2016-2017学年高一数学人教B版必修1学案（课堂导学）： 2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法

课堂导学
三点剖析一、函数零点的性质
【例1】函数f(x)=x3-2x2+3x-6在区间［-2,4］上的零点必定在(
)
A.［-2,1］内
B.［,4］内
C.［1,］内
D.［,］内
解析：由于f(-2)=-8-8-6-6=-28<0,f(4)=64-32+12-6=38>0,
且f()=f(1)=1-2+3-6=-4<0,
∴零点在区间［1,4］内.
又f()=f()=+-6=-11>0,
∴零点在区间［1,］内.
又f()=f()<0,
∴零点在区间［,］内.∴选D.
答案：D
二、求方程的近似解
【例2】求方程2x3+3x-3=0的一个实数解,精确到0.01.
思路分析：考查函数f(x)=2x3+3x-3,从一个两端函数值反号的区间开始,应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间.解:经试算,f(0)=-3<0,f(2)=19>0,
所以函数f(x)=2x3+3x-3在［0,2］内存在零点,
即方程2x3+3x-3=0在［0,2］内有解.
取［0,2］的中点1,经计算f(1)=2>0,
又f(0)<0,
所以方程2x3+3x-3=0在［0,1］内有解.
如此下去,得到方程2x3+3x-3=0实数解所在区间如下表所示.
左端点
右端点
21世纪教育网第1次
0
2
第2次
0
1
第3次
0.5
1
第4次
0.5
0.75
第5次
0.625
0.75
第6次
0.6875
0.75
第7次
0.71875
0.75
第8次
0.734375
0.75
第9次
0.734375
0.7421875
∵0.742
187
5-0.734
375=0.007
812
5<0.01.
∴x10==0.738
281
25≈
0.74为方程2x3+3x-3=0精确到0.01的一个实数解.
三、函数零点的应用
【例3】已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.
(1)若a>b>c且f(1)=0,证明f(x)必有两个零点;
(2)若对x1、x2∈R且x1证明:(1)∵f(1)=0,∴a+b+c=0.
又∵a>b>c,∴a>0,c<0,即ac<0.
∴Δ=b2-4ac>0.∴方程ax2+bx+c=0有两个不等实根.
故函数f(x)有两个零点.
(2)令g(x)=f(x)［f(x1)+f(x2)］,则g(x1)=f(x1)［f(x1)+f(x2)］=,
g(x2)=f(x2)［f(x1)+f(x2)］=.∴g(x1)·g(x2)=［f(x1)-f(x2)］2.
∵f(x1)≠f(x2),∴g(x1)·g(x2)<0.∴g(x)=0在(x1,x2)内必有一实根.故f(x)=［f(x1)+f(x2)］在(x1,x2)内必有一实根.
各个击破
类题演练1
函数y=lgx的零点所在的大致区间是…(
)
A.(6,7)
B.(7,8)
C.(8,9)
D.(9,10)
解析：代入验证,可知f(9)=lg9-1<0,f(10)=1>0.∴f(9)·f(10)<0.
答案：D变式提升1
下列各图中函数图象与x轴均有公共点,但不能用二分法求公共点横坐标的是(
)
解析：用二分法只能求变号零点的近似值,而B中的零点是不变号零点,故选B.
答案：B
类题演练2
求方程x3-4x+1=0的一个正数的零点.(精确到0.1)
解析：设f(x)=x3-4x+1,
由于f(1)=-2<0,f(2)=1>0,故可取区间［1,2］作为计算的初始区间.
用二分法逐次计算，列表如下：
端点(中点)坐标
计算中点的函数值
取区间
f(1)=-2<0x1==1.5x2==1.75x3==1.875x4=1.813x5=1.844f
f(2)=1>0f(1.5)=-1.625<0f(1.75)=-0.641<0f(1.875)=0.092f(1.813)=-0.296f(1.844)=-0.107
［1,2］［1.5,2］［1.75,2］［1.75,1.875］［1.813,1.875］
由上表计算可知区间［1.813,1.875］的长度小于0.1,∴这个区间的中点1.843
7为所求函数的一个正实数零点近似值.
变式提升2
先用求根公式求出方程2x2-3x-1=0的解，用二分法求出这个方程的近似解.(精确到0.1)
解析：方程的两个解分别为x1=,x2=.
取区间(1.775,1.8)和(-0.3,-0.275).
令f(x)=2x2-3x-1在区间(1.775,1.8)内,用计算器可算得
f(1.775)=-0.023
75,f(1.8)=0.08.
于是f(1.775)\5f(1.8)<0.
∴方程在区间(1.775,1.8)内有一个解.
又|1.8-1.775|=0.025<0.1,此时区间(1.775,1.8)的两个端点精确到0.1的近似值都是1.8，
∴方程在区间(1.775,1.8)内精确到0.1的近似解为1.8.
同理,可得方程在区间(-0.3,-0.275)内精确到0.1的近似解为-0.3.
类题演练3
x1与x2分别是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0和-ax2+bx+c=0的一个根,且x1≠x2,x1≠0,x2≠0.求证:方程x2+bx+c=0有且仅有一根介于x1与x2之间.
证明:令f(x)=x2+bx+c.∵x1、x2分别是方程ax2+bx+c=0和-ax2+bx+c=0的一个根,
∴ax12+bx1+c=0,-ax22+bx2+c=0.
故bx1+c=-ax12,bx2+c=ax22,
f(x1)=x12+bx1+c=x12-ax12=ax12,
f(x2)=x22+bx2+c=x22+ax22=ax22.
∴f(x1)f(x2)=a2x12x22.
∵a≠0,x1x2≠0,∴f(x1)·f(x2)<0.
故方程x2+bx+c=0有且仅有一根介于x1与x2之间.
变式提升3
一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(如图
所示),如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致,要想检验出哪一处焊口脱落,问至多需要检测的次数是多少
解析：对焊接点一一检测很麻烦,当然也是不需要的.只需选线路AB的中点C,然后判断出焊口脱落的点所在的线路为AC,还是BC,然后依次循环上述过程即可很快检验出焊点的位置,最多次数是6次.根据“二分法”的思想,具体分析如下:
第1次取中点把焊点数减半为=32(个),第2次取中点把焊点数减半为=16(个),第3次取中点把焊点数减半为=8(个),第4次取中点把焊点数减半为=4(个),第5次取中点把焊点数减半为=2(个),第6次取中点把焊点数减半为=1(个),所以至多需要检测的次数是6次.