2016-2017学年高一数学人教B版必修1学案（课堂导学）： 2.2.2二次函数的性质与图象

课堂导学
三点剖析
一、二次函数的图象及性质
【例1】二次函数f(x)与g(x)的图象开口大小相同,开口方向也相同.已知函数g(x)的解析式和f(x)图象的顶点,写出函数f(x)的解析式,函数g(x)=-2(x+1)2,f(x)图象的顶点是(-3,2).
思路分析：本题给出了图象的顶点坐标,可以用顶点式设出二次函数,然后求解.
解:设f(x)的解析式为y=a(x+h)2+k.
因为f(x)与g(x)=-2(x+1)2的图象开口大小相同,开口方向也相同,且g(x)=-2(x+1)2与y=-2x2的图象开口大小相同,开口方向也相同.
又因为f(x)图象的顶点是(-3,2),所以f(x)=-2(x+3)2+2=-2x2-12x-16.
温馨提示
(1)若二次函数f(x)与g(x)的开口大小一致且开口方向相同,则二次项系数相等;若f(x)与g(x)的开口大小一致且开口方向相反,则二次项系数绝对值相等,符号相反.
(2)若二次函数的二次项系数为a,顶点坐标为(h,k),则此二次函数可设为y=a(x-h)2+k.二、二次函数在特定区间上的最值问题
【例2】设函数f(x)=x2-2x+2,x∈[t,t+1]的最小值为g(t),求g(t)的表达式.
思路分析：解决此类问题的关键是数形结合.
解:f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,
①当t+1≤1,即t≤0时,由图(1)知截取减区间上的一段,g(t)=f(t+1)=t2+1;
②当12,即t>1时,由图(3)可知截取增区间上的一段,g(t)=f(t)=t2-2t+2.
综上,可知g(t)=
温馨提示
(1)从运动的观点来看,令区间\[t,t+1\]从左向右沿x轴正方向运动,截取抛物线上的相应部分.
(2)共截取三种类型:减函数部分、包含顶点的部分、增函数部分.
(3)初学这种类型的题目时,要对应三种情况画三个图象,使问题显得直观清晰,随着学习的深入,能力得到提高了,可以只画一个图形就行了.
三、二次函数恒成立问题
【例3】已知函数y=ax2+(a-1)x+a的图象恒在x轴上方,求实数a的取值范围.
思路分析：要使二次函数图象恒在x轴上方,只需开口向上且与x轴无交点,即
解:若a=0,则f(x)=-x不符合题意.
若a≠0,则该函数为二次函数,
∴解之,得a>.
综上,可知a>.
温馨提示
勿忘二次项系数等于0的情况.
各个击破
类题演练1
已知f(x)=x2+2(2-a)x+2在（-∞,2］上是减函数,求实数a的取值范围.
解析：要使f(x)在（-∞,2］上是减函数,由二次函数图象可知只要对称轴x=≥2即可,解得a≥4.
变式提升1
已知函数f(x)=-x2+ax+b+1(a、b∈R)对任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立,若当x∈［-1,1］时,f(x)>0恒成立,则b的取值范围是(
)
A.-1B.b>2
C.b<-1或b>2
D.b<-1
解析：由f(1-x)=f(1+x),得f(x)图象关于x=1对称,∴a=2且f(x)在［-1,1］上是增函数.
∴要使x∈［-1,1］时,f(x)>0恒成立,只需f(-1)>0,即b-2>0.∴b>2.
答案：B
类题演练2函数f(x)=-3x2-3x+4b2+,b>0,x∈［-b,b］,f(x)的最大值为7,求b的值.
解析：f(x)=-3(x+)2+4b2+3,当对称轴直线x=在区间［-b,b］左侧,
即<-b,b<时,函数应在x=-b时取得最大值,f(-b)=b2+3b+.
由条件,得b2+3b+=7.
因为b>0,由此求得b=>,与b<矛盾.
当对称轴直线x=在区间［-b,b］内通过,
即-b≤≤b,
亦即b≥时,函数f(x)最大值为4b2+3.
由4b2+3=7,求得b=1,满足条件.
变式提升2
求f(x)=x2-2ax-1在区间\[0,2\]上的最大值和最小值.
解析：f(x)=(x-a)2-1-a2,对称轴为x=a.
①当a<0时,由图(1)可知f(x)min=f(0)=-1,f(x)max=f(2)=3-4a;
②当0≤a<1时,由图(2)可知f(x)min=f(a)=-1-a2,f(x)max=f(2)=3-4a;
③当1④当a>2时,由图(4)可知f(x)min=f(2)=3-4a,f(x)max=f(0)=-1.
类题演练3
已知二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y2=kx+m(k≠0)的图象相交于点A(-2,4)、B(8,2)(如图所示),则能使y1>y2成立的x的取值范围是_______________.
解析：由图象可知，当x<-2或x>8时，抛物线在直线的上方，有y1>y2.
答案：{x｜x<-2或x>8}
变式提升3
设函数f(x)=ax2+bx+1(a、b∈R),若f(-1)=0,则对任意实数均有f(x)≥0成立,求f(x)的表达式.
解析：由题意得=-1且f(-1)=a-b+1=0.
解之,得a=1且b=2.
∴f(x)=x2+2x+1.