2016-2017学年高一数学人教B版必修1学案（课堂导学）： 3.2.2对数函数

课堂导学
三点剖析
一、对数函数定义域、值域问题
【例1】求下列函数的定义域与值域.
(1)y=log2(x2-4x-5);
(2)y=log3(9-x2);
(3)y=;
(4)y=.
思路分析：(1)(2)题,用y=logax的定义域来求它们的定义域,即相当于利用y=logax中的x的代数式大于0即可求得;(3)(4)题,对数要有意义并且根式也要有意义,结合对数函数的图象求定义域比较直观、好理解.
解：(1)∵x2-4x-5>0,∴x<-1或x>5.
∴y=log2(x2-4x-5)的定义域是{x|x<-1或x>5}.
又令g(x)=(x-2)2-9,∵g(x)在定义域内恒有g(x)>0,∴函数值域为R.
(2)由9-x2>0,得-3∴y=log3(9-x2)的定义域为{x|-3又知0<9-x2≤9且y=log3x是增函数,∴y=log3(9-x2)≤log39=2.
∴y=log3(9-x2)的值域为(-∞,2］.
(3)∵该函数有奇次根式,要使函数有意义,只需对数的真数是正数,
∴所求定义域是{x|x>0},值域为R.
(4)要使函数y=有意义,必须log0.5(4x-3)≥0=log0.51.
∴0<4x-3≤1.∴∴所求定义域是{x|二、比较大小问题
【例2】比较下列各组数中两个值的大小:
(1)log0.3,log20.8;
(2)loga5.1,loga5.9;
(3)log67,log76.
思路分析：对于底数相同的两个对数值比较大小,可由对数函数的单调性确定.对于底数不同的两个对数值比较大小,要换底或在两个对数值之间搭一个“桥梁”,如“0”和“1”,间接地比较大小.
解：(1)由对数的性质,知
log0.3>0,log20.8<0,
∴log0.3>log20.8.
(2)对数函数的增减性取决于对数的底数是大于1还是在0与1之间,而已知条件中并未明确指出底数a与1哪个大,因此需要对底数a进行讨论.
当a>1时,函数y=logax在(0,+∞)上是增函数,5.1<5.9,
∴loga5.1当0loga5.9.
(3)∵log67>1,log76∴log67>log76.
三、函数单调性的判定与单调区间的求法
【例3】(1)求证:函数f(x)=-logx在(0,+∞)上是增函数;
(2)求函数f(x)=log2(x2-1)的单调区间.
(1)证明:在(0,+∞)上任取x1、x2,且0又y=logx在(0,+∞)上是减函数,有logx2∴logx2-logx1<0,即f(x1)-f(x2)<0.
∴f(x1)∴f(x)=-logx在(0,+∞)上是增函数.
(2)解析：由x2-1>0得x>1或x<-1,
∴f(x)定义域为(1,+∞)∪(-∞,-1).
令g(x)=x2-1,知g(x)在(1,+∞)上递增,
在(-∞,-1)上递减且f(x)=log2x为增函数.
故f(x)的增区间为(1,+∞),减区间为(-∞,-1).
温馨提示
(1)要熟练地应用增、减函数的定义,以及对数函数y=logax的单调性来证明复合函数单调性.
(2)G(x)=f［g(x)］,若g(x)与f(x)同增(或同减),则G(x)为增;若g(x)与f(x)一增一减,则G(x)为减,可据此来求单调区间.
各个击破
类题演练1
已知函数y=loga(a-ax)(其中a>1),求它的定义域和值域.
解析：根据题意a-ax>0,∴ax又∵a>1,y=ax是增函数,∴x<1.∵ax0,0∴loga(a-ax)<1.
∴函数y=loga(a-ax)的定义域和值域分别是{x|x<1}和{y|y<1}.
变式提升1
求下列函数的定义域:
(1)y=log7;
(2)y=;
(3)y=log(x+1)(16-4x).
解析：(1)由得x<,
∴所求函数的定义域为{x|x<}.
(2)由即
∴函数y=的定义域为{x|x≥2或x<-3且x≠-1}.
(3)由
∴y=log(x+1)(16-4x)的定义域为{x|-1类题演练2
比较下列各组数中两个值的大小:
(1)log3,log3;
(2)log3π,log20.8.
解析：(1)∵在x∈(1,+∞)上,y=logx的图象在y=logx图象的上方,
∴log3>log3.
(2)∵log3π>log31=0,log20.8log20.8.
变式提升
比较(lgm)1.9与(lgm)2.1(m>1)的大小.
解析：把lgm看作指数函数的底数,本题转化为比较一个指数函数的两个函数值的大小,于是应对底数lgm进行讨论:
当1>lgm>0,即1∴(lgm)1.9>(lgm)2.1;
当lgm=1,即m=10时,(lgm)1.9=(lgm)2.1=1;
当lgm>1,即m>10时,y=(lgm)x在R上是增函数,1.9<2.1,∴(lgm)1.9<(lgm)2.1.
类题演练3
求函数f(x)=log0.5(x2-2x-3)的单调区间.
解析：由x2-2x-3>0得x>3或x<-1,
令g(x)=(x-1)2-4,知g(x)在(3,+∞)上递增,在(-∞,-1)上递减.
又f(x)=log0.5x是减函数,
故f(x)的增区间为(-∞,-1),减区间为(3,+∞).
变式提升3
判断f(x)=loga(x2-2x-3)在(3,+∞)上的单调性.
解析：令g(x)=x2-2x-3,当x∈(3,+∞)时,有g(x)>0.
设x1、x2∈(3,+∞)且x1>x2,
则g(x1)=x12-2x1-3,g(x2)=x22-2x2-3.
∴g(x1)-g(x2)=(x12-x22)-2(x1-x2)=(x1-x2)(x1+x2-2).
∵x1>x2>3,∴x1-x2>0,x1+x2-2>0.
∴g(x1)>g(x2).
又当a>1时,f(x)=logax是增函数,
∴f(x1)=logag(x1)>logag(x2)=f(x2).
∴当a>1时,f(x)在(3,+∞)上是增函数.
同理可证,
当0