2016-2017学年高一数学人教B版必修1学案（课堂导学）： 3.3幂函数

课堂导学
三点剖析各个击破
一、幂函数的定义
【例1】判断下列函数是不是幂函数，满足什么条件才是幂函数？
(1)y=(k≠0);
(2)y=kx+b(k≠0);
(3)y=ax2+bx+c(a≠0);
(4)y=xα.
思路分析：判断一个函数是不是幂函数主要依据幂函数的定义：形式为y=xα，其中x是自变量，α是常数.
解：这四个函数都不一定是幂函数.(1)当k=1时是幂函数；
(2)当k=1,b=0时是幂函数；
(3)当a=1，b=c=0时是幂函数；
(4)当x是自变量，α是常数时才是幂函数.温馨提示
判断一个函数是不是幂函数可以依据下列步骤：
(1)看函数是不是幂式y=xα;
(2)看自变量是在底数上，还是在指数上，在底数上是幂函数，在指数上是指数函数.类题演练1
已知函数f(x)=(m2+2m)·x.m为何值时，f(x)为幂函数？
解析：根据幂函数的定义,知m2+2m=1.解得m=-1±2,即当m=-1±2时,f(x)为幂函数.
变式提升1
点(,2)在幂函数f(x)的图象上，点(-2,)在幂函数g(x)的图象上，问x为何值时，有①f(x)>g(x);②f(x)=g(x);③f(x)解析：设f(x)=xα,则由题意知2=()α,∴α=2,即f(x)=x2.
再设g(x)=xβ,则由=(-2)β,得β=-2,即g(x)=x-2.在同一坐标系中作出f(x)与g(x)的图象(如下图)，可知：
①当x>1或x<-1时，f(x)>g(x);②当x=±1时，f(x)=g(x);③当-1二、幂函数的图象、性质
【例2】给定一组函数解
析式:①y=x;②y=x;③y=x;④y=x;⑤y=x;⑥y=x;⑦y=x和一组函数图象.请把图象对应的解析式号码填在图象下面的括号内.
解析：观察前3个图象,由于在第一象限内,函数值随x的增大而减小,知幂指数α应小于零.其中第1个函数图象关于原点对称,第2个函数图象关于y轴对称,而第3个函数的定义域为x>0,所以,第1个图象应对应函数y=x,第2个图象对应y=x,第3个图象对应y=x;后4个图象都通过(0,0)和(1,1)两点,故知α>0,第4个图象关于y轴对称,第5个图象关于原点对称,定义域都是R,所以,第4个图象对应函数y=x,第5个图象对应y=x.由最后两个图象知函数定义域为x≥0,而第6个图象呈上凸状,α应小于1,第7个图象呈下凸状,α应大于1,故第6个图象对应y=x,第7个图象对应y=x.
答案：⑥
④
③
②
⑦
①
⑤
类题演练2如下图所示是幂函数y=xα在第一象限内的图象,已知α取±2,±四个值,则相应的曲线C1、C2、C3、C4的α依次为(
)
A.-2、-、、2
B.2、、-、-2
C.-
、-2、2、
D.2、、-2、-
解析：根据幂函数的图象与性质,知应选B.
答案：B
变式提升已知x∈［-1,+∞),试判断函数f(x)=x+2·x+4的增减性.
解析：f(x)=x+2x+4=(x+1)2+3.
∵x≥-1,
令t=x+1∈［0,+∞),而u(t)=t2+3在［0,+∞)上单调递增,
∴f(x)在［-1,+∞)上是增函数.
三、幂函数的图象、性质的应用
【例3】比较下列各组数的大小:
(1)3与3.1;
(2)-8与-().
解析：(1)函数y=x在(0,+∞)上为减函数.
∵3<3.1,
∴3>3.1.
(2)-8=-(),函数y=x在(0,+∞)上是增函数.
∵>,
∴()>().
∴-8<-().
温馨提示
比较大小问题,一般用相应函数的单调性来比较,抽象出相应的函数至关重要.间接法比较大小除用单调性外,还要找到合适的“桥梁”搭桥,往往取0或1等常数.
类题演练3
设a、b满足0A.aaB.baC.aaD.bb解析：∵0∴y=xα在［0,+∞）上是单调递增的.
∴aa答案：C
变式提升3
若(a+1)<(2a-2),则实数a的取值范围是____________.
解析：令y=x.∵y=x在（-∞,+∞）上是单调递增的,
∴(a+1)<(2a-2)a+1<2a-2,
解得a>3.
答案：a>3