2016-2017学年高一数学人教B版必修1学案（课堂导学）： 3.2.3指数函数与对数函数的关系

课堂导学
三点剖析
一、求函数的反函数问题
【例1】求下列函数的反函数并求出它们的定义域.
(1)y=(-1≤x≤0);
(2)y=x2-4x+7(x≤2).
解析：(1)∵y=,∴x2=1-y2.
又-1≤x≤0,
∴0≤x2≤1,0≤1-x2≤1,0≤≤1,即0≤y≤1.
∴x=(0≤y≤1).
∴所求反函数是y=-(0≤x≤1).
(2)∵y=(x-2)2+3,x≤2,
∴y≥3,x-2≤0.
∴x-2=,x=+2(y≥3).
∴所求反函数是y=+2(x≥3).
温馨提示
(1)根据反函数的定义,反函数存在的条件就是使自变量x在定义域内有唯一解的条件.因此,在解x时,就要注意这个条件是否会得到满足,从而判定函数是否存在反函数,并进而求出y的取值范围,即反函数的定义域.
(2)在交换x、y时,要将y的限制条件换成x的限制条件,并由此得到反函数的定义域.(3)可以通过求原函数值域的方法,来求出反函数的定义域.
二、指数函数与对数函数的图象关系
【例2】已知a>0,且a≠1,函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是下图中的(
)
思路分析：可以从图象所在的位置及单调性来判别,也可利用函数的性质识别图象,特别注意底数a对图象的影响.解法一:首先,曲线y=ax只可能在上半平面,y=loga(-x)只可能在左半平面上,从而排除A、C.其次,从单调性着眼,y=ax与y=loga(-x)的增减性正好相反,又可排除D.∴应选B.
解法二:若0若a>1,则曲线y=ax上升且过点(0,1),而曲线y=loga(-x)下降且过点(-1,0),只有B满足条件.解法三:如果注意到y=loga(-x)的图象关于y轴的对称图象为y=logax,又y=logax与y=ax互为反函数(图象关于直线y=x对称),则可直接选定B.
答案：B
温馨提示
(1)函数图象是一个重要问题,一定要掌握好所学过的各类函数的图象,才能解决各类变化了的问题.
(2)y=ax与y=logax为互为反函数关系,其图象关于y=x对称.
三、指数函数与对数函数性质的综合运用
【例3】设函数f(x)是函数g(x)=的反函数,则f(4-x2)的单调递增区间为(
)
A.［0,+∞)
B.(-∞,0］
C.［0,2)
D.(-2,0］
思路分析：f(x)=logx,f(4-x2)=log(4-x2),利用复合函数的单调性求单调区间.
解：f(x)=logx,f(4-x2)=log(4-x2),它是由函数logu和u=4-x2(-2答案：C
温馨提示
(1)研究函数的单调性要用好单调函数的定义,有时数形结合方便.
(2)熟练掌握指数函数与对数函数的单调性.
各个击破
类题演练1
求下列函数的反函数:
(1)y=7x;(2)y=log8x;(3)f(x)=lnx.
解析：(1)∵y=7x,x∈R,把y作为自变量,x作为y的函数,则x=log7y,y>0,通常自变量用x表示,函数用y表示,则y=log7x,x>0.
∴y=7x的反函数是y=log7x(x>0).
(2)∵y=log8x,∴8y=x.∴y=8x.
∴y=log8x的反函数是y=8x(x∈R).
(3)设y=f(x)=lnx,
∴x=ey.∴y=ex.
∴f(x)=lnx的反函数是f-1(x)=ex(x∈R).
变式提升1
求函数y=的反函数.
解析：由y=得y=.
∴ye2x+y=e2x-1.
∴e2x=.∵e2x>0,∴>0.∴-1∴2x=ln(-1∴函数y=的反函数为y=ln(-1类题演练2
当a>1时,在同一坐标系中,函数y=a-x与y=logax的图象是(
)
解析：∵a>1,∴0<<1.
∴y=a-x=()x是减函数.
∴选A或D.而y=logax是增函数,
∴选A或B.
∴选A.
答案：A
变式提升
已知f(x)=ax,g(x)=logax(a>0,a≠1),若f(3)·g(3)<0,那么f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是(
)
解析：∵f(3)·g(3)<0,∴a3·loga3<0.
又∵a>0,∴loga3<0.∴0∴f(x)与g(x)均为减函数.应选C.
答案：C
类题演练3
函数f(x)=ax+loga(x+1)在［0,1］上的最大值与最小值之和为a,则a的值为(
)
A.
B.
C.2
D.4
解析：∵y=ax与y=logax的单调性相同,
∴f(x)的最大值为f(1)或f(0),最小值为f(0)或f(1).
从而f(1)+f(0)=a,∴loga2+1=0.∴a=.
答案：B
变式提升3
定义在区间［2,4］上的函数f(x)=3x-m(m是常数)的图象过点(2,1),则函数F(x)=［f-1(x)］2-f-1(x2)的值域为(
)
A.［2,5］
B.［1,+∞)
C.［2,10］
D.［2,13］
解析：由条件可知,32-m=1,∴m=2.∴f(x)=3x-2.
∴f-1(x)=log3x+2(1≤x≤9).
∴F(x)=(log3x+2)2-(log3x2+2)
=log32x+2log3x+2
=(log3x+1)2+1(1≤x≤3).故当x=1时,F(x)min=2;
当x=3时,F(x)max=5.
∴F(x)的值域为［2,5］.
答案：A