(共19张PPT)
第七章
平行线的证明
义务教育教科书(北师大版)八年级数学
第5节
三角形内角和定理（2）
在一次飞机模型设计大赛上，小东与王师傅在做最后的准备工作，其中需要一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B，∠C应分别等于32°和21°，小东量得∠BDC=148°，话音刚落，王师傅就脱口而出：这零件不合格．
1.三角形内角和为______.
2.如图，在△ABC中，∠A=75°，∠B=80°，则∠C=_____.
3.上图中，若将边CB延长至D，则可以得到一个新角，这个角还是三角形的内角吗？
D
三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角．
(1)顶点在三角形的一个顶点上．
(2)一条边是三角形的一边．
(3)另一条边是三角形某条边的延长线．
一个三角形有多少个外角？每个外角又与内角有什么关系？∠1与△ABC的三个内角有什么大小关系？
推论1：
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
推论
2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
例1
已知：∠BAF，∠CBD，∠ACE是△ABC的三个外角．
求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.
证明：∵
∠1
+∠BAF=180°，
∠2
+∠CBD=180°，
∠3
+∠ACE=180°，（平角定义）
∴
∠1+
∠2
+
∠3
+∠BAF
+∠CBD+∠ACE
=180°×3
=540
°.
又∵
∠1+
∠2
+
∠3=
180
°，
（三角形内角和等于180
°）
∴
∠BAF
+∠CBD
+∠ACE
=540
°﹣180°
=
360°.
例2
已知：如图，D是△ABC边BA延长线上一点，E是AC上一点，BE与CD相交于F，若∠BAC=62°，
∠ACD=35°，∠ABE=20°.
求：（1）∠BDC度数；
（2）∠BFD度数．
解：（1）在△ACD中，
∵∠A=62°，∠ACD=35°，
∴∠BDC=∠A+∠ACD=62°+35°=97°；
（2）在△BDF中，
∵∠BDC+∠ABE+∠BFD=180°，∠ABE=20°，
∴∠BFD=180°﹣97°﹣20°=63°，
∴∠EFC=∠BFD=63
°（对顶角相等）．
1.
已知：如图，在三角形ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C．
求证：AD∥BC.
想一想，还有没有其他的证明方法呢？
2.已知：如图，在三角形ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE．
求证：∠1>∠2．
同学们再回头看一看我们开始提出的生活实例，你知道王师傅的判断依据是什么吗
？
通过这节课
的学习你有哪
些疑惑？
通过这节课
的学习你有哪
些收获？
1．三角形的一个外角等于和它相邻的内角，则这个三角形是(
)
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
2．下列命题正确的是（
）
A．三角形的一个外角等于该三角形的两个内角的和；
B．三角形的一个外角大于任何一个内角；
C．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
D．三角形的任何两个外角都不可能相等．
C
C
3．在△ABC中，∠A、∠B的外角分别是120°、150°，则∠C=(
)
A.120°
B.150°
C.60°
D.90°
4．如图，∠1=________.
D
130°
5．如图，在△ABC中，∠A=65°，BF平分∠ABC，
CF平分∠ACB，求：∠BFC的度数．
122.5°
必做题：课本174页
习题7.7
第1，2，3题．
选做题：课本174页
习题7.7
第4题．课题：7.5.2三角形内角和定理
课型：新授课
年级：八年级
教学目标：
1．理解掌握三角形的外角的概念及三角形内角和定理的推论及其应用.，体会几何中简单的不等关系的证明；
2．通过探索三角形内角和定理的推论的活动，培养学生的论证能力，拓宽学生的解题思路，从而使学生灵活应用所学知识解决实际问题．
教学重、难点：
重点：三角形内角和定理的推论．
难点：三角形的外角、三角形内角和定理的推论的应用．
教学过程
一、创设情景，引入课题
活动内容：王师傅的“神机妙算”
在一次飞机模型设计大赛上，小东与王师傅在做最后的准备工作，其中需要一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B，∠C应分别等于32°和21°，小东量得∠BDC=148°，话音刚落，王师傅就脱口而出：这零件不合格．
你知道王师傅的判断依据是什么呢？
设计意图：让学生在思想上做好准备，对所学内容产生兴趣，使学生在学习前处于对知识的“饥饿状态”，产生一个心理“缺口”，从而激发学生产生弥合心理缺口的学习动力.
