2016-2017学年高一数学人教B版必修1学案（课堂导学）： 1.1.1集合的概念

课堂导学
三点剖析
一、集合的概念
【例1】判断下列语句能否确定一个集合 如果能表示一个集合,指出它是有限集还是无限集.
(1)申办2008年奥运会的所有城市.
(2)举办2008年奥运会的城市.
(3)举办2016年奥运会的城市.
(4)在2004年12月26日印度洋地震海啸中遇难的人的全体.
(5)大于零且小于1的所有的整数.
(6)大于零且小于1的所有的实数.
思路分析:紧扣“集合”“有限集”“无限集”的定义解决问题.
解:(1)申办2008年奥运会的是几个确定的不同的城市,能组成一个集合,且为有限集.
(2)举办2008年奥运会的城市也能组成一个集合且为有限集.
(3)因为举办2016年奥运会的城市现在还不确定，因此它不能构成一个集合.
(4)在2004年12月26日印度洋地震海啸中遇难的人是确定的、不同的.这些人的全体能组成一个集合,且为有限集.(5)大于零且小于1的所有整数能组成一个集合.这个集合中不含任何元素,即为空集,它是有限集.
(6)大于零且小于1的实数也是确定的,因此这样的所有的实数也能组成一个集合,且为无限集.二、元素与集合的关系
【例2】用符号∈或填空.
(1)2________{x|x<},+________{x|x≤2+}.
(2)3________{x|x=n2+1,n∈N},(-1,1)________{y|y=x2}.
(3)设x=,y=3+π,M={m|m=a+b,a∈Q,b∈Q}，则x________M,y________M.
思路分析:看所要判断的元素是否能化成集合中元素的形式,方能判定它们的关系.
解:(1)2=>.
+==7<==2+.
∴填,∈.
(2)设n2+1=3,n=±N,∴填.
把(-1,1)代入y=x2成立,但(-1,1)是有序实数对,而{y|y=x2}是y值的集合，
∴填.
(3)x==,∈Q,∈Q.
∴x∈M.
∵πQ，∴yM.
∴填∈，.
答案:(1)
∈
(2)
(3)∈
温馨提示
判断元素与集合的关系,要明确集合中元素的特征,准确理解集合是解题的关键.
要记清常见数集的符号表示,在判断时,常需先把所给元素化简.
三、利用集合元素的性质解决问题
【例3】已知集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}.
(1)若A只有一个元素,试求a的值,并求出这个元素;
(2)若A是空集,求a的取值范围;
(3)若A至多有一个元素,求a的取值范围.
解析:(1)当a=0时,此方程为2x+1=0,只有一个根为x=;
当a≠0时,则Δ=0,即4-4a=0,
∴a=1,此时方程有两个相等的实根x1=x2=-1.
综上可知,当a=0或a=1时,集合A中分别只有一个元素为或-1.
(2)若A为空集,则即得a>1.
(3)集合A至多有一个根,包括集合A为空集和集合A为只有一个元素的集合两种情况,所以a的取值范围是a=0或a≥1.
各个击破
类题演练1
给出下列表述:①联合国常任理事国;②充分接近2的实数的全体;③方程x2+x-1=0的实数根;④全国著名的高等院校.以上能够构成集合的是(
)A.①③
B.①②
C.①③④
D.①②③④
解析:①包括确定的国家;③二次方程有确定的根;②④无法确定个体.故选A.
答案:A
变式提升1
下列各组对象能否构成集合
(1)所有好人;(2)小于2
003的数;(3)和2003非常接近的数.
思路分析:对于给定集合,元素必须是确定的,如(1)中对象,好人的标准不确定,无法确定其元素.
解:(1)(3)中对象不能构成集合;(2)中对象能构成集合.
温馨提示
(1)判断一个语句能否确定一个集合，除考虑定义外，还应从集合中元素的“确定性”和“互异性”上来判断.
(2)如果一个语句里一个元素也没有,它仍然能确定一个集合,即空集.
(3)“有限集”和“无限集”是通过集合里面元素的个数来定义的.集合里面元素的个数很多,但不一定是无限集.
类题演练2
用符号∈或填空:
(1)0_________N
;
(2)(-4)0_________N
;
(3)_________Z;
(4)0_________.
思路分析:确定元素是否在集合中,要根据元素是否满足集合的性质来确定.
答案:(1)
(2)∈
(3)
(4)
变式提升2
用符号∈或填空:
(1)π_______Q;(2)(-1)0_______N;(3)_______{x∈Q|x<};(4)+_______{x|x≤2+};(5)11_______{x|x=n2+n-1,n∈N};(6)(-1,1)_______{y|y=-x,x∈R}.
解析:(1)由于π是无理数,则应填.
(2)因为(-1)0=1是自然数,则应填∈.
(3)因为{x∈Q|x<}表示由所有小于的有理数所组成的集合,而是无理数,则应填.
(4),则应填∈.
(5)令n2+n-1=11,得n=-4或n=3;而3∈N,即n=3时,x=n2+n-1=11,也就是说11是集合中的元素,则应填∈.
(6)集合{y|y=-x,x∈R}是所有y值所组成的集合,而y可取任何实数,则此集合为R,而(-1,1)是一对实数对,并非实数,则应填.
答案:(1)
(2)∈
(3)
(4)∈
(5)∈
(6)
类题演练3
集合{1,a,b}与{a,a2,ab}是同一个集合,求实数a、b.
解析:(1)若a=1,显然不合题意.
(2)若a2=1,解得a=±1(a=1舍去),∴a=-1.
此时有{1,-1,b}与{-1,1,-b}相等.
∴b=-b.解得b=0,满足题意.
综上知a=-1,b=0.
变式提升3
已知集合A中含有三个元素a-2,12,2a2+5a,又-3∈A,求a的值.
解析:∵-3∈A,∴a-2=-3或2a2+5a=-3.
∴a=-1或a=,但a=-1时,a-2=-3,2a2+5a=-3,与集合中元素的互异性矛盾.
故a=.