2016-2017学年高一数学人教B版必修1学案（课堂导学）： 2.1.3函数的单调性

课堂导学
三点剖析
一、单调性的判断与证明
【例1】证明函数f(x)=x+1x在(0,1)上是减函数.
思路分析：证明的关键是对Δy进行变形,尽量变形成几个简单因式积或几个平方和的形式.
证明：
设0＜x1＜x2＜1,则Δx=x2-x1＞0,
∴Δy=f(x2)-f(x1)=(x2+)-(x1+)=(x2-x1)+=(x2-x1).
∵0＜x1＜x2＜1,则x1·x2-1＜0,
∴f(x2)＜f(x1).
∴f(x)在(0,1)上是减函数.
温馨提示
(1)也可以证明f(x)=x+的单调增区间是（-∞,1］,［1,+∞）,单调减区间是［-1,0）,（0,1］,最好记住.
(2)可引申为f(x)=x+(a＞0)在区间（0,］上单调递减;在区间(,+∞)上单调递增.
二、函数单调性的应用
【例2】已知函数f(x)对任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时，f(x)<0,f(1)=-23.
(1)判断并证明f(x)在R上的单调性；
（2）求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.
思路分析：对于f(x)+f(y)=f(x+y)的应用，若是求x为某一具体数值时f(x)的值，则采用赋值方法.
解：(1)令x=y=0,得f(0)=0;
令x=-y，得f(-x)=-f(x)
在R上任取x2>x1,则Δx=x2-x1>0,
Δy=f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1).
∵x2>x1,∴x2-x1>0.
又∵x>0时，f(x)<0,
∴f(x2-x1)<0，即f(x2)-f(x1)<0.
∴Δy<0.
由定义可知f(x)在R上为单调递减函数.
（2）∵f(x)在R上是减函数,
∴f(x)在[-3,3]上也是减函数.
∴f(-3)最大，f(3)最小.
f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3×()=-2.
∴f(-3)=-f(3)=2，
即f(x)在[-3,3]上的最大值为2，最小值为-2.
温馨提示
无论给出的函数式子多么复杂，只要是证明单调性，就必用“定义法”，只要是比较自变量的大小，就必用单调性定义的逆命题.这就是解题思路.在正确的思路指导下，必能攻无不克，战无不胜.三、带有参数的函数的单调性
【例3】已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈［-5,5］,求实数a的范围,使y=f(x)在［-5,5］上是单调函数.
思路分析：根据二次函数的对称轴的位置确定单调性.
解：f(x)=x2+2ax+2=(x+a)2+2-a2,图象的对称轴为x=-a.
∵f(x)在［-5,5］上是单调函数,
∴-a≤-5或-a≥5,即a≤-5或a≥5.
温馨提示
高考对单调函数的考查主要结合后面几节内容进行考查,主要考查单调函数的定义,题型以选择题和解答题为主.
各个击破
类题演练1
证明函数f(x)=x3+x在R上是增函数.
证明：任取x10,即Δx>0.
Δy=f(x2)-f(x1)=(x23+x2)-(x13+x1)=(x23-x13)+(x2-x1)=(x2-x1)[(x2+)2++1],
∵(x2+)2++1>0,
∴f(x2)-f(x1)>0,即Δy>0.
∴f(x)=x3+x在R上是增函数.
变式提升2已知函数y=f(x)在(0,+∞)上为增函数且f(x)<0(x>0),试判断函数F(x)=在(0,+∞)上的单调性并证明.
解析：F(x)在(0,+∞)上为减函数.下面给出证明：
任取x1、x2∈(0,+∞)且Δx=x2-x1>0,
∵ΔY=F(x2)-F(x1)
=
=,
∵y=f(x)在(0,+∞)上为增函数且Δx=x2-x1>0,
∴Δy=f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1).
∴f(x1)-f(x2)<0.
而f(x1)<0,f(x2)<0,∴f(x1)f(x2)>0.
∴F(x2)-F(x1)<0,即ΔY<0.又Δx>0,
∴F(x)在(0,+∞)上为减函数.
类题演练2
设函数f(x)=(a>b>0)，求f(x)的单调区间，并证明f(x)在其单调区间上的单调性.
解析：在定义域内任取x10.
Δy=f(x2)-f(x1)=
=
=.
∵a>b>0,∴b-a<0且x1-x2<0.
只有当x1当x10.
∴Δy=f(x2)-f(x1)<0.
∴y=f(x)在(-∞,-b)上是单调减函数，在（-b,+∞）上也是单调减函数.
变式提升2
已知f(x)在(0,+∞)上是增函数，而且f(x)>0,f(3)=1,判断函数g(x)=f(x)+在区间（0，3]上的单调性，并加以证明.
解析：任取x1、x2∈(0,3],且x1因为g(x)=f(x)+,
所以g(x2)-g(x1)=f(x2)-f(x1)+=[f(x2)-f(x1)][1].
因为f(x)在(0,+∞)上是增函数，f(x)>0,f(3)=1,所以由0这时0所以g(x2)-g(x1)<0,即g(x1)>g(x2).
故g(x)在（0，3]上是减函数.
类题演练3
已知f(x)=x2+2(1-a)x+2在(-∞,4\]上是减函数,求实数a的取值范围.
解析：要使f(x)在(-∞,4\]上是减函数,由二次函数的图象可知只要对称轴x=≥4即可,得a≥5.
变式提升3
已知f(x)是定义在(-1,1)上的减函数,且f(1-a)＜f(a2-1),求a的取值范围.
解析：由题意可得1＞1-a＞a2-1＞-1,
即解得0＜a＜1.