课堂导学
三点剖析
一、正确地理解分段函数的意义【例1】依法纳税是每个公民的义务,国家征收个人所得税是分段计算的,总收入不超过1600元,免征个人所得税,超过1600元部分必须征税,设全月纳税所得额为x,x=全月总收入-1600元,税率见下表.
级
数
全月纳税所得额
税
率
1
不超过500元部分
5%
2
超过500元至2000元部分
10%
3
超过2000元至5000元部分
15%
设应纳税额为f(x),使用分段函数表示1—3级纳税额f(x)的表达式.
思路分析：认真读懂题意,每一阶段中有多少钱按什么比例交钱一定找准,这是突破问题的关键.如第二阶段500＜x≤2
000,f(x)=(x-500)×10%+500×5%.
解：依税率表,
第一段:x·5%,0＜x≤500,
第二段:(x-500)×10%+500×5%,500＜x≤2000,
第三段:(x-2000)×15%+1500×10%+500×5%,2000＜x≤5000.
∴f(x)=
温馨提示
易错解为:第二段:x×10%,500＜x≤2000,第三段:x×15%,2000＜x≤5000.
(1)由列表写解析式是函数三种表示方法的综合应用.(2)在解题中要注意分段函数的正确书写.
二、利用分段函数进行有关运算
【例2】已知f(x)=
求f{f［f()］}的值.
思路分析：应从内到外,层层计算,最后求出所求的函数值.
解：∵＞0,
∴f()=0.
又f(0)=-π,f(-π)=(-π)2+1=π2+1,
∴f{f［f()］}=π2+1.
温馨提示
在分段函数中,要求复合函数的值,应从内到外依次求值,此值作为外围函数的自变量再求值,最后求出复合函数值.
分段函数在实际问题中的应用【例3】某商品在近30天内每件的销售价格P元与时间t天的函数关系式是
P=该商品的日销售量Q件与时间t天的函数关系式是Q=-t+40(0＜t≤30,t∈N
),求这种商品的日销量金额的最大值,并指出取得最大值的一天是30天中的第几天.
思路分析：应先求出日销量金额的解析式,分别求各段最值,再比较大小求出最大的一个.
解：设日销售额为y元,则y=P·Q,y=
当0＜t＜25时,t=10,ymax=900元;
当25≤t≤30时,t=25,ymax=1125元.
∵1125＞900,∴ymax=1125.
∴第25天日销售额最大.
温馨提示
求分段函数最值问题时,也可利用图象法,作出分段函数图象,直接观察得最值.
分段函数的最值，不是某一段上的最值，而是在整个定义域上，取f(x)的最大值.
各个击破
类题演练1
某市郊空调出租汽车的票价按下列规则制定
（1）乘坐汽车3km以内，票价6元；
（2）3km以上，每增加1km，票价增加18.元（不足1km的按1km计算）.
请根据题意写出票价与里程之间的函数解析式.
解析：设票价为y，里程为x，由空调出租汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：y=
[x]表示不小于x的最小整数.
变式提升2
甲、乙两车同时沿某公路从A地驶往300km外的B地，甲车先以75km/h的速度行驶，在到达AB中点C处停留2h后，再以100km/h的速度驶往B地，乙车始终以速度v行驶.
(1)请将甲车离A地路程x(km)表示为离开A地时间t(h)的函数，并画出这个函数图象；
（2）若两车在途中恰好相遇两次（不包括A、B两地），试确定乙车行驶速度v的取值范围.
解析：（1）x=
它的图象如图所示.
(2)由已知,乙车离开A地的路程x(km)表示为离开A地的时间t(h)的函数为x=vt(0≤t≤),其图象是一条线段.
由图象知，当此线段经过（4，150）时，v=(km/h);
当此线段经过点（5.5,300）时，v=(km/h).
∴当
类题演练2
若f(x)=则f{f[f(-1)]}=_________.
解析：∵f(-1)=0,∴f[f(-1)]=f(0)=π.
∴f{f[f(-1)]}=f(π)=π+1.
