课堂导学
三点剖析
一、函数定义域的求法
【例1】求下列函数的定义域，并用区间表示.
(1)f(x)=;
(2)f(x)=;
(3)f(x)=;
(4)f(x)=+.
思路分析：本题考查函数定义域的求法及区间表示法，当函数解析式给出时，定义域就是使其解析式有意义的自变量的范围；当一个函数由两个以上数学式子的和\,差\,积\,商的形式构成时(如(3)(4)),定义域是使各个部分都有意义的公共部分的集合.
解：(1)要使f(x)=1x-2有意义,必须x-2≠0,所以x≠2.故函数的定义域是{x|x≠2},区间表示为(-∞,2)∪(2,+∞).
(2)要使f(x)=有意义,必须3x+2≥0,所以x≥,故函数的定义域是{x|x≥},区间表示为［,+∞).
(3)由于00没有意义,所以x+1≠0.①
又分式的分母不可为零,开偶次方根被开方数非负,所以-x≠0,即x<0.②
由①②可得函数的定义域为{x|x<0且x≠-1},区间表示为(-∞,-1)∪(-1,0).
(4)要使函数f(x)=+有意义,必须所以≤x<2且x≠0,故函数的定义域为{x|≤x<2且x≠0},区间表示为［,0)∪(0,2).
二、求复合函数的定义域
【例2】若函数f(x)的定义域是［1,4］,求f(x+2)、f(x2)的定义域.
思路分析：本题考查函数有意义的等价转换.要使f(x+2)有意义,不妨把x+2看作一个整体变量,它应适合f(x)的定义域,转化成已知变量求解.
解：∵f(x)的定义域为［1,4］,
∴使f(x+2)有意义的条件为1≤x+2≤4,
即-1≤x≤2,则f(x+2)的定义域是［-1,2］.
同理,由1≤x2≤4,
即-2≤x≤-1或1≤x≤2,
则f(x2)的定义域为［-2,-1］∪［1,2］.
温馨提示
由f(x)的定义域求复合函数f［g(x)］的定义域类型,一般方法是,若f(x)的定义域为D,则f［g(x)］的定义域是使g(x)∈D的x的集合.
本题易误解为:由1≤x≤4,∴3≤x+2≤6.
∴f(x+2)的定义域为［3,6］.忽视了f(x+2)有意义的条件,习惯性地代换x是错因.
三、判断两个函数是否为同一函数
【例3】下列所给四组函数表示同一函数的是(
)
A.f(x)=x,g(x)=
B.f(x)=x,g(x)=
C.f(x)=1,g(x)=x0
D.f(x)=x2+x+1,g(x)=
思路分析：函数三要素中当定义域,对应法则确定后,值域也就被确定了.所以判断两个函数是否为同一函数,关键是看两个函数的定义域与对应法则是否相同.
解：对于A,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为［0,+∞),不是同一函数.对于B,f(x)、g(x)的定义域为R,g(x)=3x3=x,是同一函数.
对于C,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),虽对应法则相同但定义域不同,不是同一函数.
对于D,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不是同一函数.选B.
答案：B
温馨提示
本题容易出现思维片面性,只看到解析式化简以后的形式相同,而误判为同一函数,实质上定义域要以条件所给形式有意义为原则,然后再化简看对应法则,两者要兼顾,缺一不可.各个击破
类题演练1
求函数f(x)=+的定义域.
解析：要使函数有意义，必须
∴函数f(x)=+的定义域是{x|x≥-1且x≠2}.
变式提升2
(1)已知函数f(x)=的定义域为R，则实数a的取值范围是(
)
A.a>
B.－12＜a<0
C.-12
D.a≤
解析：当a=0时，f(x)有意义;当a≠0时，由ax2+ax-3≠0,得Δ=a2+12a<0,即-12答案：C
(2)若f(x)=的定义域为A，g(x)＝的定义域为B，当BA时，求a的取值范围.
解析：由2≥0，得≥0.
∴x<-1,或x≥1,
即A=(-∞,-1)∪［1,+∞).由(x-a-1)(2a-x)>0,得
(x-a-1)(x-2a)<0.
∵a<1,∴a+1>2a,∴B=(2a,a+1).∴2a≥1或a+1≤-1,即a≥或a≤-2.
故当B\A时，实数a的取值范围为（-∞,-2］∪［,1).
类题演练2已知函数f(x)的定义域为［a,b］，其中a<0b，求函数g(x)=f(x)+f(-x)的定义域.
解析：∵f(x)的定义域为［a,b］,要使g(x)有意义,则
又∵a<0b,所以ab.
故函数g(x)的定义域为{x|a≤x≤b}∩{x|-b≤x≤-a}={x|-b≤x≤b}.
变式提升2
若函数y=f(x+1)的定义域为［-2,3］,求y=f(2x-1)的定义域.
解析：∵y=f(x+1)的定义域为{x|-2≤x≤3},
∴-1≤x+1≤4,
即y=f(x)的定义域为{x|-1≤x≤4}.
∴y=f(2x-1)的定义域满足-1≤2x-1≤4.
∴0≤2x≤5,即0≤x≤.
∴f(2x-1)的定义域为{x|0≤x≤}.
类题演练3
下列各组式子是否表示同一函数？说明理由.
（1）f（x）=|x|,φ(t)=;
(2)y=x2,y=()2;
(3)y=·,y=;
(4)y=·,y=.
