课堂导学
三点剖析各个击破
一、补集的概念
【例1】设集合A={|2a-1|,2},B={2,3,a2+2a-3},且A={5},求实数a的值.
解析:由符号A知AB,由A={5}知5∈B且5A.
∴a2+2a-3=5,即a=2或a=-4.当a=2时,A={3,2},B={2,3,5},满足A={5},即a=2成立.
当a=-4时,A={9,2},B={2,3,5},AB,所以A无意义,a=-4舍去.
综上讨论可知a=2.
温馨提示
集合是一种数学语言,如果不能从这种语言中破译出它的全部意义,那么就会造成各种各样的错误.
类题演练1
设全集U={1,2,x2-2},A={1,x},求A.
解析:当x=2时,则有x2-2=2,U={1,2,2},不成立,∴x≠2.
当x2-2=x,即x=-1,x=2(舍去)时,U={1,2,-1},A={1,-1}.
∴A={2}.
变式提升2
已知U={x|-1≤x≤3},M={x|-1
)
A.M=N
B.N=P
C.MP
D.MP
答案:A
二、两个集合间的综合运算
【例2】设全集U={x|x≤20的质数},A∩B={3,5},(A)∩B={7,19},(A)∩(B)={2,17},求集合A、B
思路分析:利用列举法可求得集合U,然后利用韦恩图处理.
解:∵U={2,3,5,7,11,13,17,19},由题意,利用韦恩图(如图所示).
故集合A={3,5,11,13},B={7,11,13,19}.
温馨提示
(1)有些集合问题比较抽象,解题时若借助韦恩图或数轴进行分析,往往可将问题直观化、形象化,使问题简捷地获解.
(2)如果集合是由一些数组成的有限集,常利用韦恩图解决;如果集合是用区间的形式表示的无限集,常用数轴来解决.
(3)补集的运算:(A)∪(B)=(A∩B),(A)∩(B)=(A∪B).
类题演练2
集合S、M、N、P如图所示,则图中阴影部分所表示的集合是(
)
A.M∩(N∪P)
B.M∩(N∩P)
C.M∪(N∩P)
D.M∩(N∪P)
答案:D
变式提升2
设全集U={x|x为12的约数,且x∈Z},A∩(B)={-6,4,-4},A∩B={-2,6},(A)∩(B)
={-3,1,2,12},求集合A与B.
解析:利用韦恩图.
U={-1,-2,-3,-4,-6,-12,1,2,3,4,6,12},
∵(A)∩(B)=(A∪B)={-3,1,2,12},
∴A∪B={-1,-2,3,4,-4,6,-6,12}.
又∵A∩(B)={-6,4,-4},由文氏图可知A={-6,-4,-2,4,6},B={-12,-2,-1,3,6}.
三、已知两集合间的关系求参数的取值范围
【例3】已知集合A={x|x2+6x=0},B={x|x2+3(a+1)x+a2-1=0},且A∪B=A,求实数a的值.
解析:∵A={x|x2+6x=0}={0,-6},由A∪B=A,∴BA.
(1)当B=时,x2+3(a+1)x+a2-1=0中Δ<0,
解得(2)当B≠时,①若B=A,由根与系数的关系解得a=1,符合A=B.
②若BA,则B={0}或{-6},则x2+3(a+1)x+a2-1=0中的Δ=0且有相等实根0或-6.
由Δ=0得a=-1或,当a=-1时,B={0};当a=时,B={}不合题意.
综上所述,实数a的取值范围是类题演练3
设全集U=R,A={x|x>1},B={x|x+a<0},BA,求实数a的取值范围.
解析:∵A={x|x>1},U=R,∴A={x|x≤1}.
又B={x|x<-a},且BA,
如下图所示.
则有-a≤1,即a≥-1.
故所求a的范围为{a|a≥-1}.
变式提升3
设集合M={x|x=3m+1,m∈Z},N={y|y=3n+2,n∈Z},若x0∈M,y0∈N,则x0y0与集合M、N的关系是(
)
A.x0y0∈M
B.x0y0M
C.x0y0∈N
D.x0y0N
解析:∵x0∈M,∴x0=3m+1.
∵y0∈N,∴y0=3n+2.
∴x0y0=(3m+1)(3n+2)=9mn+6m+3n+2=3(3mn+2m+n)+2∈N.故选C.
