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第五章
二元一次方程组
5.7
用二元一次方程组确定一次函数表达式
回顾与思考
二元一次方程组与一次函数有何联系
二元一次方程组的解是它们对应的两个一次函数图象的交点坐标；反之，两个一次函数图象的交点也是它们所对应的二元一次方程组的解．
二元一次方程组有哪些解法？
消元法
正因如此，方程问题可以通过函数知识来解决，反之，函数问题也可以通过方程知识来解决.
图象法
是一种代数方法
A，
B两地相距100千米，甲、乙两人骑自行车分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离
s(千米)都是骑车时间
t
(时)的一次函数.1小时后乙距A地80千米;
2小时后甲距A地30千米.
问：经过多长时间两人相遇
议一议：
直线型图表示
B
乙
甲
A
80千米
2时,30千米
1时
你明白他的想法吗？用他的方法做一做
2.8
图象表示
(A)
0
4
1
2
3
t/时
s/千米
120
100
80
60
40
20
(B)
可以分别作出两人s
与t
之间的关系图象，找
出交点的横坐标就行了
小明
小彬
1
时后乙距A地
80千米,即乙的速度是20千米/时.
2
时后甲距A
地
30千米,故甲的速度是
15千米/时.
你明白他的想法吗？用他的方法做一做!
设同时出发后t小时相遇，则15t+20t=100.
t=
答：经过
小时两人相遇.
对于乙，s
是t的一次函数，可设
s=kt+b.
当t=0时，s=100；当t=1时，s=80.将它们分别代入s=kt+b中，可以求出k，b的值，即可求出乙
s
与t
之间的函数表达式.
你能求出甲的表达式吗？
小颖
你明白她的想法吗？用她的方法做一做!
解：设s=kt+b.
把（0，100）、（1，80）分别代入s=kt+b
，得
解得
所以
同理可得
s=15t.
由此，得方程组
解得
用一元一次方程的方法可以解决问题
用图象法可以解决问题
用方程组的方法可以解决问题
小明
小彬
小颖
用作图象的方法可以直观地获得问题的结果，但有时却难以准确，为了获得准确的结果，我们一般用代数方法.
在以上的解题过程中你受到什么启发？
例1
某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x（kg）的一次函数．现知李明带了60
kg的行李，交了行李费5元；张华带了90
kg的行李，交了行李费10元．
（1）写出y与x之间的函数表达式；
（2）旅客最多可免费携带多少千克的行李？
解：（1）设
所以
（2）当x=30时，y=0．
所以,旅客最多可免费携带30千克的行李.
根据题意，得
①
②
②
-
①，得
30k=5，
所以
将
代入①，得
b=-5.
随堂练习
1.下图中的两直线l1
，l2
的交点坐标可以看作方程组
的解.
1
2
3
4
x
2
3
4
1
-1
y
0
-1
l1
l2
2.在弹性限度内，弹簧的长度y（cm）是所挂物体质量x（kg）的一次函数.当所挂物体的质量为1kg时，弹簧长15厘米；当所挂物体的质量为3
kg时，弹簧长16
cm.写出
y
与
x
之间的关系式，并求出所挂物体的质量为4
kg时弹簧的长度.
3.我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶.边防局迅速派出快艇B追赶，如图所示，l1,
l2分别表示两船相对于海岸的距离s（海里)与追赶时间t（分）之间的关系，当时间t等于多少分钟时，我边防快艇B能够追赶上A
这节课你有什么收获？
利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤：
1.用含字母的系数设出一次函数的表达式：
；
2.将已知条件代入上述表达式中得k，b的二元
一次方程组；
3.解这个二元一次方程组得k，b，进而得到一次函数的表达式.
当堂检测
1.某区中学生足球赛共赛8轮（即每队均需参赛8场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.在这次足球联赛中，猛虎队踢平的场数是所负场数的2倍，共得17分，试问该队胜了几场？（要求用图象法求解）
2.已知方程组
所对应的一次函数的图
象表示如图，试求出a-b的值.