答案：π+1
变式提升2
若f(x)=若f(x)=3,则x=_________.
解析：当x≤-1时,x+2=3,x=1,无解；当-1当x≥2时，2x=3,x=,无解.综上有x=.
答案：
类题演练3
不等式|x+2|+|x-1|解析：作出y=|x+2|+|x-1|=的图象知y的最小值为3（或利用绝对值的几何意义知y就是(x,0)到两定点（-2，0）和（1，0）的距离的和）.
答案：(-∞,3］
变式提升3
作出y=2|x-1|-3|x|的图象，并求出其最大值.
解析：y=
图象如图所示.
从图象上可以看出，最大值为2.课堂导学
三点剖析
一、准确理解函数的意义,画函数的图象
【例1】作下列各函数的图象.
(1)y=2x-1,x∈Z;(2)y=|x-1|.
思路分析：作函数的图象关键在于明确函数图象的形状,所以可先将函数化简整理,这里即讨论x-1的符号,从而去掉绝对值,达到化简的目的.解：(1)这个函数的图象由一些点组成,这些点都在直线y=2x-1上.
(∵x∈Z,∴y∈Z)这些点称为整点,如图①.
(2)所给函数可写成y=
其图象是端点为(1,0)的两条射线,如图②.
温馨提示
(1)求作函数图象时,一般应用描点法,根据特点,找出几个关键点即可.
(2)作出函数图象,我们还可以利用它求函数的值域以及研究函数的性质.
二、求函数解析式
【例2】已知f()=,求f(x).
思路分析：
要求f(x),应把看作一个整体,采用配凑法或者换元法求出f(x).
解法一:∵f()==()2+=()2=()2-()+1,
∴f(x)=x2-x+1(x≠1).
解法二:设=u,则x=,u≠1,
则f(u)=+u-1=u2-u+1,
∴f(x)=x2-x+1(x≠1).
温馨提示
已知复合函数f［g(x)］的表达式时,可以用换元法求解,但要注意换元时引起的定义域的变化,最后结果注明所求函数的定义域.
三、对y=f(x)对应法则的理解
【例3】已知函数f(x)=求f(2)、f(3)、f(4).
思路分析：所给函数用两个等式定义,第一个等式首先给出自变量的初始值对应的函数值,然后由这个函数值用第二个等式依次递推地计算下一个函数值.解：f(2)=1+f(2-1)=1+f(1)=
,
f(3)=1+f(3-1)=1+f(2)=,
f(4)=1+f(4-1)=1+f(3)=.
温馨提示
上述运算方法叫递归运算,运用递归运算时,要弄清各部分的关系,依次代入即可.解题时要对f(n)理解到位.
各个击破
类题演练1作出函数y=|x-1|+2|x-2|的图象.
解析：y=|x-1|+2|x-2|
=
∴图象如下图.
变式提升2
画出下列函数的图象:
(1)y=x2-2|x|-1;
(2)y=
解析：(1)y=x2-2|x|-1=图象如图(1)所示.
(1)
(2)
(2)y=的图象如图(2)所示.
类题演练2
若f{f［f(x)］}=27x+26,求一次函数f(x)的解析式.
解析：设f(x)=ax+b(a≠0),f［f(x)］=a(ax+b)+b=a2x+ab+b,∴f{f［f(x)］}=a(a2x+ab+b)+b=a3x+a2b+ab+b.
∴
∴
∴f(x)=3x+2,经检验成立.
变式提升2
已知f(x)为二次函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x)的表达式.
解析：设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
则f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x.∴解得
∴f(x)=x2-2x-1.
类题演练3已知函数f(x)=,那么f(1)+f(2)+f()+f(3)+f()=.
解析：∵f()==,∴f()+f(x)=1.∴原式=+1+1=.
答案：
变式提升3
已知f(0)=1,f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1),求f(x).解析：令a=0,则f(-b)=f(0)-b(-b+1)=1+b(b-1)=b2-b+1,再令-b=x,得f(x)=x2+x+1.