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7.5.1
三角形内角和定理
北师大版八年级数学上册
第七章
平行线的证明
回顾与思考
1.平行线的性质？
两直线平行，同位角相等；
两直线平行，内错角相等；
两直线平行，同旁内角相等．
2.证明一个命题有哪些步骤？
（1）分清命题的条件和结论，根据题意，画出图形．
（2）根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证．
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．
回顾与思考
3.关于三角形的知识，你都知道哪些呢？
三角形两边之和大于第三边；
三角形具有稳定性；
三角形按角分为直角三角形，锐角三角形和钝角三角形；
三角形按边分为不等边三角形、等边三角形和等腰三角形；
三角形三个内角和为180°.
……
4.如图，按规定，一块模板中AB、CD的延长线应相交成
85°角．因交点不在板上，不便测量，工人师傅连接AC，
测得∠BAC=32°，∠DCA=65°，此时AB、CD的延长线
相交所成的角是不是符合规定？为什么？
回顾与思考
不符合规定．
延长AB、CD交于点O，
∵△AOC中，∠BAC=32°，
∠DCA=65°，
∴∠AOC=180°-∠BAC-∠DCA
=180°-32°-65°=83°＜85°，
∴模板不符合规定．
我们知道，三角形内角和等于180°．
1．你还记得这个结论的探索过程吗？
探索三角形内角和等于180°
2．如图，如果我们只把∠A移到∠1的位置，
你能说明这个结论吗？如果不移动∠A，那
么你还有什么方法可以达到同样的效果？
学生展示
根据前面给出的基本事实和定理，你能用自己的语言
说说“三角形内角和等于180°”这一结论的证明思路吗？
证明三角形内角和等于180°
分析:延长BC到D,过点C作射线CE∥AB,这样,就相当于把∠A移到了∠1的位置,把∠B移到了∠2的位置.
已知:如图,△ABC.
求证:∠A+∠B+∠C=180°.
证明:作BC的延长线CD,过点C作CE∥AB,
∠1=∠A(两直线平行,内错角相等),
∠2=
∠B(两直线平行,同位角相等).
∵∠1+∠2+∠3=180°
(平角的定义),
∴
∠A+∠B+∠ACB=180°
(等量代换).
这里的CD,CE称为辅助线,辅助线通常画成虚线.
C
E
2
1
A
B
3
D
证明三角形内角和等于180°
想一想
你还有其他方法来证明三角形内角和定理吗？在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角“凑”到A处,他过点A作直线PQ∥BC(如图),他的想法可以吗 如果可以，请你写出证明．
证明:过点A作PQ∥BC
.
∴∠PAB=∠B(两直线平行,内错角相等)，
∠QAC=∠C(两直线平行,内错角相等)．
∵∠BAC+∠B+∠C=180°
(平角的定义)，
∴∠BAC+∠B+∠C=180°
(等量代换).
例题解析
例1
如图，在△ABC中，∠B
=38°，∠C
=62°，
AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
例题解析
例1
如图，在△ABC中，∠B
=38°，∠C
=62°，
AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
解：在△ABC中，
∠B+∠C+∠BAC
=180°（三角形内角和定理）.
∵∠B
=38°,
∠C
=62°(已知)，
∴∠BAC
=180°－38°－62°=80°.（等式的性质）
∵AD平分∠BAC（已知），
∠BAC=
在△ADB中，
∠B+∠BAD+∠ADB=180°.(三角形内角和定理)
∵∠B
=38°(已知),
∠BAD=40°，（已证），
∴∠ADB=180°－38°－40°=102°.（等式的性质）
∴∠BAD
=∠CAD=
×80°=40°.(角平分线的定义)
1．若三角形的三个内角的比为1:5:6,则最大角的度
数为
_______．
2．在△ABC中,∠A=105°,∠B-∠C=15°,则∠C的
度数为
______．
3.
已知：如图，在△ABC中，∠A=60°，∠C=70°，
点DE分别在AB和AC上，且DE∥BC．
求证：∠ADE=50°．
巩固练习
90°
30°
证明：在△ABC中，
∠A+∠B+∠C
=180°.
