2016-2017学年高一数学人教B版必修1学案（课堂导学）： 2.4.1函数的零点

课堂导学
三点剖析
一、考查函数零点的概念
【例1】求下列函数的零点.
(1)f(x)=kx+b(k≠0);
(2)f(x)=2x2-5x+2;(3)f(x)=x3+2x-3.
思路分析：求函数的零点即是求f(x)=0的根，分解因式即可.
解:(1)f(x)=k(x+),∴零点为.
(2)f(x)=(x-2)(2x-1),
∴零点为2、.
(3)f(x)=x3-1+2x-2=(x-1)(x2+x+1)+2(x-1)=(x-1)(x2+x+3)，
∵x2+x+3=(x+)2+>0恒成立，
∴f(x)零点为1.
二、利用零点的性质求参数
【例2】函数y=x2+2px+1的零点一个大于1，一个小于1，求p的取值范围.
思路分析：二次函数的零点即函数图象与x轴的交点，因此借助二次函数图象，利用数形结合法来研究.解法一:记f(x)=x2+2px+1，则函数f(x)的图象开口向上，
当f(x)的零点一个大于1，一个小于1时，即f(x)与x轴的交点一个在(1,0)的左方，
另一个在(1,0)的右方，
∴必有f(1)<0,即12+2p+1<0.
∴p<-1.
∴p的取值为(-∞,-1).解法二:设y=x2+2px+1的零点为x1、x2,
则
得p<-1.
三、应用函数零点
【例3】求证:方程5x2-7x-1=0的根一个在区间(-1,0)内,另一个在区间(1,2)内.
思路分析：证明方程5x2-7x-1=0的两个根分别位于(-1,0)和(1,2)内,即证在(-1,0)和(1,2)上分别有一个零点.
证明:设f(x)=5x2-7x-1=0,则f(-1)=5+7-1=11,f(0)=-1,
f(1)=5-7-1=-3,f(2)=20-14-1=5.由于f(-1)·f(0)=-11<0,f(1)·f(2)=-15<0,
且f(x)=5x2-7x-1的图象在R上是连续不断的,∴f(x)的图象在(-1,0)和(1,2)上分别有交点,
即方程5x2-7x-1=0的根一个在(-1,0)内,另一个在(1,2)内.温馨提示
判断函数f(x)是否在(x1,x2)上存在零点,除验算f(x1)·f(x2)<0是否成立外,还需考查函数的图象在(x1,x2)上是否连续不断.若判断根的个数问题,还需结合函数的单调性进行.
各个击破
类题演练1
求下列函数的零点.
(1)f(x)=x3+1;
(2)f(x)=.
解析：(1)f(x)=(x+1)(x2-x+1),
∴f(x)零点为-1.
(2)f(x)=,令=0,得x=-1.
∴f(x)零点为-1.
变式提升1
若f(x)=ax-b(b≠0)有一个零点3,则函数g(x)=bx2+3ax的零点是_______.解析：∵f(x)=ax-b的零点是3,
∴f(3)=0,即3a-b=0,也就是b=3a.
∴g(x)=bx2+3ax=bx2+bx=bx(x+1).
∴g(x)零点为-1,0.
答案：-1,0
类题演练2
已知函数f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2)的一个零点小于1,另一个零点在1与2之间.求实数a的取值范围.
解析：函数的大致图象如图,则
即
∴0变式提升2
m为何实数时，函数f(x)=mx2-(1-m)x+m有零点？
解析：若m=0，函数为f(x)=-x,
∴有零点x=0.
当m≠0时，由已知，Δ=(1-m)2-4m2≥0.
∴3m2+2m-1≤0.
∴-1≤m≤且m≠0.
综上，当m∈［-1,］时，函数有零点.
类题演练3
若函数y=f(x)在区间(-2,2)上的图象是连续不断的,且方程f(x)=0在(-2,2)上仅有一个实根,则f(-1)·f(1)的值(
)
A.大于0
B.小于0
C.等于0
D.无法判断
解析：由于函数f(x)在(-2,2)上的图象是连续的,且f(x)=0在(-2,2)上仅有一个实根,则有f(2)·f(-2)<0.
若f(1)·f(-1)<0,则f(x)在(-1,1)上必有零点,即方程f(x)=0在(-1,1)上必有根;反之,由f(2)·f(-2)<0,却不一定有f(1)·f(-1)<0,也可能有f(1)·f(-1)>0,如图所示.∴选D.
答案：D
变式提升3
若函数f(x)=ax2-x-1仅有一个零点,求实数a的取值范围.
解析：(1)a=0,则f(x)=-x-1为一次函数,易知函数仅有一个零点;
(2)a≠0,则函数f(x)为二次函数,若其只有一个零点,则方程ax2-x-1=0仅有一个实数根,故判别式Δ=1+4a=0,得a=.
综上,当a=0或时,函数仅有一个零点.