答案:C课堂导学
三点剖析
一、交集、并集的概念
【例1】数学活动课上,小强说:“若xA∩B，则xA且xB.”小刚说：“若xA∪B，则xA且xB.”这两个同学说的都对吗 为什么
思路分析:紧扣交集、并集的概念.A∩B是由既属于A又属于B的元素确定的集合,xA∩B可分三种情况:xA且x∈B,x∈A且xB,xA且xB,即小强同学说的不正确.A∪B是由属于A或属于B的元素确定的集合,即A、B两集合的元素都在A∪B中,若xA∪B,则必有xA且xB,即小刚同学说的正确.
温馨提示
本题可借助于韦恩图来理解.
二、交集、并集的运算
【例2】已知集合A={1,2,3},集合B={2,3,4},求A∩B,A∪B.
思路分析:根据交集、并集的定义,求A∩B只需把集合A、B中的公共元素找出来,写成集合的形式,求A∪B只需把集合A、B中的所有元素找出来,写成集合的形式,要注意集合中元素的互异性.解:A∩B={1,2,3}∩{2,3,4}={2,3}.
A∪B={1,2,3}∪{2,3,4}={1,2,3,4}
温馨提示
若集合A、B中的元素是能够一一列举出来的有限集时,可直接求A∩B、A∪B;若集合较复杂,可先化简,再求交集;若是无限数集,可借助于数轴求交集.
三、有字母参数参与的交、并集运算
【例3】已知A={x|x2-px-2=0},B={x|x2+qx+r=0},且A∪B={-2,1,5},A∩B={-2},求p、q、r的值.
思路分析:由A∩B={-2}知-2∈A,代入方程x2-px-2=0,求得p,再解方程求出A,又由A∪B确定集合B中的元素.
解:∵A∩B={-2},∴-2∈A,将x=-2代入x2-px-2=0,得p=-1.
∴A={1,-2}.∵A∪B={-2,1,5},A∩B={-2},∴B={-2,5}.
∴4-2q+r=0且25+5q+r=0.
解得q=-3,r=-10.故p=-1,q=-3,r=-10.
温馨提示
∵A∩B={-2},∴-2∈B.若将-2代入集合B中的方程x2+qx+r=0,得4-2q+r=0,此路行不通.
当遇到此类问题时,我们应尽快转换思路,将-2代入集合A中的元素.一般地,代入求值问题,代入后剩下的待定系数越少越好.
类题演练1
若集合A、B、C满足A∩B=A,B∪C=C,则A与C之间的关系是(
)
A.AC
B.CA
C.AC
D.CA
解析:∵A∩B=A,
∴AB.
∵B∪C=C,
∴BC.
∴AC.
答案:C
变式提升2
设集合A={x∈Z|-10≤x≤-1},B={x∈Z||x|≤5},则A∪B中的元素个数是(
)
A.11
B.10
C.16
D.15
解析:A={-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1},B={-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}.
∴A∪B有16个元素.
答案:C
类题演练2
(2006全国高考卷Ⅰ,理1文2)设集合M={x|x2-x<0},N={x||x|<2},则(
)
A.M∩N=
B.M∩N=M
C.M∪N=M
D.M∪N=R
解析:∵M={x|0∴M∩N=M,M∪N=N.
答案:B
变式提升2
已知AB,AC,B={1,2,3,5},C={0,2,4,8}.求A.
解析:∵AB,AC,
∴AB∩C.
∵B∩C={2},
∴A=或{2}.
类题演练3
设A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},已知A∩B={9},求a的值及A∪B.
解析:由9∈A,可得a2=9或2a-1=9,
解得a=±3或a=5.
当a=3时,A={9,5,-4},B={-2,-2,9},B中元素违背了互异性,舍去.
当a=-3时,A={9,-7,-4},B={-8,4,9},A∩B={9},满足题意,故A∪B={-7,-4,-8,4,9}.
当a=5时,A={25,9,-4},B={0,-4,9},此时A∩B={-4,9},与A∩B={9}矛盾,故舍去.
综上所述,a=-3且A∪B={-8,-4,4,-7,9}.
变式提升3
已知集合A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0},a取何实数时,A∩B≠与A∩C=同时成立
解析:B={2,3},C={2,-4}.
∵A∩B≠,且A∩C=,
∴3是方程x2-ax+a2-19=0的解.
∴a2-3a-10=0.
∴a=-2,或a=5.
当a=-2时,经检验符合题意.
当a=5时,A={2,3},此时A∩C≠,
∴a=5舍去.
综上知a=-2.