∵∠A
=60°,
∠C
=70°，
∴∠B
=180°－60°－70°=50°.
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B=50°.
畅谈收获
通过本节课的学习你有哪些收获？
还有哪些地方存在困惑？
我知道了
我学会了
我感到困惑的
达标测试
A组：
1．在△ABC中,
∠A-∠B=35°，∠C=55°，
则∠B等于(
)
A．50°B．55°
C．45°D．40°
2．一个三角形三个内角的度数之比为2:3:7，
这个三角形一定是(
)
A．等腰三角形
B．直角三角形:
C．锐角三角形
D．钝角三角形[来．
3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
CD⊥AB，垂足为D．
求证：∠A=∠DCB．
C
D
B组：
如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠A=65°，
求∠F的度数．
达标测试
3.证明：∵∠ACB=90°，
(已知)
∴∠DCB
=90°－∠ACB.（余角定义）
∵CD⊥AB，（已知)
∴∠A
=90°－∠ACD.（余角定义）
∴∠A
=∠DCB.（等量代换）
4．解：∵∠A=65°，
（∠ABC+∠ACB）=
(180°－∠A)=
57.5°.
∵BF，CF分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠FBC+∠FCB=
（∠ABC+∠ACB）=57.5°.
∴∠F=180°－（∠FBC+∠FCB）=122.5°.
参考答案
课外延伸
证明三角形内角和定理时，是否可以把三角形的三
个角的顶点“凑”到BC边上的一点P如图（1），如
果把这三个角的顶点“凑”到三角形内一点呢如图
（2）？“凑”到三角形外一点呢如（3）？你还能
想出其它证法吗？
温馨提示：
抓住把三个角搬到一起，让三个顶点重合，
以便利用平角定义这一基本思想，可以把三个角集中
到三角形的某一个顶点；可以把它们集中到三角形的
一边上；集中到三角形的内一点或外一点．
课外延伸
必做题：习题7.6
第1，
3，4题.
选做题：
助学181页
第12题.
作业课题：7.5.1三角形内角和定理
课型：新授课
年级：八年级
教学目标：
1.
掌握“三角形内角和定理”，理解三角形内角和定理的证明方法及证明过程.
2．灵活运用三角形内角和定理解决相关问题.
3．通过猜想、推理等数学活动，探究三角形内角和定理的证明思路和过程，初步体会辅助线在证明中的作用．
教学重点与难点：
重点：三角形内角和定理及其证明.
难点：三角形内角和定理的证明及灵活应用解决相关问题.
课前准备：
多媒体课件、三角形纸板等
.
一、创设情境，复习引入
问题1：平行线的性质？
问题2：证明一个命题有哪些步骤？
问题3:
关于三角形的知识，你都知道哪些呢？
问题4：如图，按规定，一块模板中AB、CD的延长线应相交成85°角．因交点不在板上，不便测量，工人师傅连接AC，测得∠BAC=32°，∠DCA=65°，此时AB、CD的延长线相交所成的角是不是符合规定？为什么？
处理方式：教师出示题目，学生回答问题，问题的设置不仅起到复习的目的，也为新课的引入做了铺垫．
预设学生回答．
1．两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角相等．
2．证明一个命题的一般步骤:
（1）分清命题的条件和结论，根据题意，画出图形．
（2）根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证．
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．
3．三角形两边之和大于第三边；三角形具有稳定性；三角形按角分为直角三角形，锐角三角形和钝角三角形；三角形按边分为不等边三角形、等边三角形和等腰三角形；
三角形三个内角和为180°．．．．．．
4．不符合规定．延长AB、CD交于点O，
∵△AOC中，∠BAC=32°，∠DCA=65°，
∴∠AOC=180°-∠BAC-∠DCA=180°-32°-65°=83°＜80°，
∴模板不符合规定．
师导语：三角形的内角和从小学就开始学习，七年级又有了新的认识，这一节课我们将进一步通过动手操作、观察、合作、交流探究等方法来验证这一定理，并通过这一定理来解决有关问题．
设计意图：设置问题情景，与学生前面所学知识紧密相连，在教学过程设计上从学生熟悉的知识创设情境，让学生简单地对三角形内角和的知识加以回忆，激发学生探究三角形内角和的兴趣．
