函数的关系；
2.掌握二元一次方程组和对应的两条直线之间的关系；
3.掌握二元一次方程组的图像解法．
教学重点与难点
重点：掌握二元一次方程和一次函数的关系以及二元一次方程组和对应的两条直线的关系．
难点：数形结合和数学转化的思想意识．
课前准备：三角板、多媒体投影；铅笔、直尺、练习本、坐标纸.
教学过程：
一、创设问题，引入新课
【知识链接】蜘蛛给笛卡尔的启示：
十七世纪法国数学家笛卡尔有一次生病卧床，他看见屋顶上的一只蜘蛛顺着左右爬行，笛卡尔看到蜘蛛的“表演”猛的灵机一动.他想，可以把蜘蛛看成一个点，它可以上、下、左、右运动，能不能知道蜘蛛的位置用一组数确定下来呢？
在蜘蛛爬行的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系，直角坐标系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁.在坐标系下几何图形（形）和方程（数）建立了联系.笛卡尔坐标系起到了桥梁和纽带的作用，而我们可以把图形化成方程来研究，也可以用图象来研究方程.
这节课我们就来研究二元一次方程（组）与一次函数（形）的关系.师板书课题：5.6二元一次方程和一次函数.
【处理方式】多媒体展示.
【设计意图】以蜘蛛和笛卡尔的小故事引入，引起学生的学习兴趣和探索欲望.感受数学来源于生活，服务于生活，自然引入新课．
二、自主交流、合作探究
【合作探究一】探究一次函数与二元一次方程的关系：
【问题情境】y=-x+5这是什么？
师归纳：任意一个二元一次方程都可以转化成y=kx+b的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数．
【呈现问题】：
（1）方程x+y=5的解有多少个？写出其中的几个.
（2）在直角坐标系中描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y=5-x的图象上吗？
（3）在一次函数y=5-x的图象上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5吗？
（4）以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=5-x的图象相同吗？
(5)方程x+y=5与函数y=5-x有何关系？
【处理方式】学生分小组进行讨论，小组之间交流，教师巡视、指导学生，等学生完成后，请各小组学生分别独立作答.
【设计意图】通过设置问题情景，让学生感受方程x+y=5和一次函数y=相互转化，启发引导学生总结二元一次方程与一次函数的对应关系.
【知识提炼】以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上．反过来，一次函数图象上的点的坐标都适合相应的二元一次方程．即:
【小试身手】
１．方程x+y=4的解有________个，以方程x+y=4的解为坐标的点组成一次函数________的图象.
一次函数y＝3x＋7的图象与y轴的交点坐标是________，若该点的横纵坐标是二元一次方程2x＋by＝18的解，则b＝________.
【处理方式】让学生自己做题.教师巡视，适时点拨．学生完成后及时点评，借助多媒体展示学生出现的问题进行矫正．
【设计意图】让学生通过题目，感受一次函数和二元一次方程之间的联系和转化.
【合作探究二】做一做：
【呈现问题】探究一次函数与二元一次方程组的关系：
（1）把下列二元一次方程改写成形如y=kx+b的一次函数的形式．已知x+y=5，改写为y=_____．已知2x-y=1，改写为y=______．
（2）在同一坐标系内作出这两个函数的图象．.
（3）观察图象，指出它们的交点坐标．
（4）解方程组：
（5）观察这个方程组的解与这两个函数图象的交点坐标之间有何关系？
（6）根据以上过程，你有什么发现？
【知识提炼】每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.
【小试身手】
1．一次函数y=5-x与y=2x-1图象的交点为(2,3),则方程组的解为
.
2.若二元一次方程组的解为则函数与的图象的交点坐标为
【处理方式】让学生自己做题.教师巡视，适时点拨．学生完成后及时点评，借助多媒体展示学生出现的问题进行矫正．
【设计意图】通过自主探索，使学生初步体会“数”（二元一次方程）与“形”（两条直线）之间的对应关系，为求两条直线的交点坐标打下基础；由学生自主学习，十分自然地建立了数形结合的意识，学生初步感受到了“数”的问题可以转化为“形”来处理，反之“形”的问题可以转化成“数”来处理，培养了学生的创新意识和变式能力．
三、实际应用，升华新知
1．例题解析
例1
用作图象的方法解方程组:
【思路导航】上述方程移项变形转化为两个一次函数和，在同一直角坐标系内分别作出这两个函数的图像，求二元一次方程组的解可以转化为求两条直线的交点的横纵坐标；
解：由可得.
