2016-2017学年高一数学人教B版必修1学案（课堂导学）： 3.1.2指数函数

课堂导学
三点剖析
一、指数函数的定义域、值域的求法
【例1】求下列函数的定义域与值域:
(1)y=2;
(2)y=()-|x|;
(3)y=4x+2x+1+1.
解析：(1)∵x-4≠0,∴x≠4.
∴定义域是{x∈R|x≠4}.
∵≠0,∴2≠1.
∴函数的值域是{y|y>0且y≠1}.
(2)定义域为R.
∵|x|≥0,∴y=()|x|=()|x|≥()0=1.
∴y=()|x|的值域是{y|y≥1}.
(3)定义域是R.
∵y=4x+2x+1+1=(2x)2+2·2x+1=(2x+1)2,且2x>0,∴y>1.
∴y=4x+2x+1+1的值域是{y|y>1}.
温馨提示
(1)由于指数函数y=ax(a>0且a≠1)的定义域是R,所以函数y=af(x)(a>0且a≠1)与函数f(x)的定义域相同.
(2)求与指数函数有关的函数的值域时,要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求,并利用好指数函数的单调性.
二、比较两个数的大小问题
【例2】比较下列各题中两个值的大小.
(1)()0.8与()1.8;
(2)()与();
(3)1.70.3与0.93.1.
思路分析：同底数的幂比较大小,要用指数函数的单调性;对于底数和指数都不同的两个幂比较大小,要找到一个中间量搭桥,判断它们的大小
解:(1)因为()0.8=()1.6,且函数y=()x在R上是减函数,所以()1.6>()1.8,即()0.8>()1.8.
(2)因为()=(),且函数y=()x在R上是减函数,所以()<(),即()<().
(3)由指数函数的性质,得1.70.3>1.70=1
又0.93.1<0.90=1,
所以1.70.3>0.93.1.
温馨提示
两个幂值比较大小,要灵活运用指数函数的单调性.同底数而指数不同的,直接用单调性比较大小;对于底数和指数都不同的幂值比较大小,需找准“中间量”通过它的联系,而确定这两个值的大小.这个“中间量”常选取0、±1等.
三、复合函数的单调性
【例3】求函数y=()的单调区间.
思路分析：函数y=()可认为由y=()u,u=x2-6x+17“复合”而成,求单调区间要综合考虑u=x2-6x+17与y=()u的性质.
解:函数u=x2-6x+17在［3,+∞)上是增函数,即对任意的x1、x2∈［3,+∞)且x1∴()>(),即y1>y2.
∴y=()在［3,+∞)上是减函数.
同理,y=()在(-∞,3］上是增函数.
温馨提示
当a>1时,函数y=af(x)与函数f(x)的单调性相同;当0各个击破
类题演练1
求函数y=2的定义域与值域.
解析：定义域{x∈R｜x≠-1},令u=.
∵u==1,
∴u∈R且u≠1.
∴y=2u>0且y≠2.
∴值域为{y｜y>0且y≠2}.
变式提升1
已知指数函数f(x)=ax在［-1,1］上的最大值与最小值之差为1,求a的值.解析：当a>1时,f(x)max=a,f(x)min=a-1,
由a=1,知a2-a-1=0,∴a=.
当0∴a=.
因此a的值为a=.
类题演练2
比较y1=40.9,y2=80.48,y3=()-1.5的大小.
解析：将这三个数化同底得y1=21.8,y2=21.44,y3=21.5,由于y=2x在(-∞,+∞)上是增函数且1.8>1.5>1.44,∴21.8>21.5>21.44.
∴y1>y3>y2.
变式提升2
将下列各数从小到大排列起来:
(),(),3,(),(),()0,(-2)3,().
解析：∵()0=1,∴可先将其余的数分成三类:
(1)负数:(-2)3;(2)大于0小于1的数:(),(),()=();(3)大于1的数:()=(),3,().
在(2)中,()÷()=(×)>1,
∴()>().
∵0<<1,<,∴()>().
故在(2)类中,有()<()<().
在(3)中,()=()<()<3.
由此可得(-2)3<()<()<()-<()0<()<()<3.
类题演练3
求函数f(x)=()的单调区间.
解析：由x2-2x-3≥0,得x≥3或x≤-1.
又知g(x)=x2-2x-3在［3,+∞)上是增函数,
在(-∞,-1］上是减函数.
又∵<1,∴f(x)的递增区间为(-∞,-1］,递减区间为［3,+∞).
变式提升3
方程2ax2-x-1=0(a≠0)在［-1,1］上有且仅有一个实根,求函数y=a(a>0且a≠1)的单调区间.
解析：设f(x)=2ax2-x-1.
在［-1,1］上方程有且仅有一个实根,
f(-1)f(1)≤0,即2a·(2a-2)≤0,
∴0≤a≤1.∵a>0,a≠1,∴0y=a中,设u=-3x2+x=-3(x)2+.
y=au是减函数,当x∈(-∞,］时,u是增函数,
∴y=a是减函数.
当x∈［,+∞)时,u是减函数,∴y=a是增函数.
∴该函数的单调增区间为［,+∞),单调减区间为(-∞,］.