二、情境再现，探究新知
（一）探索三角形内角和等于180°
我们知道，三角形内角和等于180°．
1．你还记得这个结论的探索过程吗？
2．如图，如果我们只把∠A移到∠1的位置，你能说明这个结论吗？如果不移动∠A，那么你还有什么方法可以达到同样的效果？
处理方式：对于第一个问题教师引导学生可以用量角器测量，用准备好的三角形纸片或三角形纸板进行折叠或剪拼，完成后小组讨论并展示结果．对于第二个问题，教师结合学生的完成情况，让学生代表说出结论和思路，针对学生的回答教师给予肯定和补充．
预设学生回答：
1．（1）用测量的方法：由于误差原因，有时可能不是180°．
（2）用折纸的方法：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行，然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合，最后得图示的结果．
（3）用剪拼（撕纸）的方法：剪三个角，拼成一个平角；剪两个角，也是拼成一个平角；剪一个角，构造平行线，利用平行线判定和性质说明．
2．构造平行线，可得同样效果．
设计意图：在回忆中学习，在学习中探索，在探索中验证，通过学生亲身经历的探索活动，让学生进一步理解验证三角形内角和等于180°，不仅调动小组愉快的合作学习，也激发学生的学习兴趣．
（二）证明三角形内角和等于180°
根据前面给出的基本事实和定理，你能用自己的语言说说“三角形内角和等于180°”这一结论的证明思路吗？
处理方式：结合探索三角形内角和，引导学生小组完成问题，学生发言后教师总结并板书证明过程及三角形内角和定理．
已知：如图，△ABC．
求证:∠A+∠B+∠C=180°。
分析：延长BC到D,过点C作射线CE∥AB,这样,就相当于把∠A移到了∠1的位置,把∠B移到了∠2的位置.
证明：延长BC到D，过点C作直线CE∥AB，
∴∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），
∠2＝∠B（两直线平行，同位角相等）．
∵∠1+∠2+∠ACB＝180°
（平角的定义），
∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（等量代换）．
为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
由此我们得出三角形的内角和等于180°是真命题，这时称它为定理.即：三角形的内角和等于180°.
想一想：你还有其他方法来证明三角形内角和定理吗？在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角“凑”到A处,他过点A作直线PQ∥BC(如图),他的想法可以吗 如果可以，请你写出证明．
处理方式：学生独立完成，一位学生黑板板演，教师巡视指导，对学生出现的问题及时纠正．
证明:过点A作PQ∥BC。
∴∠PAB=∠B(两直线平行,内错角相等)，
∠QAC=∠C(两直线平行,内错角相等)．
∵∠BAC+∠B+∠C=180°
(平角的定义)，
∴∠BAC+∠B+∠C=180°
(等量代换).
设计意图：让学生体会用不同的方法证明三角形内角和定理，使学生感受到一题多解的重要性；让学生再次体会几何证明的严密性和数学的严谨性，培养学生的逻辑推理能力，让学生感受到添辅助线不是盲目的，而是为了证明某一结论，需要引用某个定义、公理、定理，但原图形不具备直接使用它们的条件，这时就需要添加辅助线创造条件，以达到证明的目的．
三、例题解析，深化新知
例1
如图，在△ABC中，∠B
=38°，∠C
=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
处理方式：学生先讨论，说出解题思路，教师针对学生的回答补充、讲解并板书证明过程.
解：在△ABC中，
∠B+∠C+∠BAC
=180°（三角形内角和定理）
∵∠B
=38°,
∠C
=62°(已知)
∴∠BAC
=180°－38°－62°=80°（等式的性质）
∵AD平分∠BAC（已知）
∴∠BAD
=∠CAD=∠BAC=×80°=40°(角平分线的定义)
在△ADB中
∠B+∠BAD+∠ADB=180°(三角形内角和定理)
∵∠B
=38°(已知),
∠BAD=40°（已证）
∴∠ADB=180°－38°－40°=102°（等式的性质）
设计意图：学生已有了应用三角形内角和定理解题的经验，所以对本题的解决并不困难，但对证明的过程可能会出现问题，因此，采用学生说出解题思路，教师板书解题过程，起到示范的作用.