解析：仅就定义域不同，即知(2)和（3）中的两个式子表示不同的函数，经考查定义域和对应法则，可知（1）和（4）中的两个式子都表示相同的函数，事实上，对于（1），在公共定义域R上，f(x)=|x|和φ(t)＝的对应法则完全相同，只是表示形式不同;对于(4)，在公共定义域［-1,1］上，y=·y=.
变式提升3
下列各函数中,与y=2x-1是同一函数的是…(
)
A.y=
B.y=2x-1(x>0)
C.s=2t-1
D.y=
解析：先认清y=2x-1,它是定义域和值域都是R的映射,其中f:y=2x-1,x∈A,y∈B.A项中,定义域为x∈R且x≠,与y=2x-1不是同一函数;B项中,定义域为x>0,与y=2x-1不是同一函数;D项中,y==|2x-1|=对应法则是不同的;而C项中,定义域是R,值域是R,对应法则是乘2减1,与2x-1是相同的.故答案为C.
答案：C课堂导学
三点剖析
一、考查映射概念
【例1】以下给出的对应是不是从集合A到集合B的映射
(1)集合A={x|x是三角形},集合B={x|x是圆},对应法则f:每一个三角形都对应它的内切圆.
(2)集合A={x|x是新华中学的班级},集合B={x|x是新华中学的学生},对应法则f:每一个班级都对应班里的学生.
思路分析：映射中的对应法则只有一对一与多对一,不能是一对多.
解：(1)由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应,所以这个对应f:A→B是从集合A到B的映射.
(2)新华中学的每一个班级里的学生都不止一个,即与一个班级对应的学生不止一个,所以这个对应f:A→B不是映射.二、判断映射个数
【例2】已知集合M={-1,0,1},映射f:M→M满足f(0)=f(-1)+f(1),则这样的映射的个数为(
)
A.2
B.4
C.6
D.7
解析：按照f(0)的取值进行讨论.
若f(0)=-1,则f(-1)=-1,f(1)=0.
或者f(-1)=0,f(1)=-1,这样的映射有2个.
若f(0)=0,则f(-1)=-1,f(1)=1,或者f(-1)=f(1)=0.
或者f(-1)=1,f(1)=-1,这样的映射有3个
若f(0)=1,则f(-1)=0,f(1)=1.
或者f(-1)=1,f(1)=0,这样的映射有2个.
∴所求映射的个数为7.答案：D
温馨提示
在求映射个数时,要紧扣映射定义,保证A中元素的任意性,B中对应元素的唯一性.
三、象与原象之间的关系
【例3】已知(x,y)在映射f的作用下的象(x+y,xy),
(1)求(-2,3)在f作用下的象;
(2)若在f作用下的象是(2,-3),求它的原象.
思路分析：本题主要考查象与原象的概念,会用对应法则求象或原象.在对应法则下有
解：(1)∵x=-2,y=3,∴x+y=(-2)+3=1,x·y=(-2)×3=-6.
∴(-2,3)在f下的象为(1,-6).
(2)∵解得或
∴(2,-3)在f作用下的原象为(3,-1)和(-1,3).
温馨提示
做好本题,关键是理解好象与原象的概念,确定哪个元素是原象,哪个元素是象.
各个击破
类题演练1
已知P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤2}，下列对应不表示从P到Q的映射的是(
)
A.f:x→y=x
B.f:x→y=x
C.f:x→y=x
D.f:x→y=
解析：根据映射的定义，A、B、D都是P到Q的映射.
答案：C
变式提升1
已知集合A到集合B={0,1,2,3}的映射f:x→y=,求集合A中的元素.
解析：∵f:x→y=是集合A到集合B的映射,
∴A中每一个元素在集合B中都应该有象.
令=0,该方程无解,所以0没有原象.
分别令=1,=2,=3,解得x=±2,±,±
类题演练2
已知M={1,2},N={a,b},从M到N的映射f有几个 解析：
从上面可以得到从M到N共有4个映射.
变式提升2
已知集合A＝｛1,2，3｝，集合B＝｛－1，0,1｝，满足条件f(3)＝f(1)+f(2)的映射f:A→B的个数是…(
)
A.2
B.4
C.7
D.6
解析：当3对应1，则1和2可分别对应0和1，两种情况;当3对应－1，则1,2可分别对应0和－1，两种情况；当3对应0,则1和2可分别对应1和－1，两种情况;当3对应0,则1和2也对应0，共有2＋2＋2＋1＝7(个).
答案：C
类题演练3
设集合A和B都是坐标平面上的点集{(x,y)|x∈R,y∈R}，映射f:A→B把集合A中的元素(x,y)映射成集合B中的元素(x+y,x-y),则在映射f下，象(2,1)的原象是(
)
A.(3,1)
B.(,)
C.(,)
D.(1,3)
答案：B
变式提升3
设A＝R，B＝R，f:x→是A→B的映射.
(1)设a∈A，那么1+a在B中的象是什么？
(2)若t∈A，且t-1在f下的象是6，则t应是什么？t在映射f下的象是什么？
解析：(1)∵a∈A,A=R,∴1+a∈A.
∴1+a在f:x→下的象为.
(2)由t∈A,A=R知t-1∈A.
∴t-1在f:x→下的象为.
令=6知t=.
易知t=在f下的象为=7.