二、温故知新，做好铺垫
1、三角形内角和为______
2、如图，在△ABC中，∠A=75°，∠B=80°，则∠C=________
3、上图中，若将边CB延长至D，则可以得到一个新角，这个角还是三角形的内角吗？这个角叫做什么角呢？下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质．
（板书课题）
概念
三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角，
结合图形指明外角的特征有三：
(1)顶点在三角形的一个顶点上．
(2)一条边是三角形的一边．
(3)另一条边是三角形某条边的延长线．
处理方式：教师应在学生充分展示自己的意见之后，有意识地引导学生从三角形的外角的角度进行思考．
设计意图：让学生回忆三角形内角和定理，并让学生从内与外的关系联想到今天我们要学习的内容，从而引入了新课.
三、合作探究，学习新知
活动内容1：三角形内角和定理的推论
要求学生按照对概念的理解在图纸上画出三角形的外角，指名上台画外角并点评．
1、根据不同的结果，提出：一个三角形有多少个外角？每个外角又与内角有什么关系？∠1与△ABC的三个内角有什么大小关系？
2、根据学生的回答提出：能够证明你的结论吗？
由学生探讨三角形外角的性质，并归纳得出：
推论1：
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
设计意图：通过三角形内角和定理直接推导三角形外角的两个推论，引导学生从内和外、相等和不等的不同角度对三角形作更全面的思考．
注意事项：新的定理的推导过程应建立在学生的充分思考和论证的基础之上，教师切勿越俎代庖．
活动内容2：例题讲解
例1
已知：∠BAF，∠CBD，∠ACE是△ABC的三个外角．
求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°
分析：把每个外角表示为与之不相邻的两个内角之和即得证．
证明：∵
∠1
+∠BAF=180°，
∠2
+∠CBD=180°，
∠3
+∠ACE=180°，（平角的定义）
∴
∠1+
∠2
+
∠3
+∠BAF
+∠CBD
+∠ACE=180°
×3。（等式的性质）
又∵
∠1+
∠2
+
∠3=
180°，（三角形内角和定理）
∴
∠BAF
+∠CBD
+∠ACE=540
°
-
180°=
360°。（等式的性质）
例2
已知：如图，D是△ABC边BA延长线上一点，E是AC上一点，BE与CD相交于F，若∠BAC=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°。
求：（1）∠BDC度数；
（2）∠BFD度数．
解：（1）在△ACD中，∵∠A=62°，∠ACD=35°，
∴∠BDC=∠A+∠ACD=62°+35°=97°；
（2）在△BDF中，∵∠BDC+∠ABE+∠BFD=180°，∠ABE=20°，
∴∠BFD=180°﹣97°﹣20°=63°，
∴∠EFC=∠BFD=63°（对顶角相等）．
设计意图：通过例题讲解让学生进一步熟悉三角形外角的两个推论并知道如何利用推论进行解题，引导学生从内和外、相等和不等的不同角度对三角形作更全面的思考．
注意事项：新的定理的推导过程应建立在学生的充分思考和论证的基础之上，教师切勿越俎代庖．
四、课堂练习，加深理解
活动内容：
已知：如图，在三角形ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C．
求证：AD∥BC.
分析：要证明AD∥BC，只需证明“同位角相等”，即需证明∠DAE=∠B.
证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∠B=∠C（已知）
∴∠B=∠EAC（等式的性质）
∵AD平分∠EAC（已知）
∴∠DAE=∠EAC（角平分线的定义）
∴∠DAE=∠B（等量代换）
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）
想一想，还有没有其他的证明方法呢？
这个题还可以用“内错角相等，两直线平行”来证.