四、学以致用，巩固新知
1．若三角形的三个内角的比为1:5:6,则最大角的度数为
_______．
2．在△ABC中,∠A=105°,∠B-∠C=15°,则∠C的度数为
______．
3.
已知：如图，在△ABC中，∠A=60°，∠C=70°，点DE分别在AB和AC上，且DE∥BC．
求证：∠ADE=50°．
处理方式：学生独立完成，三学生黑板板演，教师巡视指导，完成后矫正点评．
答案：1．90°．
2．35°．
3．证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C
=180°（三角形内角和定理），
∵∠A
=60°,
∠C
=70°(已知)，
∴∠B
=180°－60°－70°=50°。（等式的性质）
∵DE∥BC（已知)，
∴∠ADE=∠B=50°（两直线平行，同位角相等）。
设计意图：通过练习进一步巩固三角形内角和定理，并能灵活运用三角形内角和定理解决与之相关的数学问题．
五、总结反思，畅谈收获
通过本节课的学习你有哪些收获？还有哪些地方存在困惑？谈谈你的体会.
处理方式：学生畅谈自己的收获与体会．教师适时针对学生的回答总结归纳．
设计意图：鼓励学生结合本节课的学习谈谈自己的收获，又有了哪些进步，对于三角形内角和定理还有哪些困惑；鼓励学生大胆发言，敢于表达自己的观点，以达到学生之间相互学习，共同提高的目的．
六、达标检测，反馈矫正
A组：
1．在△ABC中,
∠A-∠B=35°，∠C=55°，则∠B等于(
)．
A．50°
B．55°
C．45°
D．40°
2．一个三角形三个内角的度数之比为2:3:7，这个三角形一定是(
)．
A．等腰三角形
B．直角三角形C．锐角三角形
D．钝角三角形3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．
求证：∠A=∠DCB．
B组：
如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠A=65°，
求∠F的度数．
处理方式：学生独立完成后，教师给出答案，同位互换批改，对于学生不明白的问题，教师指导说明．
答案：1．C．
2．D．
3．证明：∵∠ACB=90°
(已知)
∴∠DCB
=90°－∠ACB（余角定义）
∵CD⊥AB（已知)
∴∠A
=90°－∠ACD（余角定义）
∴∠A
=∠DCB（等量代换）
4．解：∵∠A=65°
(已知)
∴（∠ABC+∠ACB）=(180°－∠A)=
57.5°（三角形内角和定理）
∵BF，CF平分∠ABC，∠ACB（已知)
∴∠FBC+∠FCB=（∠ABC+∠ACB）=57.5°
∴∠F=180°－（∠FBC+∠FCB）=122.5°
设计意图：学以致用，通过检测及时获知学生对所学知识掌握及运用情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．
课外延伸
证明三角形内角和定理时，是否可以把三角形的三个角的顶点“凑”到BC边上的一点P如图（1），如果把这三个角的顶点“凑”到三角形内一点呢如图（2）？“凑”到三角形外一点呢如（3）？你还能想出其它证法吗？
处理方式：学生课后小组完成．
温馨提示：抓住把三个角搬到一起，让三个顶点重合，以便利用平角定义这一基本思想，可以把三个角集中到三角形的某一个顶点，可以把它们集中到三角形的一边上，内一点或外一点．
设计意图：通过此题，让学生进一步了解三角形内角和定理的证明思路，并且了解一题的多种证法，从而开阔学生视野，拓宽学生的思路．
七、布置作业，巩固提高
必做题：习题7.6
第1、3、4题.
选做题：助学181页
第12题.
板书设计：
§7.5.1
三角形内角和定理
三角形内角和定理证明：
三角形内角和定理
例题
投影区
学生活动区