作业：
小文家与学校相距1000米．某天小文上学时忘了带一本书，走了一段时间才想起，于是返回家拿书，然后加快速度赶到学校．下图是小文与家的距离y（米）关于时间x（分）的函数图象．请你根据图象中给出的信息，解答下列问题：
（1）小文走了多远才返回家拿书？
（2）求线段AB所在直线的函数解析式；
（3）当x=8分时，求小文与家的距离．课题：5.7用二元一次方程组确定一次函数表达式
课型：新授课
年级：八年级
教学目标：
1.进一步理解二元一次方程与一次函数之间的联系，体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化．
2.了解待定系数法，会用二元一次方程组确定一次函数的表达式．
3.进一步理解方程与函数的联系.
4.在对作图像解法与代数解法的对比中,体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化.
5.通过对本节课的探究，在探究中培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力.
教学重、难点：
重点：利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.
难点：建立数形结合的思想．
课前准备：多媒体课件．
教学过程：
一、设置情境，复习引入
请看合作探究一（多媒体展示课件）：
问题1．二元一次方程组与一次函数有何联系
答：二元一次方程组的解是它们对应的两个一次函数图象的交点坐标．
另一方面，两个一次函数图象的交点也是它们所对应的二元一次方程组的解．
正因如此，方程问题可以通过函数知识来解决，反之，函数问题也可以通过方程知识来解决．
问题2．二元一次方程组有哪些解法？
答：代入消元法
加减消元法
图象法
消元法
处理方式：由学生口头回答完成．教师给予引导．对于问题二对学生回答进行总结．两个同学的回答，一个从如何消元回答的，另一个从方程组的解法回答的，两方面结合起来那就很全面了．
设计意图：回忆旧知，为本节课学习新的知识做铺垫：通过(1)问，体会函数和方程之间的联系，为后面利用二元一次方程组确定一次函数的表达式埋下伏笔．通过(2)问，让学生感受解决问题的方法的多样性和知识之间是互相联系的，为后面利用作图像方法和代数方法解决议一议的问题作铺垫．
二、设计情境，导入新课
请你看合作探究二（多媒体展示课件）（教材议一议）：
A，B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离s（千米）都是骑车时间t（时）的一次函数．1小时后乙距离A地80千米；2小时后甲距离A地30千米.问经过多长时间两人将相遇？
直线型图表示
A，B
两地相距100千米，甲、乙两人骑自行车分别从A，B
两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离s(千米)都是骑车时间t(时)的一次函数．
1小时后乙距A地80千，
2小时后甲距A地30千米．
问：经过多长时间两人相遇
（多媒体展示课件）（小明）可以分别作出两人,s与t之间的关系图象，找出交点的横坐标就行了！
你明白他的想法吗？用他的方法做一做!
（实物投影仪展示）
（多媒体展示课件）（小彬）1
时后乙距A地80千米,即乙的速度是
20千米/时,
2
时后甲距A
地
30千米，故甲的速度是
15千米/时．
由此可求出甲、乙两人的速度和……
你明白他的想法吗？用他的方法做一做!
解：设同时出发t小时相遇，则
15t＋20t=100．
解得t=．
答：经过小时两人相遇．
（多媒体展示课件）
（小颖）对于乙，s是t的一次函数，可设s=kt+b．
当t=0时，s=100；
当t=1时，s=80．将它们分别代入s=kt+b中，可以求出k，b的值，也即可以求出乙
s
与t
之间的函数表达式.
同样可求出甲s与t之间的函数表达式.
再联立这两个表达式，求解方程组就行了．
你明白他的想法吗？
用他的方法做一做!