同理，由可得
在同一直角坐标系中作出一次函数的图象l1和的图象l2，如右图所示，观察图象得l1与l2的交点为（2，-2），
所以方程组的解为
2．知识探究
同学们你从本题中感悟到什么？
师生共同总结：原来我们解二元一次方程组除了代入法和加减法外还可以用图象法，那么用作图法来解方程组的步骤如下：
（1）把二元一次方程化成一次函数的形式
（2）在直角坐标系中画出两个一次函数的图像，并标出交点.
（3）交点坐标就是方程组的解.
【处理方式】让学生自己动脑总结，记忆深刻.老师适时补充完整.
【设计意图】设计本例进一步揭示“数”的问题可以转化成“形”来处理，但所求解为近似解．充分展示了数形结合的思想方法，进一步培养了学生数形结合的意识和能力，充分展示了方程与函数的相互转化.
3．想一想：在同一直角坐标系内，一次函数y=x+1和y=x-2的图像有怎样的位置关系？方程组
解的情况如何？你发现了什么？
【处理方式】让学生自己观察讨论回答.
老师适时补充完整.
【设计意图】设计本例让学生体会一次函数和对应方程之间的关系.发现：一次函数的图象平行对应的二元一次方程组无解.一次函数的图象相交对应的二元一次方程组有一个解.
4、学以致用
从函数的角度解释
（1）方程组的解有几个？
（2）方程组的解有几个？
（3）方程组的解有几个？
【设计意图】加深了两条直线交点的坐标就是对应的函数表达式所组成的方程组的解的印象，培养了学生的计算能力和数学转化的能力，使学生进一步领悟到应用数形结合的思想方法解题的重要性．
四、诱导反思，归纳总结
通过本节课的学习：你们有哪些收获呢？
【处理方式】学生归纳总结，教师补充升华.
【设计意图】旨在使本节课的知识点系统化、结构化，只有结构化的知识才能形成能力；使学生进一步明确学什么，学了有什么用．充分展示知识的发生、发展及应用过程．对同学的回答，教师给予点评，对回答得好的学生教师给予表扬、鼓励．
五、达标测试，反馈矫正
1.二元一次方程y+x=8可以转化为y=
2、一次函数y=3x-5与y=2x+b图像交点为P（1，-2），试确定方程组的解和b的值.
3、若一次函数y=-x+a和y=x+b的图象交点为
(m,8)，则a+b=
.
4、如果直线y=2x+m和y=x+n的交点是（１、３）则m=____、n=______
5、已知：直线5x+by=1,2x+y=５,ax+5y=4,2x–3y=１相交于一点，则a=_____，b=______。
答案：1.-x+8
2.
3.16
4.1，2
5.-，9.
【处理方式】学生先做，老师矫正.
【设计意图】通过检测纠错，提高认识知识的效率，使学生能运用所学知识和技能解决问题
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"欢迎登陆21世纪教育网 )，进一步加深对本课知识的理解，及时检测学生对本节知识的掌握情况，同时也为学生提供充分发挥创造力的空间，更大地调动学生的积极性，巩固所学的知识.
六、布置作业，落实目标
必做题：习题5.6
第2、3题．
选做题：习题5.6
第4题．
【设计意图】对本节的认知技能进行分层训练．以满足学生多样化的学习需要，让“不同的人在数学上得到不同的发展”．
板书设计：
§5.6
二元一次方程与一次函数
一、合作探究：1．探究12.合作探究2
二、例题解析：
三、课堂练习：四、课时小结：
从数到形
点(
s，t)
x
=
s
y
=
t
方程ax+by=c的解
在一次函数y=kx+b的图象上
从形到数
求二元一次方程组的解
x为何值时，两个函数的值相等
从数的角度看：
从形的角度看：