证明：∵∠EAC=∠B+∠C,（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∠B=∠C,（已知）
∴∠C=∠EAC.（等式的性质）
∵AD平分∠EAC,（已知）
∴∠DAC=∠EAC.（角平分线的定义）
∴∠DAC=∠C,（等量代换）
∴AD∥BC.（内错角相等，两直线平行）
还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证.
证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∠B=∠C（已知）
∴∠C=∠EAC（等式的性质）
∵AD平分∠EAC（已知）
∴∠DAC=∠EAC
∴∠DAC=∠C（等量代换）
∵∠B+∠BAC+∠C=180°
∴∠B+∠BAC+∠DAC=180°
即：∠B+∠DAB=180°
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．
2
已知：如图，在三角形ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE．
求证：∠1>∠2．
证明：∵∠1是△ABC的一个外角（已知）
∴∠1>∠ACB（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∵∠ACB是△CDE的一个外角（已知）
∴∠ACB>∠2（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∴∠1>∠2（不等式的性质）
3、释疑解惑
现在，同学们再回头看一看我们开始提出的生活实例，你知道王师傅的判断依据是什么吗？
其实，我们只要知道∠BDC和∠A、
∠B、∠C的关系就知道这其中的缘由了．那么这四个角之间有什么关系呢？你能证你的结论吗？
如图，求证：∠BDC=∠B+∠C+∠A.
设计意图：通过学生的探索活动，使学生进一步了解辅助线的作法及重要性，理解掌握三角形的内角和定理及推论．
证法一：连结AD，并延长AD，如图.
则∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角.（外角的定义）
∴∠1=∠3+∠B
∠2=∠4+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠B+∠C（等式的性质）即：∠BDC=∠B+∠C+∠BAC
证法二：延长BD交AC于E，则∠BDC是△DCE的一个外角.
∴∠BDC=∠C+∠DEC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∵∠DEC是△ABE的一个外角（外角的定义）
∴∠DEC=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∴∠BDC=∠B+∠C+∠BAC（等量代换）
设计意图：让学生接触各种类型的几何证明题，提高逻辑推理能力，培养学生的证明思路，同时，通过学生的探索活动，使学生进一步了解辅助线的作法及重要性，理解掌握三角形的内角和定理及推论，也解决了开始提出的问题、学生的疑惑，首尾呼应，使结构完整．
五、归纳小结，拓展延伸：
师：通过本节课的学习，你你有什么收获？与大家分享．
学生畅所欲言
设计意图：归纳总结本节课知识点，使学生进一步明确本节课所学的知识，同时使学生对本节课的知识形成体系，便于学生理解，掌握与记忆．充分发挥学生的主体作用，锻炼了学生分析、归纳、概括能力和语言表述能力．
六、达标检测，反馈新知
基础知识
1．三角形的一个外角等于和它相邻的内角，则这个三角形是(
)
A、锐角三角形
B、钝角三角形
C、直角三角形
D、等腰直角三角形
2．下列命题正确的是（
）
A、三角形的一个外角等于该三角形的两个内角的和
B、三角形的一个外角大于任何一个内角
C、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
D、三角形的任何两个外角都不可能相等
3．在△ABC中，∠A、∠B的外角分别是120°、150°，则∠C=(
)
A、120°
B、150°
C、60°
D、90°
能力提升
4．如图，∠1=________。
5．如图，在△ABC中，∠A=65°，BF平分∠ABC，
CF平分∠ACB，求：∠BFC的度数．
设计意图：检验学生对本节所学的理解能力和运用程度，分层设置一组课堂反馈检测题，要求学生完成必基础题后，可以有选择的去做选做题，让不同学生得到不同发展，体会到不一样的成功和收获，增强了学生学习数学的信心．
七、分层作业，强化目标
必做题：课本
第183页
习题7.7
第1,2,3题．
选做题：课本
第183页
第4题．
设计意图:让学生巩固所学内容并进行自我检验与评价，既面向全体学生，又因材施教，照顾到学有余力的学生，体现分层教学的原则．
板书设计：
§7.5三角形内角和定理（2）
外角
例1
例2
投影区
学
生
活
动
区
B
A
C
D
E
A
B
C
D
E
1
F
2
第5题
（第4题）