解：设s=kt+b．则把（0，100）、（1，80）代入，得
解得
所以s=100-20t
同理可得
s=15t．
由此，得方程组
解得
处理方式：对于相遇问题，引导学生运用多种方法解决．三个学生运用了三种不同的方法分别是图像法，
列一元一次方程的方法，列二元一次方程组的方法，三种方法思考角度虽然不同，但是得到的答案是一致的，通过这三名同学的回答，总结如何利用二元一次方程组去解决实际问题，并且让学生认识到，三种方法是相通的．
【设计意图】通过实际问题情景，进一步加强函数与方程的联系，让学生在多种方法解决问题的思考和比较中体会作图像方法与代数方法各自的特点，为讲解待定系数法确定一次函数的解析式做好铺垫.同时理解知识之间有着广泛的联系.
通过“小明的方法求出的结果准确吗 ”自然过渡到本节课的主要内容．
三、典型例题，探究新知
问题:在以上的解题过程中你受到什么启发？
答：用作图象的方法可以直观地获得问题的结果，但有时却难以准确，为了获得准确的结果，我们一般用代数方法.
例1
某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x(千克)的一次函数.现知李明带了60千克的行李，交了行李费5元，张华带了90千克的行李，交了行李费10元．
（1）写出y与x之间的函数表达式；
（2）旅客最多可免费携带多少千克的行李？
板书过程：
解：（1）设，
根据题意，得
②
-
①，得
解得
将代入①，得.
所以
（2）当x=30时，y=0．
所以旅客最多可免费携带30千克的行李
总结：像本例这样，先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法．
问题：你能说明用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤吗？
处理方式：小组交流得到结论．第一步,设表达式；第二步,代入的关于k，b的二元一次方程组；第三步，解方程组，确定表达式．
四．变式训练、巩固落实
1．课本
P127
随堂练习
第1题．
2．课本
P127
随堂练习
第2题．
3.
我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶．边防局迅速派出快艇B追赶，如图所示，，分别表示两船相对于海岸的距离s（海里）与追赶时间t（分）之间的关系．当时间t等于多少分钟时，我边防快艇B能够追赶上A.
处理方式：公布答案，对学生有疑问的地方进行讲解．
设计意图：练习1是通过让学生利用阅读图像信息，来确定一次函数表达式，数形结合，锻炼学生的数学思维．练习二考试学生的文字理解能力，从文字当中阅读出有用信息，抽象出数学模型，解决实际问题．练习三涉及到追及问题，通过阅读图像确定函数表达式，再确定如何解决实际问题．几个变式训练，是例题的延伸，通过这几个题目，巩固学生对于应用二元一次方程组解决实际问题的知识．不同题型让其有不同的应对．
五、总结归纳，拓展升华
1.理解函数与方程之间的关系．
2.何为待定系数法，会用二元一次方程组确定一次函数的表达式．
3.掌握利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤：
（1）用含字母的系数设出一次函数的表达式：；
（2）将已知条件代入上述表达式中得k，b的二元一次方程组；
（3）解这个二元一次方程组得k，b，进而得到一次函数的表达式.
设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．
六、当堂检测，评价反馈
1.某区中学生足球赛共赛8轮（即每队均需参赛8场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.在这次足球联赛中，猛虎队踢平的场数是所负场数的2倍，共得17分，试问该队胜了几场？（要求用图象法求解）
2.已知方程组，所对应的一次函数的图象表示如图，试求出a-b的值.
处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．
设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．
六、布置作业，课堂延伸
（多媒体展示课件）小文家与学校相距1000米．某天小文上学时忘了带一本书，走了一段时间才想起，于是返回家拿书，然后加快速度赶到学校．下图是小文与家的距离y（米）关于时间x（分）的函数图象．请你根据图象中给出的信息，解答下列问题：
（1）小文走了多远才返回家拿书？
（2）求线段AB所在直线的函数解析式；
（3）当x=8分时，求小文与家的距离．
板书设计：
§5.7
二元一次方程与一次函数（2）
一、二元一次方程组与一次函数有何联系（1）（2）
三、实际问题
二、典型例题探究一次函数解析式的确定例1
四、练习与提高
五、巩固提高1.2.3.六、总结归纳
B
乙
甲
A
80千米
2时，30千米
1时
2.8
①
②
