2016-2017学年高一数学人教B版必修1学案（课堂导学）： 2.1.4函数的奇偶性

课堂导学
三点剖析
一、函数奇偶性的概念,函数奇偶性的判定与证明
【例1】判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=x3+x;
(2)f(x)=(x-1)·;
(3)f(x)=+.
思路分析：利用函数奇偶性的定义判断.解：(1)∵定义域为R,f(-x)=(-x)3+(-x)=-x3-x=-f(x),∴f(x)为奇函数.
(2)∵定义域为{x|x＞1或x≤-1},定义域关于原点不对称,
∴f(x)为非奇非偶函数.
(3)∵定义域为{-2,2},
f(-x)=0=f(x)=-f(x),
∴f(x)既是奇函数又是偶函数.温馨提示
第(2)小题易错解为:∵f(x)=(x-1)·=,
f(-x)===f(x),
∴f(x)为偶函数.
二、函数奇偶性的综合应用
【例2】(1)若奇函数y=f(x)是定义在［-1,1］上的减函数,且f(1-a)+f(1-a2)＞0,求a的取值范围;
(2)若f(x)是定义在实数集R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上是增函数,又f(2a2+a+1)＜f(3a2-2a+1),求a的取值范围.
思路分析：(1)去掉函数符号f,等价变换出a的不等式.利用f(x)为奇函数和减函数的性质.
(2)利用f(x)为偶函数的性质和证在(0,+∞)上为减函数,这个证明不可少.
解：(1)由奇函数的性质,-f(1-a2)=f(a2-1),即f(1-a)+f(1-a2)＞0等价于f(1-a)＞f(a2-1),又f(x)是定义在［-1,1］上的减函数,
得解之,得1＜a≤.
(2)任取x1\,x2∈（0,+∞）且x1＜x2,则-x1＞-x2.
∵f(x)是区间(-∞,0)上的增函数,
∴f(-x1)＞f(-x2).又f(x)为偶函数,得f(x1)＞f(x2),即f(x)在(0,+∞)上是减函数,容易判断2a2+a+1和3a2-2a+1是两个正数.
∴f(2a2+a+1)＜f(3a2-2a+1)等价于2a2+a+1＞3a2-2a+1.
解之,得0＜a＜3.
三、根据奇偶性求函数的解析式
【例3】已知f(x)是奇函数,且当x＞0时,f(x)=x2-2x,求当x＜0时,f(x)的表达式.
思路分析：函数只要设x＜0,则-x＞0,再由奇函数定义进行转化.
解：设x＜0,则-x＞0,
∴f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x.
又∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x).
∴f(x)=-(x2+2x)=-x2-2x.
∴当x＜0时,f(x)=-x2-2x
温馨提示
此题易错解为:∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x)=-(x2-2x)=-x2+2x.∴当x＜0时,f(x)=-x2+2x.
应该注意:(1)在哪个区间求解析式,x就设在哪个区间里;(2)然后要利用已知区间的解析式进行代入;(3)利用f(x)的奇偶性,把f(-x)写成-f(x)或f(x),从而解出f(x).各个击破
类题演练1
设a为实数,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R,讨论f(x)的奇偶性.解析：当a=0时,函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=x2+|x|+1=f(x),
∴f(x)为偶函数.
当a≠0时,f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,
f(-a)≠f(a),f(-a)≠-f(a).
此时函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
变式提升1
若f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,则g(x)=ax3+bx2+cx是(
)
A.奇函数
B.偶函
C.非奇非偶函数
D.既奇又偶函数
解析：∵f(x)=ax2+bx+c(a≠0)为偶函数,
∴b=0,从而g(x)=ax3+bx2+cx为奇函数.
答案：A
类题演练2
设f(x)在R上是奇函数,在区间(-∞,0)上递增,且有f(2a2+a+1)解析：由f(x)在R上是奇函数,在区间(-∞,0)上递增,知f(x)在(0,+∞)上递增.
∵2a2+a+1=2(a+)2+>0,
3a2-2a+1=3(a)2+>0,
且f(2a2+a+1)∴2a2+a+1<3a2-2a+1,
即a2-3a>0.解之,得a<0或a>3.
变式提升2
已知f(x)=x5+ax3+bx-8且f(2)=10,求f(-2).
解析：令g(x)=f(x)+8=x5+ax3+bx,则g(x)是奇函数,
∴g(-2)+g(2)=0.
∴f(-2)+8+f(2)+8=0.
∵f(2)=10,
∴f(-2)=-26.
类题演练3
已知f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x|x-2|,求x<0时f(x)的表达式.
解析：设x<0,则-x>0,且满足表达式f(x)=x|x-2|,
∴f(-x)=-x|-x-2|=-x|x+2|.
又f(x)是奇函数,有f(-x)=-f(x),
∴-f(x)=-x|x+2|.∴f(x)=x|x+2|.
故当x<0时,f(x)的表达式为f(x)=x|x+2|.
变式提升3
已知函数y=f(x)在R上是奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2-2x,则f(x)在R上的解析式为…(
)
A.f(x)=x(x-2)
B.f(x)=|x|(x-2)
C.f(x)=|x|(|x|-2)
D.f(x)=x(|x|-2)
解析：当x<0时,-x>0,
∴f(-x)=x2+2x.∵f(-x)=-f(x),
∴f(x)=-x2-2x.而x≥0时,f(x)=x2-2x,
∴x∈R时,f(x)=x(|x|-2).
答案：D